高中数学-简单的三角恒等变换教学设计学情分析教材分析课后反思

简单的三角恒等变换

一.教学目标

1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、

方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等

变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。学习三角变换的内容、思路和方

法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成

对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换

过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变

换思想，提高学生的推理能力.

二、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、

和差化积公式。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设

计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

三、教学过程

1、复习公式:

cos(cr-/?)=cosacos/?+sincrsin0cos(a+/)=cos«cos/?-sincrsinf3

sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/sin(a—=sinacos1一cosasin0

tana-tan/?ztana+tanB

tan(cr-/?)=tan(&+/?)=---------------

1+tanatan01—tanatan/?

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin?a=2cos26/-l=l-2sin2a

2tan。

tan2a=

1-tan2a

公式变形:

sinacosa=—sin2a

2

.,.21-cos2a

2sm-a=1—cos2a-•---------*sin-a--------------

2

,1+cos2a

2cos-a=l+cos2a*--------->cos2a-------------

2、例1：试以cosor表示sin之冬,cos?4,tan?&.

222

解：由sin2a」于s2a,可以得到五不4=幽；

222

,21+cos2ary日a1+cosa

lilcos2a=------------，可以得到cos-2-=-----------.

222

si.n2一a[

匚匚2）a71-cosa

所以tair—=----------------------

2C0S2«1+cosa

2

总结：掌握各个公式的推导过程，是理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公

式进行升暴和降暴。

.aaa.

3、思考：（1）已知cosa如何求sin,,cos]tan—?

2

（2）代数式变换与三角变换有什么不同呢？

学生——自主思考，写出结论

a1-cos«

tan—=土J----------

2V1+COS6Z

教师——上述公式称为半角公式，让学生思考“土”如何选取?

学生——自主探究，相互交流。

教师一进行总结，，士号由53M决定。

师生——对第二个问题的思考，通过师生共同分析得出：代数式变换往往着眼于

式子结构形式的变换:对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式

方面的差异，而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,

因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据

选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

4、变式训练:

asina1-cosa

求证:tan——=-----------=------------（教科书P142练习第1题）

21+cosasina

.aa.a

2sin—cossin

解：方法一：三叽a

222tan—

1+coscra2

20cos2-acos—

22

.a

c2si•n2—0sin—

1-cosaa

22-tan—

sina八・aaa2

2sin-cos」cos—

222

.a>a

sin•2cos—

sina

方法二:22

a1+cosa

cos—•2cos?

22

.a.a.a

sinsin•2sin

a1-cosa

tan—222

2aa.asina

cos—cos—•2sin」

222

5、例2：求证:

(1)、sinacos/?=g[sin(a+/?)+sin(a-〃)]；

(2)、sin8+sin0=2sin°'cos®.

X说明：通过分析公式特点指出，此公式称为和差化积公式，类似地可以求出

sin夕一sin°,cos。+cos。,cos。-cos。。

证明：(1)(方法一)：・.・sin(a+4)=sinacos£+cosasin/?,

sin(a-4)=sinacos/7—cosasin0

两式相力口得2sinacos〃=sin（a+，）+sin（a—夕）；

尸)+力)].

即sinacos(3=g[sin(a+sin(c—

(方法二)：令sinacos^=x,cosasin/3=y,

x=—[sin(6r+/?)+sin(a—£)]

x+y=sin(a+/?)

则=><

x-y=sin(a-⑶>=；[sin(a+1)_sin(a_1)]

即sincrcos)3=g[sin(a+/7)+sin(a-77)].

2)(方法—’)：原式=2[sin—cos—+cos—sin[cos—cos—+sin—sin-]

K-e-or-f2%。&•2・虫22

小，=[sm5漏正单鼠及黑反蹙/c”就螳邈幻或2■纥■+COS纥i„，sin2

.00&2°22222。2/2

=2(smys表器图:练懿巧滥药瓶婵/泮驾号

>0%422%2小42,外22

=2sin—cos—(cos伊+加——)+2)sin-^os—(cos—+sin~—)

222sin-ios—+2sin222

=sin6+sin9

（方法二）:

3+(po~(p_ae+o6-(p

-----------1=Uy9,

2----222

由(1)得sin(a+/?)+sin(a-〃)=2sinacos4①；

把la,/的值代入①式中得sin。+sin。=2sin夕；°cosf

6、变式训练：已知sin6+cos6=2sina.sin6cos6=sin2⑸2cos2a=cos2/3.

证明：(方法一)：cos2a=1—2sin2a2cos2a=2(1-2sin2a)=2-4sin2a

将sin9+cos夕=2sina代入：

2cos2a=2-(sin9+cose)”=2-(sin2+2sin^cos^+cos2句=1—2sin^cos0

又♦:sin^cos^=sin2/7,2cos2a=1-2sin2(3=cos2^

(方法二)：*,*sin6+cos。=2sincr,sin^cos^=sin2(3,

又•「(sin6+COS6)2=1+2sin。cos夕=1+2sin2/?,

/.4sin2tz=1+2sin2,

,1-COS2c,cl-cos2>?

22

2(1—cos2a)=1+(1-cos2/7),

/.2cos2a=cos2尸.

总结:证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、

运算等方面的关系。方法一用代入法把£化成再把枇成尸；方法二中利用恒

等式(sine+cos。)？=l+2sin6cose消去条件中sinOcos。的方法，即消元法,这

是三角变换中常用的方法。

7、课堂小结

(1)三角函数式的化简常用方法：

①直接应用公式进行降次、消项;

②化切为弦，异名化同名;

③三角公式的逆用等。

(2)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换,应用

化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同工

8、作业：教科书P143习题3.2A组第1、2、3题

28

,2cos---sin(9-1

备选练习：已知sin26=m,0<2e(工，求------J----「的值。

52行sin，+?)

3TT4

解：sin2。==,0<2。<COS29=-

525

I+cos9-sin9-lcos。一sin9_(cos^—sin0)*23*5_1—sin2^_1

原式=

行sin[e+cosO+sin。(cosC+sin®Xcos。一sin。)cos2^2

四、板书设计

简单的三角恒等变换

sinacosa=—sin2a

2

1«—cosc2a=c2si.n2_a4--------»si.n-2a=-l---c--o--s-2--a-

2

_,1+cos2a

1+cos2a=2cos-a-------->cos*a=-----------

《简单的三角恒等变换》学情分析

本章内容的重点之一是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时

它也是难点。为了突出重点、突破难点，教学中可以设计一定的教学情景，引导学生从数形

结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含a,夕，

«一夕的正弦、余弦值的等量关系。前一章中已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹

角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中能够体现它的作用。由于学生刚接触向量，他

们还不太习惯用向量工具解决问题，因此这里需要教师作引导。

教学时应当注意下面四个要点：

①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；

②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法

的运用做好准备；

③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，

需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通

过学生自己的独立探索而得出。

④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数

学思想方法。在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两

角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式

的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、

类比、特殊化、化归等思想方法。特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，

对学生解决问题的一般思路进行引导。教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结。

例如，在旁白中有“'倍'是描述两个数量之间关系的，力是a的二倍……是的二倍，

这里蕴含着换元的思想”“这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成

为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材。

本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角

公式、二倍角公式。要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要

求。教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识

点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要

求记忆，更不要求运用）。

三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式

的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想。从数学变换的角度看，三

角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点。相同之处在于它们都是运用一定的

数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换。

由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三

角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的

三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点。教学中应当引导学生以一般的数学（代

数）变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等思想方法上

多作引导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性。

为了激发学生的自主探究、动手实践等的积极性，充分利用本章设置的思考性问题和旁

注，用以启发学生思考，提示关键所在，这样做，既能为学生深刻理解所学内容创造条件，

又能鼓励学生在学习过程中养成独立思考•、积极探索的习惯，从而使得学生学习方式的改进

得到具体落实，并切实提高学生的思维能力。例如，在两角差的余弦公式的推导过程中，以

“如何用任意角a,£的正弦、余弦值来表示？”“你认为要获得相应的表达式需要哪些

已经学过的知识？”“以上推导是否有不严谨之处？若有，请做出补充”等问题，引导学生

开展独立思考。自主探究能力。

《简单的三角恒等变换》效果分析

我主要通过对角的变换-“配角”、“拆角”；证明三角恒等

式；可化为的图像和性质三个模板的例题讲解，从而引导学生

熟悉和、差、倍、半公式，以及公式的各种变式，能熟练进行常

见的三角恒等变换，解决简单的三角函数的化简、求值、证明问

题。

但经过数学组各位老师的听课、评课活动，给了我很大

的启发，也使我在教学中多了些体会和思考。回顾本节课，我觉

得在一些教学设计和教学过程的把握中还存在着一些问题：

1整个教学过程知识点过多，对于一个待优理科班来说，

学生基础整体比较薄弱，因此难以消化过多的知识点，再一

个知识点过多也导致课堂中的侧重点太分散，学生不能把握到重

占・

，、、、，

2、讲解角的变换时应要强调如何进行变换，并要进行拓展练

习；

3、课堂教学语速太快，一些重要的知识点没有重点强调；

4、对于学生板书展示，必须做到小组内统一；

5、讲评题目时尽量要讲细点，深入点，多挖掘，多观察学生

的反应

6、多与学生互动，多给学生练习和思考的空间

《三角恒等变换》教材分析

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简

单的恒等变换。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。通过本章的学习，要

使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生

体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。

、课标与大纲教学要求对比

内容课程标准教学大纲区别

两角1.经历用向量的数量积1.掌握两角和与差的1.关于公式的推

和与推导出两角差的余弦公式的过正弦、余弦、正切公式；掌握导，课标降低

差的程，进一步体会向量方法的作二倍角的正弦、余弦、正切公了要求。

正用。式。2.关于公式的推

弦、2.能用两角差的余弦公2.通过公式的推导，了导，课标强调

余式导出两角和的余弦及两角和解它们的内在联系，从而培养了用向量的方

弦、与差的正弦、正切公式，了解它逻辑推理能力。法。

正切们的内在联系.

公式

简单能运用上述三角公式,进行简单能正确运用三角公式，进行简公式的应用要求大

的三三角函数式的化简、求值和恒等单三角函数式的化简、求值和致一样，课标对应

角恒式证明。（包括引出积化和差、恒等式证明。（包括引出积化用的含义更加广

等变和差化积、半角公式，但不要求和差、和差化积、半角公式，泛，三角恒等变换

换记忆。）但不要求记忆。）的目的不止限于化

简、求值和恒等式

证明，其应用的含

义更在于实际生活

中。

二、知识框图

三、教材编写意图及特点

1.三角恒等变换的学习以代数变换与同角三角函数式的变换的学习为基础，和其他数

学变换一样，它包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素。本章变换的

对象要由只含一个角的三角函数式拓展为包含两个角的三角函数式，因此建立起一套包含两

个角的三角函数式变换的公式就是本章的首要任务，也是3.1节的中心内容。

2.由于和、差、倍之间存在的关系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密

的内在联系，因此我们可以不必孤立地去一一推导这些公式，而只要推导出一个公式作为基

础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式。

选择哪个公式作为基础呢？过去的教材曾经进行过许多探索，其基本出发点都是努力使

公式的证明过程尽量简明易懂，易于被学生所接受，这里由于向量工具已被引入，因此选择

了两角差的余弦公式作为基础。应当说，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算

过程，大大降低了思考难度（尽管同时也失去了一些对学生进行数学思维训练的机会）。

另外，对于众多公式的推导顺序，也可以有多种不同的安排。本章中先探索出了两角差

的余弦公式，然后以它为基础，推导出其他公式，具体过程如下：

C（a-mTC（a+仍fS（a士"）—>4&±尸）TC2a,^2aZa

实际教学中，老师可以根据学生情况，对式的推导顺序作出自己的选择。

3.本章内容安排的一条明线是建立公式，学习变换，还有一条暗线就是发展推理能力

和运算能力，并且发展能力的要求不仅体现在学习变换的对程之中，也体现在建立公式的过

程之中。因此在本章全部内容的安排中，特别注意恰时恰点地提出问题，引导学生用对比、

联系、化归的观点去分析、处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等

变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中的角的变换，以及不同三角函数之间的变

换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换

思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性，

4.本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内

容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式,

积化和差公式以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练

习。

教材特点

1.削枝强干，精简内容。

2.突出数学思想方法，在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导。

3.以问题为引导，加强过程与联系，切实改进学生的学习方式，提高学生的数学能力。

《简单的三角恒等变换》测试题

jr4

1.已知九£(——,0),COSX=二一9则tan2x=()

5

A7八724_24

A.—B.—C:.——D.——

242477

2.函数y=3sinx+4cosx+5的最小正周期是（）

A.—B.—C.71D.2兀

52

3.在回ABC中，cosAcosB>sinAsin8,则回人8€：为()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定

二、填空题

1.求值：tan200+tan40°+6tan200tan40°=。

2.若1=2008,则—1—+tan2a=________。

1-tanacos2a

3.函数的最小正周期是

三、解答题

1.已知sina+sin尸+siny=0,85。+854+859=0,求85(£-/)的值.

五

2.若sina+sin/?=《-,求cosa+cos/的取值范围。

3.求值：l+c(>s2?一sin10°(tant5°—tan5°)

2sin20°

《简单的三角恒等变换》课后反思

本节课的主要内容是推导半南公式与和差化积、积化和差公

式。半角公式推导过程中主要是将二倍角的三角函数值转化为单

角的三角函数值，教学过程主要是引导学生重点观察余弦的二倍

角公式，掌握角的倍、半间关系，不断培养学生的观察能力、灵

活运用能力；和差化积、积化和差公式的推导。

与以往的三角恒等变换学习相比较，新教材把积化和差、和

差化积、半角公式等都处理成为三角恒等变换的基本训练。这样

的安排，把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，而对变

换的技巧性要求大大降低。教学时应当把握好这种“度”，遵循

新教材所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点，

也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换难题以及强调细枝末节

的内容。教学中应当引导学生以一般的数学（代数）变换思想为

指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等

思想方法上多作引导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性O

在教学中我主要是引导引导学生观察式子的结构，联系两角

和（差）的正弦公式，重点突出换元的思想、化归的思想、方程

的思想等。最后，通过引导学生比较所证明的公式，找出异同点，

加深记忆，通过总结证明公式的过程，不断提高利用三角变换进

行三角函数式的求值、化简、证明的能力。这节课学生感觉都能

听懂但是在遇到实际题目的时候自己还是感觉无从下手，所以接

下来要多做题目加以巩固。

《简单的三角恒等变换》课标分析

内容主题：必修43.2简单的三角恒等变换

课程标准

通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式；能利用和与差的正

弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式;理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，

并会利用已学过的和差、倍半、互余、等关系进行简单的恒等变换

教学建议：通过学生自学探究、类比完成教学

课标分析过程：

第一步：分解课程标准，寻找关键词

内容标准的表达形式：

行为条件+行为动词+限制词+核心名词

通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦