河南省驻马店市汝南县三门闸乡天中山中学2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题（解析版）

2024年初中毕业生中招适应性测试数学注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分）1.的相反数的倒数是（）A. B. C. D.2024【答案】D【解析】【分析】本题考查了有理数的相反数和倒数的概念，正确理解有理数的相反数和倒数的概念是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．根据有理数的相反数和倒数的概念，即得答案．的相反数是，的倒数是，所以的相反数的倒数是．故选D．2.《孙子算经》中记载“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分．”说明了长度计量单位之间的关系：1秒忽，1毫秒，1厘毫，1分厘，则90分等于（）A.忽 B.忽 C.忽 D.忽【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．根据题干中长度计量单位之间的关系计算即可．解：90分忽，故选：C．3.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的“静”相对的面上的汉字是（）A.冷 B.着 C.应 D.考【答案】B【解析】【分析】根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，进行判断即可．解：在原正方体的“静”相对的面上的汉字是：着；故选B．【点睛】本题考查正方体展开图的相对面．熟练掌握正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，是解题的关键．4.下列说法正确的是（）A.对神州十七号零部件进行检查可采用抽样调查B.甲、乙两人射中环数的方差分别为：，说明甲的射击成绩比乙稳定C.从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件【答案】B【解析】【分析】此题考查了普查和抽样调查、方差、样本容量、事件的分类等知识，根据相关知识进行判断即可．解：A．对神州十七号零部件进行检查必须采用普查，不能抽样调查，故选项错误，不符合题意；B．甲、乙两人射中环数的方差分别为：，说明甲的射击成绩比乙稳定，故选项正确，符合题意；C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为200，故选项错误，不符合题意；D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故选项错误，不符合题意．故选：B．5.与函数自变量取值范围相同的函数是（）A.函数 B.函数 C.函数 D.函数【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件判断题干函数与各选项中函数的自变量取值范围，然后作答即可．解：由题意知，函数自变量取值范围为，即；A中函数自变量取值范围为，即，故不符合要求；B中函数自变量取值范围为取所有实数，故不符合要求；C中函数自变量取值范围为，即，故不符合要求；D中函数自变量取值范围为，即，故符合要求；故选：D．6.我们可以用如图的方法做出平行线，这种做法的依据是（）A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行C.同位角相等，两直线平行 D.两直线平行，同旁内角互补【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线判定的方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断．解：由题意知：，∴（内错角相等，两直线平行）．故选：B．7.学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，利用判别式的取值范围进行判断即可．解：A、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B、，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、，，方程没有实数根，符合题意；D、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；故选：C．8.为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设型单车每辆车的价格为元，则型单车每辆车的价格为元，再根据型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少列出方程即可．解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，由题意得，，故选：A．9.如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为，则的周长的最小值是（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】D【解析】【分析】利用已知条件可以求出边的长度，再根据“将军饮马”问题，求最短距离即可．如图1，过作，作点关于直线对称点，交于点，连接，交于点，∴，由，∴，，∴；∵，即，∴，解得：，∴，要使周长最小，则需点与重合时，即点共线时，如图2由勾股定理得：，∴的周长的最小值是，故选：．【点睛】本题考查了求线段和最短距离，解题的关键是灵活利用轴对称的有关定理及将军饮马数学模型．10.在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺如图放置，其中，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角尺沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作轴于点D．根据勾股定理可求出．再结合含角的直角三角形的性质可求出，进而可求出，得出，即说明，可求出，最后可求出，即得出双曲线解析式为，令，求出x的值即得出平移后点A的坐标为，最后可得出平移后点C的坐标为．解：过点作轴于点D．∵，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，，∴．设双曲线解析式为，则，解得：，∴双曲线解析式为．将直角三角尺沿轴正方向平移，即点A纵坐标不变，即，将代入，则，解得：，∴平移后点A的坐标为，∴平移后，∴平移后点C的坐标为．故选：C．【点睛】此题考查坐标与图形的变化—平移，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.如图，点可能是无理数________．【答案】（答案不唯一，合理即可）【解析】【分析】本题考查了实数与数轴．熟练掌握实数与数轴是解题的关键．根据点A表示的无理数数大于且小于，且靠近，作答即可．解：由题意可知，点A表示的数大于小于，且靠近，∴点可能表示的无理数是，故答案为：（答案不唯一）．12.小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是________．【答案】【解析】【分析】此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可．解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为则不等式组的整数解为,共4个，画树状图如下；共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个，∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为．故答案为：13.如图，菱形中，．过菱形的中心分别作边、的垂线，交各边于点．则四边形的周长为________．【答案】##【解析】【分析】根据菱形的性质，结合含有的直角三角形三边关系即可得出菱形对角线长，证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，即可．解：连接，，如图所示：四边形是菱形，，，，，，即，，，，在和中，，，，，，是等边三角形，，同法可证，，，都等边三角形，，，四边形的周长，故答案为：．【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．14.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是________．【答案】【解析】【分析】如图，连接、、、，根据勾股定理的逆定理确定，即的度数为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据题意得，即，推出当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：，进一步得出点为的中点，如图，根据弧的度数的意义确定，证明为等边三角形，得到，由等腰三角形三线合一得，求出，，再代入即可得出答案．解：如图，连接、、、，∵每个小正方形的边长为，点为弧的三等分点（靠近点），∴，，∵，∴是直角三角形，∴，即的度数为，∴是直角三角形，∵点为的中点，，∴，∵点、分别是线段、上的动点，点为的中点，∴，∴，当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：，此时点为的中点，如图，∵点为弧的三等分点（靠近点），的度数为，∴的度数为：，，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是．故答案为：．【点睛】本题考查求不规律图形的面积，考查了勾股定理及逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，弧的度数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点．确定点、、三点共线时求出的最小值是解题的关键．15.如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点是上的一动点，将沿折叠得到．连接，作关于对称的，连接、，当是等腰三角形时，的长为________．【答案】2或【解析】【分析】先判断，然后分时和时两种情况求解即可．解：∵点是的中点，∴，根据翻折有：，∴四边形是菱形，∴点在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，当点D，，E共线时，最短，最小值线段的长减去圆的半径，即为＞2，∴，∴当是等腰三角形时，分两种情况讨论．①当时，∵，∴，∴点在边上，如图(1)，∴，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴．②当时，如图(2)，∵四边形是菱形，，∴，，∴CD垂直平分，∴，则，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴．故答案为：2或．【点睛】本题考查了折叠的性质，正方向的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16.（1）计算：（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、化简绝对值、负整数指数幂和零指数幂的计算、平方差公式和完全平方公式．熟练掌握实数的混合运算和整式的混合运算法则是解题关键．（1）先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行四则运算即可；（2）利用整式的混合运算法则计算即可．解：（1）；（2）17.2023年12月4日是我国第十个国家宪法日，为提高学生法治意识，某学校举行了校园法律知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的总成绩（百分制）进行整理、描述和分析成绩用（分）表示，80分及以上为优秀，分为A组（），B组（），C组（），D组（），并给出部分信息（表、图）八年级抽取的学生竞赛成绩C组的数据为：82，86，88九年级抽取的学生竞赛成绩数据为：68，77，75，100，80，100，80，86，95，91，100，86，84，94，87八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数优秀率八年级879860%九年级8786八年级抽取学生竞赛成绩频数分布直方图根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝．（2）该校八、九年级共800人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．（3）假如你是该校同学，请结合以上数据分析本次法律知识竞赛的结果，并提出相关建议．【答案】（1）86，100，；（2）人．（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据．（1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c；（2）用800人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解；（3）结合以上数据分析本次法律知识竞赛的结果提出相应的建议即可．【小问1】解：∵一共抽取八年级学生15人，∴中位数是排序后的第8个数据，∵，∴第8个数据落在C组，是第八名学生成绩，即；∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，∴，∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，∴；故答案：86，100，；【小问2】：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），答：该校八、九年级此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为人．【小问3】八年级学生优秀率相比九年级学生的优秀率偏低，八年级学生应该加强法律知识的学习力度，提高优秀率．18.如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向的B处，立即通知在岛屿A处的驱逐舰前去拦截，“敌舰”沿北偏西方向以30的速度航行，C处在A处的正北方向，驱逐舰沿东北方向航行，恰好在BC上的D处截停“敌舰”，请问驱逐舰的航行速度是多少（结果精确到0.1．参考数据：，，，）【答案】驱逐舰的航行速度为．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．设驱逐舰在上的处截停“敌舰”的时间为，则，在和中，依次表示出和，再根据速度=路程时间即可得解．解：如图，作于点，则，，设驱逐舰在上的处截停“敌舰”的时间为，，在中，，，在中，，，驱逐舰的航行速度，答：驱逐舰的航行速度是．19.2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案：商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售．商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元．若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示．（1）求每个排球的标价是多少元．（2）当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为．（3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义．（4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．【答案】（1）元（2）；（3）点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元（4）当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系（1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解；（2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式；（3）根据（2）的结论列方程解答即可；（4）根据（3）的结论结合图象解答即可；解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题．【小问1】解：商店：购买个排球的总价为元，∴标价为：（元/个）；商店：购买个排球的总价为元，∴标价为：（元/个）；则两个商店排球的标价是一样的，∴每个排球的标价是元；【小问2】当时，，∴与数量之间的函数关系式为，当时，，∴与数量之间的函数关系式为，故答案为：；；【小问3】由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，则，解得：，此时，∴点的坐标为，∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元；【小问4】观察图象可知：当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算．20.小华在数学活动课上遇到了这样一个问题：如图，是直角三角形，．（1）操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹，不写作法．①作，使其经过、、三点．②分别以点、为圆心，以线段的长为半径作弧，两弧交于点，且点与点分别在的两侧．③连接，交于点．（2）综合与运用：若，解决以下问题：①猜想与的位置关系，并说明理由．②连接，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）①是的切线，见解析；②【解析】【分析】（1）如图1，作的垂直平分线交于，以为圆心为半径画圆，则即为所作，然后按照步骤作图即可；（2）如图2，连接，证明是等边三角形，则，由，可得，则，即，进而可得是的切线；②如图3，连接，则，由①可知，，，由勾股定理得，，则，即，计算求解即可．【小问1】解：∵，∴为直径，如图1，作的垂直平分线交于，以为圆心为半径画圆，则即为所作，以点、为圆心，以线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于；图1∴，点即为所作；【小问2】①解：是切线，理由如下；如图2，连接，图2∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线；②解：如图3，连接，图3∵是直径，∴，由①可知，，，由勾股定理得，，∴，即，解得，，∴的长为．【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，作垂线，切线的判定，等边三角形的判定与性质，正弦，正切，勾股定理等知识．熟练掌握三角形的外接圆，圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，作垂线，切线的判定，等边三角形的判定与性质，正弦，正切，勾股定理是解题的关键．21.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点．（1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴．（2）点为轴上一点，，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，若，求点的纵坐标的取值范围．【答案】（1）直线（2）【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）由题意可得，由题意得到，求出或，进一步即可得到m的取值范围．【小问1】解：把代入得到，解得∴抛物线的解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线．【小问2】当时，，∴，∴，∵，∴∴，∴或当时，，即此时抛物线的最高点为，则，当时，，即此时抛物线的最高点为，则，∴m的取值范围是22.函数图象是研究函数的重要工具，探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请按照要求补充完成．（1）与的几组对应值如下表：…023……0…其中＝，＝．（2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的一部分，请描出剩余的点，补全函数图象．（3）观察图象，判断下列关于该函数的性质的命题：①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线；②当时，有最小值0；③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．其中正确的是．（填序号）（4），结合图象写出，当满足时．（取近似值，结果精确到0.1）【答案】（1），（2）见解析（3）①（4）【解析】【分析】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．（1）将和分别代入中，即可得解；（2）根据列表描点，用平滑的曲线依次连接即可得解；（3）观察图象即可得解；（4）画出函数在第一象限的图象，令，当时，求出