函数与方程讲义-高三数学一轮复习2

函数与方程授课类型：复习课眉山天府新区实验中学李艳复习目标：理解函数零点与方程的联系.理解函数存在性定理，并能简单应用.了解用二分法求方程的近似解.掌握二次函数的图像与零点的关系复习重点：函数零点与方程的根，函数图像与横轴交点的联系函数零点存在性定理二分法求近似值复习难点：零点存在性定理的应用判断函数零点个数及零点所在区间二分法的应用二分法求方程近似值复习方法：引导，嵌入，讲练结合教学过程：知识梳理：函数的零点：.函数零点的定义：使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.三个等价关系：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b）,使得f(c)=0,这个c就是f(x)=0的根.二分法对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二次函数(a＞0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数(a＞0)的图像与x轴的交点（，0），（，0）（，0）无交点零点个数210重要结论：若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像连续不断，且有f(a)f(b)＜0,则函数y=f(x)一定有零点.f(a)f(b)＜0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)f(b)＜0函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点..典例分析考点一：函数零点所在区间的判定（2023重庆巴蜀中学模拟）函数的零点所在区间是（）A.(2,3)B.(3,)C.(,4)D.(4,5)解析：函数是由函数（x＞0）和y=x5两个增函数组成的，所以函数在（0，+∞）上是单调递增的，f(3)=1＜0，f()＜0,f(4)＞0,故函数的零点所在区间为(,4)，故选C若a＜b＜c,则函数的两个零点分别位于区间（）(a,b)和(b,c)内(∞，a)和（a,b）内（b,c）和（c,+∞）内（∞，a）和（c,+∞）内解析：函数y=f(x)是图像开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则ab＜0,ac＜0,bc＜0,因此f(a)=(ab)(ac)＞0，f(b)=(bc)(ba)＜0,f(c)=(ca)(cb)＞0,所以f(a)f(b)＜0,f(b)f(c)＜0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.故选A.(2023湖南长郡中学模拟)已知函数(a＞0，且a≠1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点，则n=___________.解析：对于函数，当x=2时，可得y＜1，当x=3时，可得y＞1，如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=,y=x+b的图像，判断两个函数图像的交点的横坐标在区间（2，3）内，所以函数f(x)的零点时，n=2.反思总结：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法.利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)＜0,若有，则函数y=f(x)在区间（a,b）内必有零点.数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断.考点二确定函数零点的个数例1：(1)函数在区间(0,1)内的零点个数是（）.(2023广西模拟预测)已经函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[1,1]时，，则函数F(x)=f(x)|lgx|的零点个数是（）解析：（1）.方法一：因为f(0)f(1)=(1)×1=1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B.方法二：设，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像，在区间（0，1）内，两图像的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间（0，1）内有且只有1个零点.故选B.由函数y=f(x)的性质，画出函数y=f(x)的图像，再作出函数y=|lgx|的图像，所以y=f(x)与y=|lgx|图像共有10个考点攻略：判定函数零点个数的方法(1）直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点。(2）函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点。(3）将函数拆分成两个简单函数，画出两个函数图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。［素能演练1](1)(2023．青海海东第一中学模拟预测）函数f(x)=|x2|Inx在定义域内的零点的个数为（）A.0B.1C.2(2)(2023·云南玉溪第一中学模拟预测）函数y=lg|x|sinx的零点个数为____________.解析：(1）由题意可知f(x）的定义域为(0,+∞)，在同一平面直角坐标系中画出函数y=|x2|(x>0),y=Inx(x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f(x）在定义域内的零点个数为2．故选C.在同一平面直角坐标系中，分别作出y=lg|x|与y=sinx的图象，如图所示．由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点。考点三函数零点的应用［例2](1)(2022·内蒙古呼和浩特一模）设f(x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2x)=f(2+x)，且当x∈[2,0］时，，若关于x的方程f(x)loga(x+2)=0(a>1)在区间（2,6］内恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是()A.()B.(,2)C.(,2]D.(,2](2)(2023·江苏苏州质检）函数f(x)=x·kx2在区间（1,2）内有零点，则实数k的取值范围是_______.解析：(1）因为f(x）为偶函数，故f(2x)=f(x2)，所以f(x+2)=f(x2)，故f(x）的周期为4,因为当x∈[2,0］时，f(x)=1，故f(x)在（2,6］上的图象如图所示，因为f(x)(x+2)=0(a>1）在区间（一2,6］内有3个不同实根，所以f(x）的图象与y=(x+2)(a>1）的图象有3个不同的交点，故,即3＞，,3＜，解得<a<2．故选B.(2）令f(x)=0，所以x·kx2=0，即k=，即y=k与(x)=,x∈(1,2）的图象有交点，又(x)=在（1,2）上单调递增，且(1)=0,(2)=3．所以0<k<3.考点攻略：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）的常用方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围。(2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解．（三）小结：函数的零点，函数零点存在定理，二分法，二次函数(a＞0)的图像与零点的关系（四）练习：(1)(2023·湖南雅礼中学检测）已知函数若关于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.(.1)B.{}C.(,]U(1,+∞)D.R(2)(2023·山东省实验中学模拟）若函数f(x)=(m2)+mx