专题01 数的开方（三大题型40题）（解析版）

专题01数的开方（三大题型，40题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、平方根和开平方，中档15题，难度三星1．（2023下·上海虹口·七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】A【分析】由题意可得，要使要使是正整数，即可得出当n最大取2022时，是正整数．【详解】解：∵，∴，要使是正整数，即当时，．故选：A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．2．（2023下·七年级名校名卷）已知：（n是自然数）．那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算再求解再化简再计算即可得到答案.【详解】解：由题意得：，∴，则∴．故选D．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.3．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）已知，，且，则的值为（

）A．或 B．或5 C．或1 D．1或5【答案】A【分析】本题考查绝对值，平方根，代数式求值，先根据确定a，b的值，再代入求解即可．【详解】解：，，，，，，或，当，时，，当，时，，的值为或，故选A．4．（2023下·七年级名校名卷）若，则【答案】或/或【分析】根据算术平方根的定义与性质得到与的值，代入求值即可得到答案．【详解】解：，且，，即，，①当时，；②当当时，；故答案为：或．【点睛】本题考查代数式求值，涉及到实数运算、算术平根的定义与性质，根据算术平方根的定义与性质求出与的值是解决问题的关键．5．（2022·河南商丘·七年级校考期中）若有理数、使得，，，这四个数中的三个数相等，则．【答案】【分析】根据中分母不为零，得到，从而，分两类讨论：①；②，求出有理数、，代入代数式求解即可得到答案．【详解】解：中分母不为零，，，分两种情况：①，即，两个方程相乘得到，即或者当时，，不合题意，舍去；当时，，代入，得到，解得，；②，即，两个方程相乘得到，即或者当时，，不合题意，舍去；当时，，代入，得到，解得，；，故答案为：．【点睛】本题考查代数求值，涉及分数分母不为零、解方程、求绝对值等知识，根据题意求出有理数、是解决问题的关键．6．（2023·江苏无锡·七年级校考阶段练习）已知负数的平方等于4，的绝对值等于5，若，则．【答案】10【分析】本题考查了绝对值的定义，平方根的求解，代数式求值，根据负数的平方等于4，的绝对值等于5，求出，，结合，求出，代入求解即可．【详解】解：负数的平方等于4，的绝对值等于5，，，，即，，，故答案为：10．7．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）若，则．【答案】1【分析】由题意知，，，解得，，，然后代入求值即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，，解得，，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，分式有意义的条件，平方根，有理数的乘方，代数式求值．熟练掌握绝对值的非负性，分式有意义的条件是解题的关键．8．（2023·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知与是的平方根，则的值．【答案】49或441【分析】本题考查了平方根的定义，解一元一次方程，根据与是的平方根得出与互为相反数或相等，分两种情况分别列出一元一次方程，解方程并结合平方根的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：与是的平方根，与互为相反数或相等，当与互为相反数时，则，解得：，，；当与相等时，则，解得：，，；综上所述，的值为49或441．9．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）．【答案】【分析】求出两个正方形的边长，列式可算得答案．【详解】解：正方形的面积为，，正方形面积为，，，，∴的面积约为．【点睛】本题考查平方根的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式．10．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知是的平方根，是的立方根，求的四次方根的值．【答案】【分析】根据平方根与立方根的定义列出二元一次方程组，进而求得的值，代入代数式，进而求其四次方根即可求解．【详解】解：∵是的平方根，是的立方根，∴，解得：∴，∴【点睛】本题考查了平方根与立方根的定义，解二元一次方程组，求次方根，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．（2023下·上海·七年级专题练习）已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：(1)求a﹣b的值；(2)若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由a2＝16，|﹣b|＝3，先求解a，b的值，再分类求值即可；（2）由|a+b|＝a+b，可得再分情况求解a，b的值，再求解a+b的平方根即可．【详解】（1）解∶

∵a2=16，|-b|=3，∴a=4，b=3．∴当a=4，b=3，则a-b=4-3=1；当a=4，b=-3，则a-b=4-(-3)=7；当a=-4，b=3，则a-b=-4-3=-7；当a=-4，b=-3，则a-b=-4-(-3)=-1．综上：或．（2）∵|a+b|=a+b，∴a+b≥0．∴∴a+b=1或7．∴当a+b=1时，a+b的平方根为；当a+b=7时，a+b的平方根为，综上：a+b的平方根为或．【点睛】本题考查的是绝对值的含义，平方根的含义，利用平方根解方程，清晰地分类讨论是解本题的关键．12．（2023下·湖北宜昌·七年级统考期中）已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分．(1)求，，的值．(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值；（2）将（1）中的值代入，求其平方根即可．【详解】（1）解：由题意得，，解得，，；，即的整数部分是3，，解得故答案为：，，（2）把代入，3的平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负．13．（2023下·七年级课时练习）已知正数x的平方根是m和m＋b．(1)当b＝8时，求m的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)m＝－4(2)【详解】（1）∵正数x的平方根是m和m＋b，∴m＋m＋b＝0．∵b＝8，∴2m＋8＝0．∴m＝－4．（2）∵x为正数，，整理，得．∵正数x的平方根是m和m＋b，∴，，代入．可得，∴．∵x＞0，∴．14．（2023·浙江绍兴·七年级校联考期中）回答下列问题：(1)若与互为相反数，与互为倒数，的平方根为，求的值．(2)先化简，再求值：，其中，．【答案】(1)(2)，【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值．（1）根据相反数，倒数的定义，得到，整体代入代数式求值即可；（2）去括号，合并同类项化简后，再代值计算即可．熟练掌握相关知识点和运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数，的平方根为，∴，∴；（2）原式；当，时：原式．15．（2023·全国·七年级专题练习）已知正数x的平方根是m和．(1)当时，求m的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到，，代入式子即可求出x值．【详解】（1）解：正数x的平方根是m和，，，，；（2）解：正数x的平方根是m和，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的应用，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．二、立方根和开立方，中档15题，难度三星16．（2023下·上海·七年级专题练习）下列等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方根与立方根的定义，逐个计算得结论．【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的性质与化简，掌握平方根和立方根的定义解决本题的关键．17．（2023下·上海·七年级期中）下列说法正确的是（

）A．1的平方根是1 B．3次方根是本身的数有0和1C．的3次方根是 D．时，的平方根为【答案】C【分析】根据平方根，立方根的概念理解分析选项即可．【详解】解：A.1的平方根是1，∵1的平方根是，故选项说法错误，不符合题意；B.3次方根是本身的数有0和1，∵3次方根是本身的数有0和1和，故选项说法错误，不符合题意；C.的3次方根是，选项说法正确，符合题意；D.时，的平方根为，∵时，的平方根为，故选项说法错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查平方根，立方根的相关概念，解题的关键是要熟练掌握相关概念．18．（2024·山东威海·七年级统考期末）下列运算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，正确根据定义计算是解题的关键．【详解】A．，正确，不符合题意；

B．，正确，不符合题意；

C．，错误，符合题意；D．，正确，不符合题意；故选C．19．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平方根、算术平方根、立方根的意义进行求解即可得到答案．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．20．（2024·内蒙古包头·八年级统考期末）若，则的值为．【答案】【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性求得x，y的值，然后利用立方根的定义即可求得答案．本题考查算术平方根及绝对值的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．21．（2024·浙江宁波·七年级统考期末）整数满足，其中，则的最大值是．【答案】1024【分析】本题考查平方，立方根，代数式求值，先根据已知条件确定b和可能的值，进而确定，推出，再分情况讨论求出和c可能的值，最后求出比较大小即可．【详解】解：整数满足，为整数，，或或或，或或或，当时，，不成立，又，，，，当，，，不是整数，不合题意；当时，，，符合题意；当时，，，不合题意；当时，，，不合题意；当，，，不是整数，不合题意；当时，，，不是整数，不合题意；当时，，，不是整数，不合题意；当时，，，符合题意；综上可知，整数的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，，当整数的值为2，8，2时，；当整数的值为2，8，时，；当整数的值为2，，8时，；当整数的值为2，，时，；综上可知，的最大值是1024．故答案为：1024．22．（2023下·上海·七年级专题练习）阅读下列解题过程，并按要求填空：已知：＝1，＝﹣1，求的值．解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步由①、②，得，解得…第三步把x、y的值分别代入分式中，得＝0

…第四步以上解题过程中有两处错误，一处是第步，忽略了；一处是第步，忽略了；正确的结论是（直接写出答案）．【答案】一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；＝1．【分析】熟悉平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．【详解】解：在第一步中，由（2x﹣y）2＝1应得到2x﹣y＝±1，忽略了2x﹣y＝﹣1；在第四步中，当时，分式无意义，忽略了分式有意义的条件的检验，当时，解得，代入分式，得＝1，所以正确的结论是＝1．故答案为：一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；＝1．【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的性质，同时还要注意求分式的值时，首先要保证分式有意义．23．（2023下·北京西城·七年级北京八中校考期中）观察下列计算过程，猜想立方根．，，，，，，，，；(1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根；(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：①______，②______．【答案】(1)7，2(2)，【分析】分别根据题中所给的分析方法，先求出这几个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论．【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3，∴猜想的立方根的个位数为7，又∵，∴猜想的立方根的十位数为2，验证：，故答案为7，2；（2）①∵的个位数是9，而末位数为9，∴猜想的立方根的个位数为9，又∵，∴猜想的立方根的十位数为4，验证：；②∵的末位数是1，而，∴猜想的立方根的末位数为1，又∵，∴猜想的立方根的十分位数为8，验证：；故答案为，；【点睛】本题主要考查了立方和立方根，理解一个数的立方以后的个位数，就是这个数的个位数的立方以后的个位数是解题的关键，有一定难度．24．（2024下·七年级名校名卷）求值(1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值；(2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值．【答案】(1)(2)x的值为9【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值,再求得的值；（2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值．【详解】（1）解：由题意可得：，解得：；∴（2）由题意可得：，解得：，∴x的值为9．【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键．25．（2024下·全国·七年级假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；(2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值．【答案】(1)成立，见解析(2)【详解】解：（1）如，则，结论成立．（2）由题意，得，，26．（2024下·全国·七年级专题练习）已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2．(1)求，的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，(2)3【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，平方根的概念，根据一个数的立方根求这个数等等，解题的关键在于熟知平方根和立方根的定义：对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根；（1）根据一个数的两个平方根互为相反数得到，解方程求出a，再根据立方根的定义得到，解方程求出b即可；（2）根据（1）所求求出的值，再根据算术平方根的定义求出答案即可．【详解】（1）解：∵一个数的平方根分别为和，∴，∴；∵的立方根为2，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴的算术平方根是．27．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）已知的平方等于a，b立方等于，c的算术平方根为3．(1)写出a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解此题的关键．（1）根据平方、立方根、算术平方根的定义即可得出a，b，c的值；（2）先求出的值，再根据平方根的定义计算即可得出答案．【详解】（1）解：的平方等于a，b立方等于，c的算术平方根为3，，，；（2）解：由（1）得：，，，，的平方根．28．（2023·山东东营·七年级统考期末）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了实数的有关计算，解题关键是熟练掌握实数整数幂的性质和绝对值的性质．根据混合运算法则，先算开方，再算加减即可；根据实数整数幂的性质和绝对值的性质，先算乘方和开方，去掉绝对值符号，再进行实数的加减运算即可．【详解】（1）原式．（2）原式．29．（2023·全国·七年级专题练习）已知，，求代数式的值．【答案】6或30【分析】根据立方根的性质可得，从而得到．然后再代入，即可求解．【详解】解：，．，，，解得．当时，，此时；当时，，此时．综上所述，代数式的值是6或30．【点睛】本题考查了立方根的性质以及代数求值，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．30．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知：，，，若，求的值．【答案】1或【分析】先运用绝对值、平方根和立方根等知识确定，，的值，再代入进行求解．【详解】解：，，解得或，，，解得或，，，或，，，，当，，时；当，，时；综上所述，的值为：1或．【点睛】此题考查了绝对值、平方根和立方根等方面的应用能力，关键是能运用以上知识进行正确求值、讨论、计算．三、利用算术平方根的非负性求解，压轴小题10题，难度四星31．（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据算术平方根，立方根，不等式的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵是实数，且，A.当时，，故该选项不正确，不符合题意；B.当时，，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；D.当时，，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，不等式的性质，实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键．32．（2022下·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期末）若实数a、b满足，则的正平方根是．【答案】2【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用正平方根的定义得出答案．【详解】解：∵，∴a+2=0，b-6=0，解得：a=-2，b=6，则a+b=4，故a+b的正平方根是：2．故答案为2．【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及正平方根，正确得出a，b的值是解题关键．33．（2022·上海·七年级开学考试）若，则．【答案】1【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．【详解】解：∵∴①+②得：，解得：，将代入①得：解得：，∴故答案为：1．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．34．（2022下·上海杨浦·七年级校考期末）已知与互为相反数，．【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，解得，所以，，故答案为：1【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方程．35．（2022下·七年级名校名卷）若，则的取值范围是．【答案】3≤a≤4【分析】根据绝对值的意义化简，根据（a﹣3）+（4﹣a）=1，可得a﹣3≥0，4﹣a≥0，进而解不等式组即可求解．【详解】∵|a﹣3|+|a﹣4|．又∵（a﹣3）+（4﹣a）=1，∴a﹣3≥0，4﹣a≥0，解得：3≤a≤4．故答案为3≤a≤4．【点睛】本题考