-4.7相似三角形的性质（第一课时）课件北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似7相似三角形的性质（第一课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习◎要点归纳相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线

的比都等于

⁠.相似比

数学九年级上册BS版02典例讲练

如图，已知△

ABC

∽△

A

'

B

'

C

'，且△

ABC

与△

A

'

B

'

C

'的相似

比为

k

.点

D

，

E

在边

BC

上，点

D

'，

E

'在边

B

'

C

'上.

【思路导航】要求两条线段的比值，关键在于找到两条线段所

在的两个三角形是否相似，得到对应边之比等于相似比.

【点拨】解这类问题的关键在于根据原来的两个三角形相似得

到新的三角形相似.

已知△

ABC

∽

△

A

'

B

'

C

'，求证：对应角平分线之比等于相

似比.证明：设

△

ABC

中∠

BAC

的平分线交

BC

边于点

D

，△

A

'

B

'

C

'

中∠

B

'

A

'

C

'的平分线交

B

'

C

'边于点

D

'.∵△

ABC

∽△

A

'

B

'

C

'，

∴∠

B

＝∠

B

'，∠

BAC

＝∠

B

'

A

'

C

'.∴∠

BAD

＝∠

B

'

A

'

D

'.∴△

ABD

∽

△

A

'

B

'

D

'.∴

AD

∶

A

'

D

'＝

AB

∶

A

'

B

'，即对应角平分线

之比等于相似比.

一张锐角三角形的硬纸片如图所示，

AD

是边

BC

上的高，

BC

＝40cm，

AD

＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长

HG

是宽

HE

的2倍的矩形

EFGH

，使它的一边

EF

在

BC

上，顶点

G

，

H

分别在边

AC

，

AB

上，

AD

与

HG

的交点为点

M

.

求矩

形

EFGH

的周长.【思路导航】根据四边形

EFGH

为矩形，得

EF

∥

GH

，即可得

△

AHG

∽△

ABC

，再根据相似三角形的性质即可求得

HE

，

HG

的长，进而求出矩形

EFGH

的周长.

【点拨】三角形中截取矩形或正方形问题是相似图形知识应用

的热点问题，解决它的方法一般是抽象为相似的数学模型，利

用相似三角形中对应高之比等于相似比来解答.

如图，矩形

EFGH

内接于△

ABC

（矩形各顶点在三角形的边

上），点

E

，

F

在

BC

上，点

H

，

G

分别在

AB

，

AC

上，且

AD

⊥

BC

于点

D

，交

HG

于点

N

.

若

AD

＝3，

BC

＝9，设

EH

＝

x

，矩

形

EFGH

的面积为

y

，求出

y

与

x

之间的函数关系式，并写出自

变量

x

的取值范围.

已知一块直角三角形木板的直角边

AB

的长为1.5m，面积为1.5m2.工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲同学设计方案如图1，乙同学设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案中的正方形面积大？

试说明理由.图1图2【思路导航】根据相似三角形的性质，分别计算出甲、乙两同

学设计的方案中的正方形边长及面积，再比较.解：甲同学设计的方案中的正方形面积大.理由如下：∵

AB

＝1.5m，△

ABC

的面积为1.5m2，∴

BC

＝2m.

图1图2

【点拨】解本题的关键点有两个：一是用等面积法求出斜边上

的高；二是运用相似三角形的对应高之比等于相似比进行计算.

如图，有一块锐角三角形卡纸余料

ABC

，它的边

BC

＝120cm，

高

AD

＝80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一

个邻边之比为2∶5的矩形纸片

EFGH

和正方形纸片

PMNQ

，裁

剪时，矩形纸片的较长边在

BC

上，正方形纸片的一边在矩形纸

片的较长边

EH

上，其余顶点均分别在

AB

，

AC

上，

AD

分别交

PQ

，

EH

于点

K

，

R

.

（1）求矩形纸片的较长边

EH

的长；

（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是