暑假作业02平行线与相交线

完成时间：月日天气：作业02平行线与相交线知识点1．平行线在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：①前提是在同一平面内；②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．知识点2．平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．知识点3．平行线的判定（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．（3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．知识点4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．知识点5．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点6．命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．题型一：平行线的相关概念1．如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线，其中只有的延长线不与相交，故选：．2．下列说法：①若与相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种，其中错误的有（

）A．①② B．①②③ C．①③④ D．③④【答案】C【详解】解：若a与c相交，b与c相交，则a与b相交的说法错误，a与b还有可能平行，如图所示：，故①说法错误，符合题意；若，，那么，故②说法正确，不符合题意；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误，符合题意；在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④说法错误，符合题意；综上所述，①③④说法错误，故选：C．3．已知直线及其外一点，过点作，过点作，点，分别为直线，上任意一点，那么，，三点一定在同一条直线上，依据是．【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【详解】解：点为直线外的一点，且，，（已知），，三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4．（2324七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）作图题(1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为，（填“”“”或“”），理由是(2)过点P作直线，，则三点共线，理由是【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析(2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图：，理由是：点到直线的距离，垂线段最短；（2）过点P作直线，，理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．【点睛】本题考查了作垂线，平行线，点到直线的距离，平行公里的推论，正确掌握基本作图方法是解题关键．题型二：平行线的判定5．如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的判定．解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可．【详解】解：A．∵，∴，故此选项不符合题意；B．∵，∴，故此选项符合题意；C．∵，∴，故此选项不符合题意；D．∵，∴，故此选项不符合题意．故选：B．6．如图，下列条件中，不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，同位角相等，两直线平行，得到，不符合题意；B、，内错角相等，两直线平行，得到，不符合题意；C、，同旁内角互补，两直线平行，得到，不符合题意；D、，无法判定，符合题意；故选D．7．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定【答案】C【分析】本题考查了垂线和平行线，熟练掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行是关键．根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案．【详解】解：∵，，∴．故选：C．8．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．9．完成下面的证明：如图，平分，平分，且，求证．证明：∵平分（已知），∴（

）∵平分（已知），∴_________（

）∴（

）∵（已知），∴_________（

）∴（

）【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行【详解】证明：∵平分（已知），∴（角平分线的定义）∵平分（已知），∴（角平分线的定义）∴（等量代换）∵（已知），∴（等量代换）∴（同旁内角互补，两直线平行）10．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得．【详解】解：，理由如下：∵，，∴，∴．题型三：平行线的性质与判定11．如图所示，在内有一点P，动手画一画：（1）过点P画；（2）过点P画；则与相交所成的角与的大小关系是（

）A．相等 B．相等或互补 C．互补 D．互余【答案】B【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴所以和的夹角与相等或互补．故选B12．如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图：∵，，∴，∴．故选D．13．如图，下列判断不正确的是（

）

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【详解】解：A．若，则，不符合题意；B．若，则，不符合题意；C．若，则，不符合题意；D．若，则，符合题意．故选：D．14．国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（

）度时，．A．15 B．65 C．70 D．115【答案】B【详解】解：依题意，，，，，，∵要使与平行，则有，，．故选：B．15．为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：过作，∵，∴∵∴，∵，，∵，故选：C．16．已知：如图，，．(1)判断与的位置关系，并说明理由．(2)若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)．【详解】（1）解：，理由是：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：，，∴．17．如图，已知，．试说明：．（要求：推理过程要完整，并且每一步要注明理由根据）【答案】说明见解析【详解】解：（已知），（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等）．18．阅读下列材料，解决相应问题．【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律．（1）在图1中，证明；【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，；（2）请问和有什么关系？并说明理由；（3）请问光线和是否平行？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）理由见解析．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴；（3）由材料可知，，∴，∴，∴，∴．19．有下列命题：①两点确定一条直线；②相等的角是对顶角；③内错角相等；④邻补角是两个互补的角．其中，假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：①两点确定一条直线，正确，是真命题，符合题意；②相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④邻补角是两个互补的角，正确，是真命题，符合题意．真命题有2个，故选：B．20．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是，此时满足，也满足，故选；C．21．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等【详解】把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．22．在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合【答案】B【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，……，以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，∵，∴，故选：B．23．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间．【答案】秒或秒【详解】解：，，，，分三种情况：如图①，与在的两侧时，，，要使，则，即，解得：；如图②，旋转到与都在的右侧，，，要使，则，即，解得：；如图③，旋转到与都在的左侧，，，要使，则，即，解得：，此时，此情况不存在．综上所述，当时间的值为秒或秒时，．故答案为：秒或秒．24．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为．

【答案】/96度【详解】解：过点作，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．∴的度数为．故答案为：．

25．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，．

(1)求证∶(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵，∴，∴；（2）∵与底座都平行于地面，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴．26．【阅读理解】在平行线的学习中，“两条平行线被第三条直线所截”是一个重要的“基本图形”．在这个“基本图形”中，所有与平行线有关的角都存在其中，并都分布在“第三条直线”的两侧．如图，已知，点在直线、之间，当发现题目的图形“不完整”时，可通过添加适当的辅助线，将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了“转化思想”．解：过点作因为，所以所以，因为所以(1)【学以致用】由题意得，当，，则_____．(2)如图1，若，，求出的度数．(3)如图2，若、分别平分和，请判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)65(2)的度数为(3)，理由见解析【详解】（1）∵，∴；故答案为：65．（2）过点作，∵，∴，，，，即，，，∵，，．（3）理由是：过点作，平分，平分，，，由材料可知，由（2）知，，∴；．27．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．(其中，，)

(1)将三角尺如图1所示叠放在一起．①与的大小关系是________，依据是___________________；②与的数量关系是__________________．(2)小亮固定其中一块三角尺不动，绕点О顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上结束，请你探索并且求出当的一边与的一边平行时的值．【答案】(1)①相等，同角的余角相等；②(2)的度数为或或或或【详解】（1）解：①∵，∴（同角的余角相等）．②，即．（2）解：①当时，

；②当时，

；③当时，过点O作，

∵，∴，∴，，∴．④当时，

∵，∴，∴；⑤当时，

∵，∴，∴；综上所述，的度数为或或或或．28．如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．（1）如图2，李明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为；（2）若（1）中镜面的调节角的调节范围为，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为（填序号）．①；②；③；④．【答案】①③④【详解】（1）过点作，过点作，，，，，∵，，∴，，，，即，，故答案为：；（2）解：①当调节角的调节范围在时，由（1）图可得，，，②当调节角的调节范围在时，，，可能取到的度数为：①③④，故答案为：①③④．29．感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．实践探究：（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3）【详解】（1）证明：过点E作，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）证明：如图，由（1）可知，，且，∴，∴；（3）如图，令，，则，由（1）得：，∵射线是的平分线，∴，∴，∵，∴，∴，过点H作，则，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．30．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．(1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由．(3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程．【答案】(1)，证明见解析(2)，理由见解析(3)【详解】（1）解：，理由如下：过E作，如图，

∵，∴，∴，∴，即；（2）如图，过作，过作，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴．（3）如图，分别过作，的垂线，，∴，∵，∴，由（1）可得：，，∵平分，平分，∴，，∴，，，，∵∴，∴，∴，过作的平行线，而，∴，∴，，∴，∴．31．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．(1)如图1，当时，直接写出的度数；(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)0或3或6或12或15【详解】（1）解：过点E作，过点F作，∵，∴，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；（2）解：，理由如下：过点E作，过点F作，∵，∴，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∴，即；（3）解：总的时间为：，，则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为，由（1）得：，则，∵，∴，∴，当时，如图：则，，，依题意得，解得：；当时，如图：则，∵，，∴，解得：；当时，设与交于点G，如图：则，，，依题意得，解得：；当时，设与交于点I，如图：则，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：；当时，连接并延长，如图：则，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，解得：；综上，所有满足条件的t的值为0或3或6或12或15．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键．32．（2023·山东临沂·中考真题）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过作的垂线，则直线与的位置关系是（