全等三角形第11讲学

第十一讲三角形全等(二)

在上一讲中，我们已经讲授了三角形全等的基本知识。今天我们着重结合以下几类问题对三角形进行

深入研究：角平分线、等边三角形、等腰三角形、直角三角形。

同学们在这一讲中要注意吸收两个经验：一是已知条件(角平分线、等角、等边、等腰、直角'

等腰直角)是如何与全等结合在一起运用的，总结相应的辅助线画法；二是题目所需要证明

的结论(边的相等、一边等于另外两边的和、角度相等)是如何得出的。

一、例题

第一部分：角平分线

例1.(★)如图所示,AD平行于BC,ZDAE=ZEAB，NABE=NEBC,AD=4,BC=2,那么AB=,

例2.(★★★)AABC中，ZC=2ZB,Z1=Z2,求证：AB=AC+CD.

第二部分：等边、等腰、中点

例3.(★★)如图所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形AACM和ABCN,连接AN,BM,

若NMBN=38°,则求NANB.

例4.(★★★)正三角形ABC中，P为AB中点，Q为AC中点，R为BC中点，M为RC上任一点，AMSP

为正三角形，求证RM=QS

例5.(★★★★)点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC,ZBDC=120°,ZMDN=60°,求

证MN=MB+NC。

例6.(★★★★)已知△ABC,ZB=ZC,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE

交底BC于G,求证GD=GE.

例7.(★★★★)已知AABC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CE为AABC的AB边上的中线。

求证CD=2CE

A

例8.(★★★★)如图所示，AABC是边长为1的正三角形，ABDC是顶角为120度的等腰三角形，以

D为顶点作一个60度的NMDN,点M,N分别在AB,AC±,则AAMN的周长是多少？

第三部分：直角三角形

例9.(★★★)如图所示，在AABC中，ZBAC=90°,ADLBC于D,ZBCA的角平分线交AD与

F,交AB于E,FG平行于BC交AB于GAE=4,AB=14,贝BG=.

例10.(★★★)如图所示，已知在等腰直角三角形ABC中，/BAC是直角，D是AC上一点,

AE±BD,AE的延长线交BC于E若NADB=NFDC,求证：D是AC的中点。

例11.(★★★)^ABC中，D是BC的中点，DE1DF,试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的的

结论。

例12.(★★★★)如图所示，在AABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边

上，并且NMDN=90°。已知BM2+CN2=DM2+DN2,求证：AD2=^-(AB2+AC2)0

二、练习题

1.(★)已知两线段AC和BD互相平行且相等，AB、CD交于0,过0作一线EF分别交AC于E,交BD于F,

求证：0E=0F

2.(★★)如图所示，AD是AABC的角平分线，DE、DF分别是AABD和AACD的高，ZDEF=20°,

则NBAC等于.

3.(★★★)已知aABC为等边三角形，延长BC于D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE,DE,求证CE=DE

4.(★★★)已知4ABC中，AB=AC,GE过A且GE〃BC,ZB的平分线与AC和GE分别交于D,E,ZC的

平分线与AB和GE分别交于F,Go求证DE=FG.

5.(★★★)如图所示，在Rt三角形AB