高中数学椭圆

Q

(1)若5的范围为:<Sv2,求向量5?与所的夹角，的取值范围；

—►3―►

(2)设I。/l=c(c22),S=：c,若以。为中心，尸为焦点的椭圆经过点0,当IOQI取得最小

4

值时，求此椭圆的方程.

分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.

解:⑴；OF-FQ=l,：.\OF\-\FQ\'cos。=1.

又gl赤I•I匝I•sin(180°—。)=5,

•*"cc°tan®

•.tane=2S,S=------.

2

又一vS<2,..一v----<2,即l<tan〃v4,

222

/.—<，<arctan4.

4

(2)以OF所在的直线为x轴，以赤的过。点的垂线为>■轴建立直角坐标系(如下图).

.♦.。(0,0)/90),。(沏,泗).

22

设椭圆方程为「+鼻=1.

a2b2

又而•FQ=l,S=-c,

4

.•・(c,0)•(沏―cjo)=l.①

由①得C(Xo—c)=lzz>X=C+-.

0c

由②得lyol=/.

***IOQ1=Jo:+'()2=j(C+：J+'.

Vc>2,

二当c=2时，I而lmin='（2+乎+：=与，

53

此时0（一，土二），F（2,0）.

22

09

代入椭圆方程得4+==1，

ab

a1-b1=4.

/.«2=10,/?2=6.

22

...椭圆方程为工+J=l.

106

评析:新知识（向量）在几何中的应用是值得关注的趋势.

■试题详解

高中同步测控优化训练（十一）

第八章圆锥曲线方程（一）（A卷）

说明:本试卷分为第I、II卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入题后括号内，第II

卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.

第I卷（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.椭圆2?+3）2=6的焦距是

A.2B.2（V3-V2）

C.2V5D.2（V3+V2）

解析:将2f+3），2=6化为标准方程为£+（=1，

。2=3力2=2,。2=3—2=1,

焦距2c=2X1=2.

答案:A

2.方程4/+的,2=］的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是

A.R>。B.0</?<2

C.0</?<4D.2</?<4

解析:将方程变为号+=1,由已知可得上v2,・・・0<7?<4.

1X4R

4R

答案:C

22

3.已知点M在椭圆上，椭圆方程为二+±=1,〃点到左准线的距离为2.5,则它到右焦

2516

点的距离为

A.7.5B.12.5

C.2.5D.8.5

解析:Va=5,b=4,c=3.

两准线间的距离为2•—=2X—.

c33

M到左准线的距离为2.5,则M到右准线的距离为—-2.5=—.

36

设椭圆右焦点为F,

则=-=-,：.\MF\=S.5.

85。5

6

答案:D

22

4.若双曲线一一4=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是

a2b2

A.2B.3

解析:由2b=a+c得4b2=a2+2ac+c2,

即3c2——2ac——5。2=0,:.3e2——2e——5=0./.e=—.

3

答案:D

5.双曲线工一上二1的两焦点为外、&，点尸在双曲线上，且直线月吊、尸尸2倾斜角

916

之差为5,则的面积为

A.16V3B.32百

C.32D.42

>

解析:由题意可知IPQLIPF2l=6，ZF,/F2=y,衣尸21=10.

由余弦定理,得炉/2『=(IPF|LIPF2l)2+IPFilTPaI,

AlPFil•I尸尸=164.

：.S=-X64sin工=16后，选A.

23

答案:A

6.以椭圆工+工=1的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是

259

解析:『=25/2=9,则02=16c=4,椭圆焦点坐标为(4,0)、(-4,0).

双曲线的焦点仍为(4,0)、(-4,0),由于e=2,c=4,

a=2,b2=c2-a2=12.

22

...双曲线方程为二一上=1.

412

答案:D

2222

7.已知双曲线，一斗=1和椭圆=+』=15>0,心b>0)的离心率互为倒数，那么以“、

(Tb~m~b

b、m为边的三角形是

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

2

解析:双曲线与一=i的离心率4=£=

aaa

JnJ一匕2

椭圆的离心率02="".

in

Ve?i与々互为倒数，；・白《2=1,

即J/+'.'〃/一”=[,整理得/+/,2=加2.

am

...以a、b、机为边的三角形是直角三角形.

答案:B

8.方程J3(x+1)2+3(y+l)2=卜+)，-21表示的曲线是

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.不能确定

解析:数形结合法.动点P(x,y)到定点(一1,一1)和定直线x+厂2=0距离之比为当.

答案:B

.2222

9.若椭圆工+±=1(心〃>0)和双曲线3■一2=l(a>fc>0)有相同的焦点为、&,P是两

mnab

条曲线的一个交点，则IPQI•1尸入1的值是

A.m—a—

C.in^—a1D.VAH—4a

解析:PH+PBI=24m,IPF||-IPF2I=2&,

\PF\1=yfm+>[a,1尸尸21=Vw-&.

.'.\PFt\•\PF2\=m-a.

答案:A

10.已知Q、F2为椭圆。+与=1(。>%>0)的焦点,M为椭圆上••点垂直于x轴,且

b"

NFI"F2=60°,则椭圆的离心率为

分析:本题考查如何求椭圆的离心率.

r2v2h2

解:；J_x轴,历点的横坐标为XM=一c.把X”代入椭圆方程一■+二=1中，得加=f,

ab"a

如下图所示.

在Rt/\MF\F2中期112/:'幽/;'2=二^=21'=>/§',

MRb2

即2ac=5/3b2.-Jia2-lac—V3c2=0.

每一项都除以/得A/3—Ie—V3J=0,

解得e尸立或e2=-V5（舍）.

3

答案:C

第II卷（非选择题共70分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11.若椭圆的两个焦点为Q（—4,0）、&（4,0）,椭圆的弦4B过点Q,且△ABF?的周长

为20,那么该椭圆的方程为.

解析:AABFz的周长：■尸2I+IAF11+I8F2I+IB尸1\=2a+2a=4a=20,

・・・。=5.又*.*c=4,・'・h=3.

・,・椭圆的方程为W+

259

依以x2y2,

答案：）+J=1

259

12.已知P是椭圆上的一点，Q、尸2是椭圆的两个焦点，ZPF,F2=90°,ZPF2Ft=30°,

则椭圆的离心率是.

解析:因为e=£

2a\PFt\+\PF2\

13.经过点M（10,I），渐近线方程为产士gx的双曲线方程为

分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.

解:设双曲线的方程为（x—3y）a+3y）=〃?（〃?£R,且mW0）,

QQQ

因双曲线过点）,所以有（io—3X-X10+3X-）=见得〃?=36.

所以双曲线方程为9y=36,即《一上=1.

364

22

答案：二一二=1

364

22

14.方程上」+二一=1表示的曲线为C,给出下列四个命题:

4一&k-\

①曲线C不可能是圆；

②若l<k<4则曲线C为椭圆；

③若曲线C为双曲线，则k<l或k>4；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则小搭

其中正确的命题是.

解析:当4一修女-1,即时表示圆，否定命题①，显然k=-e（l,4）,

22

.••否定命题②；若曲线C为双曲线，则有（4一口（女一1）<0,即44或k<l,故命题③正确;

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，贝IJ4T乂-1>0,解得1«<9,说明命题④正确.

2

答案:③④

三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分8分）设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连

成60°的角，两准线间的距离等于8道，求椭圆方程.

解:依题意,

♦.•椭圆右焦点F（c,0）与短轴两端点A、B连成60°的角,

如图，贝IJ/A尸8=60°，△^FB为等边三角形，

于是有a=2b.①

又由两准线间的距离等于86，得/=86.②

^a2-b2

联立①②两方程，解得〃=6/=3.

v-22

故所求椭圆方程为工+L=1.

369

16.（本小题满分10分）已知椭圆工+”=1,过点P（2,1）引一条弦，使它在这点被平分,

164

求此弦所在的直线方程.

解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A（X|，x）、8（X2,丫2）.又尸（2,1）,

.=16,

2

x2+4为2=16.

①一②得（X1—X2）（X|+X2）+40|一"）。，|+丫2）=0,

.3-力=_=_2x__1

JC

,-x24(y।+y2)4x2x12

IAB的方程为y—1=—；（x—2）.

17.（本小题满分12分）求以椭圆二+匕=1的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为三

64166

的双曲线方程.

分析:已知渐近线方程为法±ay=0,中心在原点，求双曲线的方程.可设双曲线方程为

户？_42y2=x（xW0）,根据其他条件，确定X的正负.

解:椭圆的顶点坐标为（±8,0）、（0,±4）.

V双曲线渐近线方程为旺V3尸0,

则可设双曲线方程为f—3y2="l#0）,

即《一==1.

kK

3

kx2y2

若以（±8,0）为焦点，则"彳=64,得攵=48,双曲线方程为二一J=l；

34816

22

若以。±4）为焦点，则一一k一女二16,得g一12,双曲线方程为v匕一r一二1.

3412

Jv2

18.（本小题满分12分）如下图，双曲线一一4=lSeN*）的两个焦点为Q、F2,尸为双

4b

曲线上一点，IOPI<5,IPQI、炉|21、1尸尸引成等差数列，求此双曲线方程.

解:吗&1、IP&I成等差数列，

.,.IPFII+IPF2I=2IFIF2I=4C.

又HFII-IP尸2『2a=4,

.,.IPF1l=2c+2,IPF2l=2c-2.

222222

根据中线定理有IP尸1I+IPF2I=2(IPOI+IFIOI)<2(5+C),

(2C+2)2+(2C-2)2<2(52+C2).

.,.8C2+8<50+2C2,

/.C2<7,

即4+/?2<7./v3.又beN*,b=1.

、.2

二所求双曲线方程为L-)?=1.

4

19.(本小题满分12分)在△ABC中，已知以一2,0)、C(2,0)4Q_L5C于点D./XABC的垂心

——■1——.

为〃，且AH=-HD.

3

(1)求点//(x,y)的轨迹G的方程；

(2)已知产(-1,0)、e(l,O),M是曲线G上的一点,那么」上,二h能成等差数列

\MP\\PQ\\MQ\

吗?若能，求出M点的坐标；若不能，请说明理由.

(1)解:；H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),

由定比分点坐标公式可知工点的坐标为(x