高中数学课时跟踪检测（二）正弦定理的应用苏教版必修5

课时跟踪检测（二）正弦定理的应用

层级一学业水平达标

1.在△4?，中，已知"7=6,4=30°,8=120°,则的面积等于（）

A.9B.18

C.9^/3D.1873

,3八..「e妨ACBC，八BC•sinB6Xsin120

解析r：选C在△ABC中，由正弦定理，得一:p=一：,；・力3=:~

sinBsmAsinAsin30

=673.

又•.,C=180°-120°-30°=30°,

8他义6m义6X4.

2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得/C的长度

为4m,/4=30°,则其跨度48的长为（）4m

A.12mB.8m/

C.3-\y3mD.m

解析：选D由题意知，ZJ=Z^=30°,

所以NC=180°-30°-30°=120°,

ABAC

由正弦定理得,

sinCsin甘

sinC4•sin1200

即肥==473.

sinBsin30°

3.海上的48两个小岛相距10nmile,从/岛望。岛和8岛成60°的视角，从8岛

望。岛和4岛成75°的视角，则6岛与C岛之间的距离是（）

A.101y3nmileB.nmile

o

C.5yf2nmileD.5mnmile

A

解析：选D由题意，做出示意图，如图，在△/比、中，＜7=180°-

60°-75°=45°,由正弦定理，得・%。=.[…解得比’=5m声-----

sm60sin45丫8C

（nmile）.

4.已知锐角△?1比的面积为3/，BC=4,。=3,则角。的大小为（）

A.75°B.60°

C.45°D.30°

解析：选B由%交=3第=•O•sinC^X3X4sinC得sin仁孚，又C为锐角,

故C=60°.

5.在△胸中,若『fif=。，则△脑的形状一定是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.直角三角形

,asinB

解析：选A在△板•中,・••1初=。,

.asinB,▼“.一…一,口3sinBb

■•厂sin4•・•由正弦定理可得％=而7

可得/=炉，.•.a=6....△/比■为等腰三角形.

6.△放的内角/,氏C的对边分别为a,b,c,已知b=2,8弋,C=?,则△.

的面积为.

&〃工厂门bcj人R..AsinC厂p/

解析：由正弦7E理知，=—-=—：—不结合条件Z得F1。=—:—^=2班.又sin1=sin(兀一

sinBsinCsinBv

B—C)=sin(5+0=sinBcosC+cos&in餐季:所以的面积S=gbcsinA=y[3

+1.

答案：4+1

7.在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少

已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的纵截面如图（顶部已经/\

Ar"----------------------------

坍塌了），4=50°,8=55°,18=120m,则它的高为m.（结果取整数）

解析：延长4%员V交于点。（图略），4180°-4-8=75；

〃力8.0120sin55°

由正弦定理有，AC———-•smB-:~——.

sinCsm75

设高为方，则4-sin公誓浮

•sin50°^78(m).

答案：78

8.在△49C中，已知Z/si/C+cZsi/QZAcosBcosC,则的形状为.

解析：：NsinPC+c'sin'/HZ^ccos/fcosC,由正弦定理，得Zsin*si/C-ZsinZfeinGos

BcosC,即sin8sinC=cosBcosC,

...cos(6+O=0,；.8+C=90°,."=90°,

...△47C是直角三角形.

答案：直角三角形

9.如图，一船以每小时15km的速度向东航行，船在4处看到一

灯塔8在北偏东60°,行驶4h后，船到达。处，看到这个灯塔在北偏东15°,求此时船与

灯塔的距离.

解：如题图，由正弦定理得，

BC__________15X4

sin(90°—60°)=sin45°'

所以6c=34km.

.•.此时船与灯塔的距离为34km.

10.在%中，已知a=2AosC,求证：为等腰三角形.

解：因为，a=2bcosC,

所以，由正弦定理得2Asin/=4AsinBcosC.

所以2cosCsin8=sin4=sin(8+0=sin&os(7+cos&inC.

所以sinBcosC—cos6sinC—0,

即sin(6—0=0.

所以C=n灭(〃GZ).

又因为反。是三角形的内角，

所以B=C,

即△力笈为等腰三角形.

层级二应试能力达标

1.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取48两点，从4,占两点测得树尖的仰

角分别为30°和45°,且48两点之间的距离为60m,则树的高度为()

A60m3

A.(30+30^)mB.(30+154)m

C.(15+30V3)mD.(15+34)m

解析：选A由正弦定理可得.，

sm(45—30)sin30

60X；

则PB=.=30(J6+J2)(m).

sin15ROvv

设树的高度为力，则方=侬必45°=(30+30A/3)m.

2.在中，角4B,C的对边分别是a,b,c,若c-acos6=(2a—6)cos力，则4

力比■的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析：选D已知c—acosB=(2a—Z?)cosJ,由正弦定理得sinC

—sinJcos8=2sinJcosJ-sin反osA,所以sin(/I+a)-sin/cos

8=2sinAcos力一sinBcosA.化简得cos/(sin4—sinA)=0,所以cos力=0或sinB—

sinA=0f则4=90°或4=8所以△力■为等腰三角形或直角三角形.

3•当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2nl的竹竿如图所示放置，要使它的

影子最长，则竹竿与地面所成的角是()

A.150°B.30°

C.45°D.60°

解析：选B设竹竿与地面所成的角为叫影子长为

2x

由正弦定理，得「~~-/ion-----

sin60sin(120—o)

.,.x=^-sin(120°-a),

o

V30°<120°-0<120°,

.•.当120°-a=90°,即。=30°时，x有最大值.

即竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.

4.设△49C的内角4B,。所对的边分别为a,b,c,若6cosC+ccos6=asinA,则

△力直1的形状为.

解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin氏osC+cossinC=sin°4有sin(6

+0=sin’4从而sin(6+0=sinA—sin2A,解得sinA—1,.,.A——.

答案：直角三角形

5.在中，b=8,c=84，&&=16水，贝U/=_

解析：由心械ug/Nsin4得sin4=(，又因为0°<4<180°,所以4=30°或150°.

答案：30°或150°

6.一船在海面4处望见两灯塔只。在北偏西15。的一条直线上，设船沿东北方向航行

4nmile到达8处，望见灯塔P在正西方向，灯塔。在西北方向，则两灯塔的距离为—

nmile.

解析：如图，在如中，AB=4,NABP=45°,/BAP=600.

：.ZAPB=75°.

»十廿》皿/日ABBP

由正弦定理，得：-o=­：777°~,

sin7E5sm60

在48%中，/PBQ=45°,

/4。5=30°.

m8Psin45°r-

由正弦定理，得&=­=12—45,

sin30v

•••两灯塔相距（12—4m）nmile.

答案：12-473人

1处，两观察所分别位于地面点。和〃处，己知CD=6000m,Z/i\

力345°,/4r=75°,目标出现于地面点6处时，测得/6折30°,/\

/施'=15°（如图），求炮兵阵地到目标的距离.c套

解：在△力切中，/池=180°-NACD—NADC=6Q°,缪=6000,

C/TH,/I二°/o

NACQ45°,根据正弦定理，有3=\gc。

si：n二b八l）：一\l3

同理，在△及力中，NGBD=180°一/8（力一/区笫=135°,CD=6000,>=30°,

-公in30°也

根据正弦定理，有劭=.=受笫

sin1352

又在△"〃中，ZADB=ZADC+ZBDC=90°.