中位数和众数（分层作业）-八年级数学下册同步备课系列（人教版）（解析版）

人教版初中数学八年级下册20.1.4中位数和众数（2）分层作业夯实基础篇一、单选题：1．2021年以来，教育部陆续出台了手机、睡眠、作业、读物、体质等“五项管理”的文件，6月1日发布的《未成年人学校保护规定》也把相关内容纳入其中，将其法治化、制度化．某班人数共有41人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按40人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是88，中位数是85．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为88分，关于该班级41人的体质测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均数不变，中位数变大B．平均数不变，中位数无法确定C．平均数变大，中位数变大D．平均数不变，中位数变小【答案】B【分析】根据平均数、中位数的定义计算即可．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数是对数据低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。【详解】解：缺席同学成绩88分，与其他40人的平均数相同，故平均数不变；但具体数据未知，无法确定中位数的变化．故选：B．【点睛】本题考平均数、中位数的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（

）A．5，10 B．5，9 C．6，8 D．7，8【答案】C【分析】先求出已知数组的中位数和众数，再根据中位数和众数的定义逐项判断即可．【详解】数列5，5，6，7，8，9，10的众数是5，中位数是7，去掉两个数后中位数和众数保持不变，据此逐项判断：A项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故A项错误；B项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故B项错误；C项，去掉6和8之后，新数列的中位数和众数依旧保持不变，故C项正确；D项，去掉7和8之后，新数列的中位数为6，发生变化，故D项错误，故选：C．【点睛】本题考查了中位数和众数的知识，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．3．某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（

）A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45C．每月阅读课外书本数的众数是45D．每月阅读课外书本数的中位数是58【答案】D【分析】根据折线统计图的变化趋势即可判断A，根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定义即可判断B，C，D选项．【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有降，故该选项不正确，不符合题意；B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50，故该选项不正确，不符合题意；C.每月阅读课外书本数的众数是58，故该选项不正确，不符合题意；D.这组数据为：28，33，45，58，58，72，78，则每月阅读课外书本数的中位数是58，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了折线统计图，求极差，求中位数，从统计图获取信息是解题的关键．4．期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，”依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对（

）A．平均数、众数 B．中位数、众数C．中位数、方差 D．平均数、中位数【答案】B【分析】根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数．【详解】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，∴90分是这组数据的中位数，∵大部分的学生都考在85分到90分之间，∴众数在此范围内，故选：B．【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．5．自从驻马店市实施“煤改气”“煤改电”清洁供暖改造工程以来，空气质量明显好转．下表是年月1日驻马店市各空气质量监测点空气质量指数的统计结果：这一天空气质量指数的中位数是（

）监测点驿城区正阳县遂平县汝南县上蔡县平舆县泌阳县确山县空气质量指数等级优优优优优优良优A． B． C． D．【答案】D【分析】根据先排序，再求中位数即可．【详解】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第4、第5个数的平均数，则，则这一天空气质量指数的中位数，；故选：D．【点睛】此题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，注意数据按要求重新排列．6．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2022年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2022年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．日均可回收物回收量（千吨）合计频数12b3m频率0.050.10a0.151表中组的频率a满足．下面有四个推断：①表中m的值为20；②表中b的值可以为7；③这m天的日均可回收物回收量的中位数在组；④这m天的日均可回收物回收量的平均数小于3.5．所有合理推断的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可；②根据组的频率a满足，可求出该范围的频数，进一步得出b的值的范围，从而求解；③根据中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，即可求解；④根据加权平均数的计算公式：组中值乘频数，每组加起来除以总数，即可求解．【详解】解：①根据数据总和=频数÷频率，频数为1时，频率为0.05，总数，推断合理；②组的频率a满足，，，，即除b以外频数最多12，总数20，b的值可以为7是不合理推断；③，则m天的日均可回收物回收量的中位数在组，推断合理；④组的频率a取0.30，则平均数为：，即平均数最小为4，m天的日均可回收物回收量的平均数小于3.5是不合理推断；故所有推断合理的为：①③．故选：B【点睛】本题考查频数分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题的关键．7．2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．对小明本周7天的校外体育活动时间，下列说法：①极差是18分钟；②平均时间为64分钟；③众数是63分钟；④中位数是57分钟．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据折线图分别求出极差，平均数，众数和中位数即可判断．【详解】解：极差为（分钟），故①不正确；平均时间为（分钟），故②正确；众数为63分钟，故③正确；本周7天的校外体育活动时间从小到大排列为55，57，63，63，65，70，75，所以中位数为63分钟，故④不正确；故选：B．【点睛】此题考查了折线图，掌握折线图的特点以及极差，平均数，众数和中位数的计算方法是解题的关键．二、填空题：8．为了迎接2008年奥运会，某单位举办了英语培训班．100名职工在一个月内参加英语培训的次数如图：这个月职工平均参加英语培训的次数是__________，这个月每名职工参加英语培训次数的众数为__________，中位数是__________．【答案】6次6次6次【分析】利用平均数、众数、中位数的定义求解．【详解】把数据转化为表格如下：故平均数==6，即每名职工平均参加英语培训班的次数为6次；培训次数的众数为6，中位数为：=6．故答案为6，6，6．【点睛】本题属于统计内容，考查了平均数、众数、中位数的概念．9．某鞋店一周内销售了某种品牌的男鞋双，各种尺码的销售量统计如下：尺码/销量/双由此你能给这家鞋店提供的进货建议是________________________.【答案】25.5cm尺码的鞋子可以多进一些（答案不唯一，符合实情就行）【分析】利用众数的意义进行解答即可.【详解】解：去鞋厂进货时25.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些，这组数据中的众数是25.5，故男鞋中型号25.5cm尺码销售较好，25.5cm尺码的鞋子可以多进一些.故答案为：25.5cm尺码的鞋子可以多进一些.（答案不唯一，符合实情就行）【点睛】本题题主要考查了众数的意义，理解众数反映了一组数据的集中程度，是描述一组数据集中趋势的量是解答本题的关键.10．体育张教师为了解本校八年级女生：“1分钟仰卧起坐”的达标情况，随机抽取了20名女生进行仰卧起坐测试．如图是根据测试结果绘制的频数分布直方图．如果这组数据的中位数是40次，那么仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有__________人．【答案】5【分析】根据中位数的定义求解可得．【详解】解：∵这20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10个、11个全部位于第三组（40≤x＜50）内，∴第10个、11个数据均为40，∵小于40的有6个，∴第7、8、9、10、11个数据一定为40，∴仰卧起坐次数为40次的女生人数至少有5人，故答案为5．【点睛】本题主要考查频数分布直方图和中位数，解题的关键是掌握中位数的概念．11．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的______________（填”平均数”“众数”或“中位数”）【答案】中位数【分析】七名选手的成绩，如果知道中位数是多少，与自己的成绩相比较，就能知道自己是否能进入前四名，因为中位数是七个数据中的第四个数，【详解】解：因为七个数据从小到大排列后的第四个数是这七个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前四，即能否参加决赛．故答案为中位数．【点睛】考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提．12．某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调查了名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示：这组数据的中位数是_____．每周做家务的时间（小时）011．222．433．24合计人数22612134350【答案】【分析】根据中位数的计算步骤计算即可．【详解】∵每周做2小时家务的人数：，∴名学生的中间两个数是，都是做小时家务的．故答案为：．【点睛】此题考查了中位数的概念，解题的关键是熟悉中位数的定义．13．小杨将自己2021年7月至2022年2月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：时间7月8月9月10月11月12月1月2月时长520530540610650660其中．根据以上信息，推断小杨这八个月的通话时长的中位数可能的最小值为______，最大值为______．【答案】550575【分析】由，得到，根据的范围确定的范围，分情况讨论，然后根据中位数的定义求解，最后总结出中位数可能得最小值和最大值．【详解】解：∵，∴①当时，，即时，则小杨这八个月的通话时长的中位数为；②当时，，即，则小杨这八个月的通话时长的中位数为，∵∴中位数随着的增大而减小，∴当，中位数最大，为，当，中位数最小，为，③当，，即时，则小杨这八个月的通话时长的中位数为，④当，，即时，则小杨这八个月的通话时长的中位数为，∵∴中位数随着的增大而增大，∴当时，中位数最大，为，⑤当时，，即时，则小杨这八个月的通话时长的中位数为，综上所述，小杨这八个月的通话时长的中位数最小值为550，最大值为575．故答案为：550，575．【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，用到了列代数式，求代数式的值，一次函数的最值等知识，对的范围进行正确的分类是解决问题的关键．14．2021年是中国共产党成立100周年，某校举行“喜迎中国共产党建党100周年”党史知识竞赛，如表是11名决赛选手的成绩．这11名决赛选手成绩的中位数是______，如果再加一位选手参加决赛，加上这位选手的成绩后，发现12名选手与之前11位选手的成绩的中位数一样．设最后参赛选手的成绩是m分，则m的取值范围是______．分数100959085人数1532【答案】95/【分析】①将所有的成绩从小到大依次排列，再依据中位数的定义即可求解；②在①的基础上根据中位数的定义求解．【详解】①将所有的成绩从小到大依次排列，即：85、85、90、90、90、95、95、95、95、95、100，则该组数的中位数为95；②当加入的选手的成绩为m，当m＜95时，则可知新数列的中位数为第6个数和第7数的平均数，∵第7数即为95，而第6个数无论是m还是85或者90，其最终得到的中位数必小于95，∴不满足中位数不变的条件，故m不可能小于95；当m=95时，显然新数列的第6个数和第7数均为95，中位数仍然是95，满足条件；当时，新数列中m排在5个95之后，此时新数列的第6个数和第7数均为95，中位数仍然是95，满足条件，综上有：，故答案为：95，．【点睛】本题考查了中位数的知识．理解中位数的概念是解答本题的关键．三、解答题：15．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表：分数7分8分9分10分人数1108(1)在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于．(2)在图2中，“8分”的人数是人；(3)经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．【答案】(1)(2)3(3)甲校的平均分8.3分，甲校的中位数7分；乙校的成绩较好，见解析【分析】（1）根据扇形图中圆心角的度数可以直接求出，“7分”所在扇形的圆心角；（2）根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为，可以求出总人数，即可得出8分的人数；（3）根据把分数从小到大排列，利用中位数的定义解答，根据平均数求法得出甲的平均数．【详解】（1）解：根据扇形图中圆心角的度数可以直接求出，“7分”所在扇形的圆心角为：，故答案为：；（2）解：根据已知10分的有5人，所占扇形圆心角为，可以求出总人数为：（人），即可得出8分的人数为：（人），故答案为：3；（3）解：甲校9分的人数是：（人），甲校的平均分为分，分数从低到高，第10人与第11人的成绩都是7分，∴中位数（分），由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及平均数与中位数等知识，掌握条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小是关键．16．学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．请你根据以上提供的信息解答下列问题：(1)此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为______；(2)将表格补充完整．班级成绩平均数（分）中位数（分）众数（分）一班______90______二班87______80(3)请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．【答案】(1)18(2)87；90；85(3)一班，（答案不唯一）理由见解析【分析】（1）根据条形图即可得出答案；（2）分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；（3）只要答案符合题意即可．（答案不唯一）【详解】（1）解：一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为（人），故答案为：；（2）解：由题意可得：一班成绩的平均分为：（分）；一班成绩中90分出现的次数最多，所以一班成绩的众数为：90（分）；二班成绩中为A级的人数有（人），B级的人数有：（人）；C级的人数有：（人）；D级的人数有：（人），把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，处于中间的两个成绩为：90分、80分，∴二班成绩的中位数为：（分），补充表格如下：平均数（分）中位数（分）众数（分）一班879090二班878580（3）解：选一班级参加市知识竞赛，理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用．17．2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息：a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，），：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79．根据以上信息解答下列问题：(1)补全频数分布直方图（直接在图中补全）；(2)第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分；(3)若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．【答案】(1)见解析(2)75，79(3)估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）利用样本估计总体，即可求解．【详解】（1）解：第2组的人数为：（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）解：第3组数据出现次数最多的是75，共出现3次，因此众数是75；抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79，则样本中位数为（分），因此中位数是79，故答案为：75，79；（3）解：（人），估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人．【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．能力提升篇一、单选题：1．表格是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是a，中位数是b，则的值是（

）成绩（分）30252015人数2xy1A． B． C． D．5【答案】B【分析】首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的概念求得b和a的值，从而求得的值即可．【详解】解：∵平均数为23，∴，∴，即：，∵，∴，∴中位数，众数，∴，故选：B．【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，求得x、y的值是解答本题的关键．2．小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（

）A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时【答案】C【分析】利用众数及中位数的定义解答即可．【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,10，众数为4，中位数为5，不合题意；当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4,5,5,8,10，众数为5，中位数为5，符合题意；当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10，众数为8，中位数为8，符合题意；当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10，众数为10，中位数为8，不合题意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时．故答案为C．【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答．3．已知a、b均为正整数，则数据a、b、10、11、11、12的众数和中位数可能分别是（

）A．10、10 B．11、11 C．10、11.5 D．12、10.5【答案】B【分析】根据众数和中位数的定义即可解答.【详解】分情况讨论：①当a=b=10时，这组数据的众数是10，则其中位数是10.5②当a=b=12时，这组数据的众数是12，其中位数是11.5③当a=b=11时，这组数据的众数是11，其中位数是11④当a≠b≠11时，这组数据的众数是11，其中位数要分类讨论，无法确定故选B【点睛】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数就是出现次数最多的数，中位数就是这组数据按照从小到大或从大到小排列后，偶数个数就是中间两个数的平均数，奇数个数就是中间那一个数据．二、填空题：4．下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则的值等于____．成绩（分）20304050607090100次数（人）235634【答案】15【分析】由于全班共有38人，则，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出之值．【详解】解：∵全班共有38人，∴，∵众数为50分，∴，当时，，中位数是第19，20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；当时，，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意；同理当，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意．则，．则．故答案为：15．【点睛】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x、y之值．5．为了解我市初三女生的体能状况，从某校初三的甲、乙两班中各抽取27名女生进行一分钟跳绳次数测试，测试数据统计结果如右表．班级人数中位数平均数甲班2710497乙班2710696如果每分钟跳绳次数次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是_____．【答案】【分析】要比较甲、乙两班的优秀率，只要比较一下中位数即可，甲、乙两班的中位数都为第13位同学的成绩，所以，通过比较甲、乙两班的中位数即可比较优秀率．【详解】解：从表格中可看出甲班的中位数为104，，乙班的中位数为106，，即甲班大于105次的人数少于乙班，∴甲、乙两班的优秀率的关系是，故答案为：．【点睛】本题考查了中位数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．6．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：每周课外阅读时间/小时合计频数817b15a频率0.080.17c0.151表中组的频数b满足．下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31：③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间：④这名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．所有合理推断的序号是___________．【答案】①②/②①【分析】①根据数据总数=频数÷频率，列式计算可求a的值；②根据