高中数学必修2第二章测试(含答案)

其次章测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.下面四个命题：

①分别在两个平面内的两直线是异面直线：

②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；

③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.

其中正确的命题是（）

A.①@B.②④C.①@D.②③

答案：B

2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交

解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.

答案：B

3.始终线/与其外三点A,B,C可确定的平面个数是（）

A.1个B.3个

C.1个或3个D.1个或3个或4个

解析：当4、3、C共线且与/平行或相交时，确定一个平面；当A、3、C共线且与/异面时，可确定3个

平面；当A、8、C三点不共线时，可确定4个平面.

答案：D

4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是（）

A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行

C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点

答案：D

5.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,PAABC,AB=AC,。是8c的中点，则图中直角三角形的个数

是（）

A.5B.8C.10D.6

解析：这些直角三角形是：△B48,^PAD,/\PAC,△8AC,ABAD,ACAD,4PBD,共8个.

答案：B

6.下列命题正确的有（）

①若△ABC在平面a外，它的三条边所在直线分别交a于尸、。、R,则P、。、R三点共线.

②若三条平行线0、从c都与直线/相交，则这四条直线共面.

③三条直线两两相交，则这三条直线共面.

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：易知①与②正确，③不正确.

答案：C

7.若平面〃_1_平面夕，aC\p=l,且点PCa,1^1,则下列命题中的假命题是（）

A.过点P且垂直于a的直线平行于PB.过点P且垂直于/的直线在a内

C.过点P且垂直于"的直线在a内D.过点P且垂直于/的平面垂直于/?

答案：B

8.如右图，在棱长为2的正方体ABC。-481Gd中，0是底面ABC。的中心，M、N分别是棱。。卜"G

的中点，则直线OM（）

A.与AC、MN均垂直相交B.与AC垂直，与MN不垂直

C.与MN垂直，与AC不垂直

D.与AC、MN均不垂直

解析：易证AC_L面OWU面.*.AC_LOM.计算得0册+4/乃=。乃=5,：.OMVMN.

答案：A

9.（2010•江西高考）如图，M是正方体A3C。-481GO1的棱的中点，给出下列四个命题:

①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1G都相交;

②过M点有且只有一条直线与直线A3,51G都垂直;

③过M点有且只有一个平面与直线AB,BiG都相交;

④过M点有且只有一个平面与直线A8,81G都平行.

其中真命题是（）

A.②③④B.①③④

C.④D.①②③

解析：将过点M的平面CD5G绕直线。。I旋转随意非零的角度，所得平面与直线AB,BiG都相交，故

③错误，解除A,B,D.

答案：C

10.已知平面a外不共线的三点A、B、C到a的距离相等，则正确的结论是（）

A.平面ABC必平行于a

B.平面ABC必不垂直于a

C.平面ABC必与a相交

D.存在△ABC的一条中位线平行于a或在a内

解析：解除A、B、C,故选D.

答案：D

11.（2009•广东高考）给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同始终线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

答案：D

12.（2009•海南、宁夏高考）如图，正方体ABCD—A/iGOi的棱长为1,线段Bi"上有两个动点E、F,

且EF=[,则下列结论错误的是（）

A.ACLBE

B.EF/7YffiABCD

C.三棱锥A—BE尸的体积为定值

D.ZX/IE尸的面积与aBE厂的面积相等

解析：易证AC_L平面：.ACLBE.

尸在直线修。|上，易知

BiDi//面ABC。，:.E尸〃面ABCD,

V4-BEF=|X|X|X1X^=雪

...A、B、C选项都正确，由解除法即选D.

答案：D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中横线上）

13.已知A、B、C、。为空间四个点，且A、B、C、。不共面，则直线48与CO的位置关系是

解析：如图所示：由图知，AB与CD为异面直线.

BD

答案：异面c

14.在空间四边形A8C。的边AB、BC、CD、OA上分别取点E、尸、G、H,假如£"、F'G相交于一点M,

那么M肯定在直线_______上.

答案：BD

15.如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AO为折痕.使△ABZ）和△ACD折成相互垂直的

两个平面，贝!I：

（DBD与CD的关系为.

（2）NBAC=.

解析：（1）AB=AC,ADA.BC,

：.BDLAD,CDLAD,

80c为二面角的平面角，ZBDC=90°,

：.BDLDC.

⑵设等腰直角三角形的直角边长为明则斜边长为aa.

'.BD=CD=^-a.

,折叠后=a.

二折叠后△ABC为等边三角形./.ZBAC=60°.

答案：⑴BD上CD（2）60°

16.在正方体A5CD—4'B'C'O'中，过对角线8。'的一个平面交AA'于E,交CC'于尸，则

①四边形B尸O'E肯定是平行四边形.

②四边形3歹"E有可能是正方形.

③四边形BFD'E在底面A3CZ）内的投影肯定是正方形.

④平面8FO'E有可能垂直于平面38'D.

以上结论正确的为.（写出全部正确结论的编号）

解析：如图所示：

'：BE=FD',ED'=BF,四边形5尸O'E为平行四边形....①正确.

②不正确（NBF'。'不行能为直角）.③正确（其射影是正方形43C"）.④正确.当E、尸分别是A4'、CC'

中点时正确.

答案：①③④

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）如下图，已知ABC。是矩形，£是以CZ）为直径的半圆周上一点，且面COEJ_面43CD

求证：CE_L平面AOE.

面ABCD上面CED

证明:

ABC。为矩形.

=>AZ）±面CDE=AO_LCE

点E在直径为C£）的半圆上今CE_LEZ）｝

又AOCE0=Z）J

虫后上面ADE.

18.（12分）求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形.

已知：如图，三棱锥S—ABC,SC〃截面E尸GH,AB〃截面EFGH.

求证；截面EFGH是平行四边形.

证明：

,:SC〃微面EFGH,SCQ平面E尸GH,SCU平面ASC,且平面ASCC1平面EfGH=GH,

：.SC//GH.

同理可证SC〃E尸，：.GH//EF.

同理可证HE〃G尸.

二四边形EFGH是平行四边形.

19.（12分）已知正方体AHCZJ_481Goi的棱长为。，M、N分别为48和AC上的点，AiM=AN=^,

如图.

（1）求证：MN〃面8B1GC;

⑵求MN的长.

解：（1）证明：作NPJ_A8于P,连接MP.NP〃BC,

.AP_AN_AiM

•,丽=衣=7^，

：.MP//AAA//BBU

，面M尸N〃面BBiCC

MNU面MPN,

・・・MN〃面BBiCC

源

小NPAN3a11

⑵前=n=而=5,NP『

2

同理MP=ja.

又

/.A7P±ffiABCD,MPA.PN.

在RtZXMPN中MN--3a-

20.（12分）（2009•浙江高考）如图，OCJ_平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,NAC5=120。，P,

。分别为AE,AB的中点.

(1)证明：尸。〃平面AC。；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.

解：(1)证明：因为P,Q分别为AE,AB的中点,

所以PQ〃EB.又DC//EB,因此PQ〃OC,

又P3平面ACD,

从而PQ〃平面AC"

(2)如图，连接CQ,DP,因为。为43的中点，JLAC=BC,所以CQJ_A5.

因为OC_L平面ABC,EB//DC,

所以E5_L平面ABC,因此CQJ_EB.

故C0_L平面ABE.

由（1）有尸。〃OC,又PQ=；EB=DC,

所以四边形CQP。为平行四边形，故OP〃CQ,

因此OP_L平面ABE,

ZDAP为AD和平面ABE所成的角，

在RtZkOB4中，AD=gDP=1,

sinNZMP=坐，

因此AO和平面A3E所成角的正弦值为坐

21.（12分）如图，在四面体A8CZ）中，CB=CD,ADA.HD,点E、尸分别是48、30的中点.

求证：⑴直线E尸〃面ACD.

（2）平面E/C_L平面HCD.

证明：（1）在△ABO中，

•；E、尸分别是A3、8。的中点，

：.EF//AD.

又AOU平面ACD,EW平面ACD,

二直线EF〃面AC"

（2）在△48。中，"：ADLBD,E尸〃A。，：.EFLBD.

在△5CQ中，VCD=CB,户为BO的中点，

.,.CFA.BD.

•；CFCEF=F,：.BD工平面EFC,

又；BOU平面BCD,