浙江省杭州市下沙区2025届数学九上期末联考模拟试题含解析

浙江省杭州市下沙区2025届数学九上期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列说法中错误的是（）A．成中心对称的两个图形全等B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B． C．-1 D．+13．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：…012………且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．坡比常用来反映斜坡的倾斜程度．如图所示，斜坡AB坡比为（）.A．：4 B．：1 C．1：3 D．3：15．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆6．下列是一元二次方程的是（）A． B． C． D．7．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米 B．米 C．米 D．0.4米8．如图，⊙O的圆周角∠A=40°，则∠OBC的度数为（）A．80° B．50° C．40° D．30°9．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）.A．18米

B．16米

C．20米

D．15米10．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（）A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为_____．12．某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到了1160元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出的方程是__________________________________.13．已知中，，的面积为1．（1）如图，若点分别是边的中点，则四边形的面积是__________．（2）如图，若图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，则四边形的面积是___________．14．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝__．15．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是_______.16．方程的根是__________．17．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．18．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）三、解答题(共66分)19．（10分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．20．（6分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求F点坐标；（3）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，在中，，矩形的顶点、分别在边、上，、在边上．（1）求证：∽；（2）若，则面积与面积的比为．22．（8分）阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2)，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为，求k的值．（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y=x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标的取值范围．23．（8分）如图，两个班的学生分别在C、D两处参加植树劳动，现要在道路AO、OB的交叉区域内(∠AOB的内部)设一个茶水供应点M，M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？请说明理由．(保留作图痕迹，不写作法)24．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？25．（10分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．(1)第一季度平均每月的增长率；(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？26．（10分）如图，已知一次函数与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点．（1）求的值和的值以及点的坐标；（2）观察反比例函数的图像，当时，请直接写出自变量的取值范围；（3）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，求点的坐标；（4）在y轴上是否存在点，使的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】试题分析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选B．考点：中心对称．2、C【解析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3、C【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2∴抛物线的对称轴是：x=-=；∴a、b异号，且b=-a；∵当x=0时y=c=-2∴c∴abc0，故①正确；∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t∴和3是关于的方程的两个根；故②正确；∵b=-a，c=-2∴二次函数解析式：∵当时，与其对应的函数值．∴，∴a；∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4；故③错误故选C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．4、A【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据坡比的定义即可得答案.【详解】∵AB=3，BC=1，∠ACB=90°，∴AC==，∴斜坡AB坡比为BC：AC=1：=：4，故选：A.【点睛】本题考查坡比的定义，坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比；熟练掌握坡比的定义是解题关键.5、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．6、A【分析】用一元二次方程的定义，1看等式，2看含一个未知数，3看未知数次数是2次，4看二次项系数不为零，5看是整式即可．【详解】A、由定义知A是一元二次方程，B、不是等式则B不是一元二次方程，C、二次项系数a可能为0，则C不是一元二次方程，D、含两个未知数，则D不是一元二次方程．【点睛】本题考查判断一元二次方程问题，关键是掌握定义，注意特点1看等式，2看含一个未知数，3看未知数次数是2次，4看二次项数系数不为零，5看是整式．7、B【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，所以解析式为：y＝x2+x+，当x＝2.75时，y＝，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣＝，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键8、B【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．【详解】∵∠A=40°．

∴∠BOC=80°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=50°，

故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9、A【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1.5：2.5=旗杆的高：30，∴旗杆的高==18米．故选：A．【点睛】考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高．10、D【分析】当a=b时，可得出=2；当a≠b时，a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，利用根与系数的关系可得出a+b=6，ab=2，再将其代入=中即可求出结论．【详解】当a=b时，=1+1=2；

当a≠b时，∵a、b满足a2-6a+2=0，b2-6b+2=0，

∴a、b为一元二次方程x2-6x+2=0的两根，

∴a+b=6，ab=2，

∴==1．

故选：D．【点睛】此题考查根与系数的关系，分a=b及a≠b两种情况，求出的值是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、（﹣1，1）【分析】观察图象可知，点B1旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可．【详解】解：观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，∵2018÷8＝252余数为2，∴点B2019的坐标与B3（﹣1，1）相同，∴点B2019的坐标为（﹣1，1）．故答案为（﹣1，1）．【点睛】本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．12、【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．【详解】依题意得：第一次降价后售价为：2370（1-x），

则第二次降价后的售价为：2370（1-x）（1-x）=2370（1-x）2，

故．

故答案为．【点睛】此题考查一元二次方程的运用，解题关键在于要注意题意指明的是降价，应该是1-x而不是1+x．13、31.5；26【分析】(1)证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为1，求得△ADE的面积，用大三角形的面积减去小三角形的面积，即可得答案；(2)利用△AFH∽△ADE得到，设，，则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【详解】(1)∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴，∴，

∵，

∴，

∴；(2)如图，

根据题意得，∴，设，，∴，解得，∴，∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：有两组角对应相等的两个三角形相似．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14、1【分析】先根据题意求出AB的长。再得到C点坐标，故可求解．【详解】解：y＝0时，0＝x2﹣4x+1，解得x1＝1，x2＝1∴线段AB的长为2，∵与y轴交点C（0，1），∴以AB为底的△ABC的高为1，∴S△ABC＝×2×1＝1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知函数与坐标轴交点的求解方法．15、【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为，已知一个点为，

根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称的另一个点为，

所以时，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点的对称点是解题的关键．16、，【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x2＝3xx2﹣3x＝0即x（x﹣3）＝0∴，故本题的答案是，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．17、1【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE=2×50=1米．故答案为1．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．18、甲【分析】

【详解】∵S甲2=16.7，S乙2=28.3，∴S甲2＜S乙2，∴甲的成绩比较稳定，故答案为甲．三、解答题(共66分)19、(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(1)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（1）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（1）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC1+CE1=DE1，∴DC1+BC1=AC1．考点：四边形综合题．20、（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F点坐标为(﹣，)；（3）存在，满足条件的P点坐标为(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)【分析】（1）把代入得得到关于的方程组，然后解方程组即可求出抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得D点坐标；

（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，则，则可表示出，，根据三角形面积公式结合二次函数的性质即可求解；

（3）设，根据得到，最后分两种情况求解即可得出结论．【详解】解：（1）把代入得，∴，∴抛物线的解析式为：，∵，∴点D的坐标为：；（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，设直线AC的解析式为，把代入，得，解得，∴直线AC的解析式为：．设，则，∴，∴=，当时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，），（3）存在．∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），∴，设，则，，如图3，∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°∴，∴，∴，当t＞0时，，解得：，当t＜0时，，解得：，综上所述，满足条件的P点坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法求函数解析式，判断出是解本题的关键．21、（1）见解析；（2）1．【分析】（1）先证∠AGD=∠B，再根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明；（2）由（1）得∽，则△ADG面积与△BEF面积的比==1．【详解】（1）证：在矩形中，=90°∴=90°∵=90°∴=90°∴在和中∵,=90°∴∽（2）解：∵四边形DEFG为矩形，∴GD=EF，∵△ADG∽△FEB，∴故答案为1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证得△ADG∽△FEB是解答本题的关键．22、（1）②；（2）±1；（3）＜＜或＜＜【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．（2）本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF，利用勾股定理求解AF，进一步确定∠AOF度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k．（3）本题根据⊙B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND，△BMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围．【详解】（1）如下图所示：∵PM是⊙O的切线，∴∠PMO=90°，当⊙O的半径OM是定值时，，∵，∴要使面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP⊥时，OP最小，符合最美三角形定义．故在图1三个三角形中，因为AO⊥x轴，故△AOP为⊙A与x轴的最美三角形．故选：②．（2）①当k＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM⊥x轴，如下所示：按题意可得：△AEF是直线y=kx与⊙A的最美三角形，故△AEF为直角三角形且AF⊥OF．则由已知可得：，故EF=1．在△AEF中，根据勾股定理得：．∵A(0,2)，即OA=2，∴在直角△AFO中，，∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，将F点代入y=kx可得：．②当k＞0时，同理可得k=1．故综上：．（3）记直线与x、y轴的交点为点D、C，则，，①当⊙B在直线CD右侧时，如下图所示：在直角△COD中，有，，故，即∠ODC=60°．∵△BMN是直线与⊙B的最美三角形，∴MN⊥BM，BN⊥CD，即∠BND=90°，在直角△BDN中，，故．∵⊙B的半径为，∴．当直线CD与⊙B相切时，，因为直线CD与⊙B相离，故BN＞，此时BD＞2，所以OB=BD-OD＞．由已知得：＜，故MN＜1．在直角△BMN中，＜，此时可利用勾股定理算得BD＜，＜=，则＜＜．②当⊙B在直线CD左侧时，同理可得：＜＜．故综上：＜＜或＜＜．【点睛】本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．23、作图见解析，理由见解析.【分析】因为M到两条道路的距离相等，且使MC=MD，所以M应是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点．【详解】如图，∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点即为茶水供应点的位置．理由是：因为M是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点，所以M到∠O的两边OA和OB的距离相等，M到C、D的距离相等，所以M就是所求．【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．24、（1）20%；（2）每千克应涨价5元．【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）设涨价y元（0＜y≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解．【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x根据题意得：50（1﹣x）2＝32解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）答：每次下降20%（2）设涨价y元（0＜y≤8）6000＝（10+y）（500﹣20y）解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）答：每千克应涨价5元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．25、（1）20%（2）能【解析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量