高中数学讲义微87 离散型随机变量分布列与数字特征

微专题87离散型随机变量分布列与数字特征

一、基础知识：

(-)离散型随机变量分布列：

1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关

系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结

果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量

(1)事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。

例如：在扔硬币的试验中，用1表示正面朝上，用o表示反面朝上，则提到1,即代表正面

向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析(计算期望与方差)，同时也可以

简洁的表示事件

(2)量化的事件之间通常互为互斥事件

(3)随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的

代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如：

在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为则“4=1”代表“正面向上"，J=0”代表

“反面向上”,

(4)随机变量的记法：随机变量通常用x,y,a…等表示

(5)随机变量的概率：记尸(X=xJ为X取七所代表事件发生的概率

2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随

机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集

3、分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取得不同值为玉,马，…，芭，…,Z，X取每

一个值七(，=1,2,…的概率尸(X=xJ=p,，以表格的形式表示如下：

称该表格为离散型随机变量X的分布列，分布列概率具有的性质为:

(1)p,>0,z=1,2,•••,//

(2)Pi+P2+…+P”=1，此性质的作用如下：

①对于随机变量分布列，概率和为1，有助于检查所求概率是否正确

②若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为1的特征，求出其他较为

简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率

（-）常见的分布：

1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：

（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.

（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是

否符合某分布

2、常见的分布

（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件A发生的概率为〃，令

1,事件发生

则X的分布列为:

0,事件未发生

则称X符合两点分布（也称伯努利分布），其中p=P（X=l）称为成功概率

（2）超几何分布：在含有M个特殊元素的N个元素中，不放回的任取〃件，其中含有特

殊元素的个数记为X则有P（X=Z）=,k-0,l,2,---,m,其中〃z=

即:

则称随机变量X服从超几何分布，记为X

（3）二项分布：在〃次独立重复试验中，事件A发生的概率为〃，设在〃次试验中事件A

发生的次数为随机变量X,则有P（X=A）=Cy（l—p）i,Z=0,l,2「.〃，即:

则称随机变量X符合二项分布，记为X〜B（n,p）

（三）数字特征——期望与方差

1、期望：已知离散性随机变量g的分布列为：

则称P&+P2$+…+P总的值为X的期望，记为E4

(1)期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了〃次这样的试验，每次试验

随机变量会取一个值(即结果所对应的数)，将这些数进行统计，并计算平均数，当〃足够

大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次,

设投进篮的次数为随机变量X,那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次(比如

次)，统计每次试验中X的取值X1,X2,….Xioooo,则这10000个值的代数平均数将很接近

期望欧

(2)期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：4则有

=E（ar）+b）=aErj+b

①g=是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组(〃4)代表事件的

概率相同：若〃的分布列为：

-------------------------------------------则彳=8的分布列为：

_②这个公式体现出通过随机变量的线性

---------------------------------------关系，可得期望之间的联系。在某些直接

求期望的题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间

存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望

2、方差：已知离散性随机变量自的分布列为：

且记随机变量自的期望为用表示。的方差，则有：

(1)方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了"次这样的试验,

每次试验随机变量会取一个值(即结果所对应的数)，将这些数进行统计。方差大说明这些

数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中(集中在期望值周围)

(2)在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算:设随机变量为J,

则必=£国_(即2

(3)方差的运算法则：若两个随机变量乙"存在线性对应关系：^=arj+b,则有:

3、常见分布的期望与方差:

(1)两点分布：则EX=p,Z)X=〃(l_p)

(2)二项分布：若乂~8(〃,〃)，则£X=〃〃,DX=">(l-〃)

(3)超几何分布：若X〜则EX=〃•——,DX=—'，/八、——L

注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期

望(或方差)，则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随

机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望(或方差)

二、典型例题：

例1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门

主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签

的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛

(1)求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率

(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X,求X的分布列和数学期望

(D思路：本题可用古典概型进行解决，设。为“五支队伍的比赛顺序”，则〃(。)=6,

事件A为“甲乙排在前两位“，则〃(A)=A］用，从而可计算出P(A)

解：设事件A为“甲乙排在前两位”

(2)思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数X能取得值为0,1,2,3,同样适用

于古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序

问题。

解：X可取得值为0,1,2,3

.•.X的分布列为：

例2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任

选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.

求：(1)选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；

(2)选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望.

(1)思路：本题可用古典概型来解，事件。为“10名教师中抽取3人”，则〃(。)=。东，

事件A为“语文教师人数多于数学教师人数”,则分为“1语0数”，“2语1数”,“2语0数”,

“3语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为“(A),则P(A)即可求出。

为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“3人中有，名

语文教师”和“3人中有/名教学教师”。

设事件a为“3人中有i名语文教师”，号为“3人中有，名数学教师”，事件A为“语

文教师人数多于数学教师人数”

(2)思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10个元素中不放回的抽取3

个元素，特殊元素个数的分布列”，即符合超几何分布。随机变量X的取值为0,1,2,3,按

超几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望

语文教师人数X可取的值为0,1,2,3,依题意可得：X〜"(10,3,3)

.♦.X的分布列为

例3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动员进行了

测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩(单位：cm,且均为整数)，同时

对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳高成绩在185cm以上(包括185cm)定义

为“优秀”,由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运动员中成绩在190cm

以上(包括190cm)的只有两个人，且均在甲队

(1)求甲，乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在［160,170)(单位：cm)内的运动员

人数b

(2)在甲，乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩

为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率

(3)在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会

甲

715557

9981612450.030

0.025

986531712457

8642118167

3219

QMS

MSIMSIMJmJ

正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望

(1)思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲，

乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直

方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布(但不区分甲，乙队)，由此可明确要确定全体

运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据，

则两个图要结合着看。在第(1)问中，可以以190cm以上的人数为突破口，通过频率直方

图可知190cm以上所占的频率为0.005x10=0.05,而190cm以上只有2人，从而得到全体

人数，然后再根据频率直方图得到［160,170)的人数，减去甲队的人数即为力

解：由频率直方图可知：

成绩在以190cm以上的运动员的频率为0.005x10=0.05

2

所以全体运动馆总人数。=——=40(人)

0.05

成绩位于［160,170)中运动员的频率为0.03x10=0.3,人数为40x0.3=12

由茎叶图可知：甲队成绩在［160,170)的运动员有3名

.•.Z?=12—3=9(人)

⑵思路：通过频率直方图可知180cm以上运动员总数为：(0.()2()+().()()5)xl()x40=l()

(人)，结合茎叶图可知乙在180cm以上不缺数据。题目所求的是条件概率，所以可想到公

式P⑻力=萼粤,分别求出“至少有1人成绩为‘优秀'”和“两人成绩均'优秀

P(4)

的概率，然后再代入计算即可

解：由频率直方图可得：180cm以上运动员总数为：(0.020+0.(X)5)x10x40=10

由茎叶图可得，甲乙队180cm以上人数恰好10人，且优秀的人数为6人

乙在这部分数据不缺失

设事件4为“至少有1人成绩优秀”，事件3为“两人成绩均优秀”

(3)思路：由(2)及茎叶图可得：在优秀的6名运动员中，甲占了4名，乙占了2名，依

题意可知X的取值为0,1,2,且X符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算

解：由(2)可得：甲有4名优秀队员，乙有2名优秀队员

X可取的值为0,1,2

.•.X的分布列为：

例4：现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味

性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2

的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记J=|X—丫］,求随机变量J

的分布列与数学期望

21

(1)思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为R参加乙游戏的概率为

163

42

8=一=一，4个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即

63

可。

2I42

解：依题意可得：参加甲游戏的概率为［=—=—,参加乙游戏的概率为A=—=—

6363

设事件4为“有i个人参加甲游戏”

(2)思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件A3UA4,又因为43，44互斥，所以

根据加法公式可得：0=尸(4)+尸(4),进而可计算出概率

解：设事件B为“甲游戏人数大于乙游戏人数”

(3)思路：表示两个游戏人数的差，所以g可取的值为0,2,4。j=o时对应

的情况为4,j=2时对应的情况为4,4，J=4时对应的情况为4,4,从而可计算出

对应的概率，得到分布列

解：。可取的值为0,2,4

例5：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到

红灯的概率都是!，遇到红灯时停留的时间都是2分钟

3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间4的分布列及期望，方差

解：(1)思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立，。在第三个路口首次遇到红灯，

即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。使用概率乘法即可计算

解：设事件4为“在第i个路口遇到红灯”，则p(a)=g,P(4)=I—P(4)=]

设事件A为“第三个路口首次遇到红灯”即A=4n无D4

(2)思路：在上学途中遇到一次红灯就需要停留2分钟，一共四个路口，所以要停留的时

间J可取的值为0,2,4,6,8,依题意可知J的取值对应的遇到红灯次数T]为0,1,2,3,4,且该

模型属于独立重复试脸模型，所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率，即为

对应J取值的概率，从而列出分布列，在计算期望与方差时，如果借用分布列计算，虽然可

得到答案，但过程比较复杂(尤其是方差)，考虑到〃符合二项分布，其期望与方差可通过

公式迅速得到，且自与〃之间存在联系：彳=277。所以先利用二项分布求出租的期望与方

差，再利用运算公式得到J的期望方差即可

解：J可取的值为0,2,4,6,8,设遇到红灯的次数为〃，则〃对应的值为Q1,2,3,4

・・芯的分布列为：

小炼有话说：本题的亮点在于求J的期望方差时，并不是生硬套用公式计算，而是寻找一个

有特殊分布的随机变量〃，通过两随机变量的联系(线性关系)和〃的期望方差来得到所求。

例6：甲，乙去某公司应聘面试，该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机

抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能

2

正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是一，且每题正确完成与否互

3

不影响

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；

(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

(1)思路：依题意可知对于甲而言，只要在抽题的过程中，抽中甲会答的题目，则甲一定

能够答对，所以甲完成面试题数的关键在于抽题，即从6道题目中抽取3道，抽到甲会的4

道题的数量X,可知X符合超几何分布；对于乙而言，抽的题目是无差别的，答对的概率

相同，所以乙正确完成面试题数y符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公

式即可得到分布列和方差

解：（1）设x为甲正确完成面试题的数量，y为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：

X〜“（6,3,4）,X可取的值为1,2,3

.♦.X的分布列为：

.•.y的分布列为:

（2）思路：由（1）可知上X=EF,说明甲，乙两个人的平均水平相同，所以考虑甲，乙

发挥的稳定性，即再计算。x,z）y,比较它们的大小即可

解：OX=gx（l—2）2+（2—2）2x|+（3—2『xg=|

.•.甲发挥的稳定性更强，则甲胜出的概率较大

小炼有话说：（1）第（2）问在决策时，用到了期望和方差的意义，即期望表明随机变量取

值的平均情况，而方差体现了随机变量取值是相对分散（不稳定）还是集中（稳定），了解

它们的含义有助于解决此类问题

（2）当随机变量符合特殊分布时，其方差也有公式以方便运算：

①二项分布：若X〜则QX=叩（1一p）

_x、nM（N—MN-n）

②超几何分布：若X〜,则DX=-'八、——L

例7：某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超

过2小时收费100,超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）.现

甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次.设甲、乙租用不超过两小时的概率分别

为L」，租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为［,4，两人租用的时间都不超过4

3232

小时.

(1)求甲、乙两人所付费用相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量求4的分布列与数学期望.

解：(1)设事件A为“甲，乙租用时间均不超过2小时”.­.P(A)=1-1=1

事件8为“甲，乙租用时间均在2小时至3小时之间”=l

236

事件C为“甲，乙租用时间均在3小时至4小时之间”

故所求事件的概率尸=P(A)+P(8)+P(C)=—

36

(2)J的取值可以为200,300,400,500,600

则pe=2oo)='U

236

故。的分布列为：

例8：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处，小球自由下落，在下落的

过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，

12

向左，右两边下落的概率分别是一,一

33

(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率

(2)在容器入口处依次放入4个小球，记J为落入6袋中的小球个数

求自的分布列和数学期望

(1)思路：本题的关键要抓住小球下落的特点，通过观察图形可得：小球要经历三层障碍

物，且在经历每层障碍物时，只有一直向左边或者一直向右边下落，才有可能落到A袋中，

其余的情况均落入B袋，所以以A袋为突破口即可求出概率

解：设事件A为“小球落入4袋”，事件B为“小球落入B袋"，可知B=入

依题意可得:

(2)思路：每个小球下落的过程是彼此独立的，所以属于独立重复试验模型，由(1)可得:

在每次试验中，落入袋发生的概率为：，所以自服从二项分布，即2

8J〜,运用

二项分布概率计算公式即可得到答案

解：4可取的值为0,1,2,3,4,可知

J的分布列为：

例9“已知正方形ABCD的边长为2,E、F、G、H分别是边AABC、CD、的中

点.

(1)在正方形ABC。内部随机取一点P,求满足|丹/|<正的概率；

(2)从A、B、C、D、E、F、G、〃这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的

距离为。，求随机变量J的分布列与数学期望

(1)思路：首先明确本题应该利用几何概型求解(基本事件位等可能事件，且基本事件个

数为无限多个)。。为“正方形内部的点”，所以

S(O)=22=4,设事件A为“|尸〃|〈及''，则P点位于以

“为圆心，J5为半径的圆内，所以5(A)为正方形与圆的公/AHD

共部分面积，计算可得：〈!

S(A)=SAHE+SDHG+S!mG=1+-,从而算出P(A)MJX

解：设事件A为“|P"|<0"P

BFC

(2)思路：八个点中任取两点，由正方形性质可知两点距离J

可取的值为后,2夜，概率的计算可用古典概型完成。。为“八个点中任取两点”,

则〃(。)=《=28,当4=1时，两点为边上相邻两点，共8组；当g=时，该两点与

中点相关有4组；当4=2时，除了正方形四条边，还有EG,“产，所以由6组；当自=#)

时，该两点为顶点与对边中点，共8组；当4=2夜时，只能是正方形对角线AC,30,

有2组，根据每种情况的个数即可计算出概率，完成分布列

解：4可取的值为1,后,2,有,2后

.•.J的分布列为:

例io：一种电脑屏幕保护画面，只有符号"O"和"X"随机地反复出现，每秒钟变化一次，

每次变化只出现"O"和"X"之一，其中出现"O"的概率为P，出现"X"的概率为q,若第

2次出现"O",则记%=1；出现"X",则记%=-1,令S“=4+4+…+4.

31

(1)当〃=一国=一时，求S3的分布列及数学期望.

I?

(2)当〃=§应=§时，求$8=2且S旧0(7=1,2,3,4)的概率.

(1)思路：依题意可知邑表示试验进行了三次，可能的情况为3"X",1"<9"2"X",

2"O"1"X",且符合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应S3的取值为

-3,-1,1,3,分别计算出概率即可列出分布列

解：S3的取值为-3,-1,1,3

.•・S3的分布列为：

(2)思路：由$8=2可知在8次试验中出现5次"O",3次"X"。而SjN0(i=l,2,3,4)可

知在前四次中，出现"O"的次数要大于出现"X"的次数，可根据前四次出现"X"的个数进

行分类讨论，并根据S?0(i=1,2,3,4)安排"O"和"X"出现的顺序

解：设A,为“前四次试验中出现，个X,且Sg=2,520(1=1,2,3,4)

三、历年好题精选

1、已知A箱装有编号为1,2,3,4,5的五个小球(小球除编号不同之外，其他完全相同)，B

箱装有编号为2,4的两个小球(小球除编号不同之外，其他完全相同)，甲从A箱中任取一

个小球，乙从B箱中任取一个小球，用x,y分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.

(1)求概率p(x>y)；

XX>Y

⑵设随机变量g=y,x«'求刖分布列及数学期望.

2、春节期间，某商场决定从3种服装，2种家电，3种日用品中，选出3种商品进行促销活

动

(1)试求出选出的3种商品中至少有一种是家电的概率

(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100

元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若

中两次奖，则共获得数额为3加元的奖金，若中3次奖，则共获得数额为6M元的奖金，假

设顾客每次抽奖中奖的概率都是1，请问：商场将奖金数额加最高定为多少元，才能使促

3

销方案对商场有利

3、为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿

者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)若身高在175cm以上(包

括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”,

切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”里

(1)求12名男志愿者的中位数1577899

9816124589

(2)如果用分层抽样的方法从所有“高个子”，“非高个86501723456

74211801

子”中共抽取5人，再从这5个人中选2人，那么至少有119

一个是“高个子”的概率是多少？

(3)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的

人数，试写出X的分布列并求出期望

4、如图所示：机器人海宝按照以下程序运行：

①从A出发到达点B或C或D,到达点B,C,D之一就停止

②每次只向右或向下按路线运行

③在每个路口向下的概率为1

3

④到达P时只向下，到达Q点只向右

(1)求海宝从点A经过M到点B的概率和从A经过N到点C的概率

(2)记海宝到B,C,D的事件分别记为X=1,X=2,X=3,求随・M

机变量X的分布列及期望

5、如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落至A或3或

R

C,已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式进

行促销活动，若投入到小球落到ARC,则分别设为一、二、三等奖

(1)己知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为50%,70%,90%,记随机变量J为获得上

等奖的折扣率，求随机变量J的分布列及期望

(2)若由3人参加促销活动，记随机变量〃为获得一等奖或二等奖的人数，求P(/7=2)

(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失自的概率分布，并求其平均值

(2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以77表示每天的损失，写出7/的概率分布，计算〃

的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择

7、正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为G，从正四棱柱的12条棱中任取两条，设〃为随

机变量，当两条棱相交时，记〃=0；当两条棱平行时，〃的值为两条棱之间的距离；当两

条棱异面时，记〃=3

(1)求概率P(〃=0)

(2)求〃的分布列，并求其数学期望

8、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予

以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再

由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能

通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3

(1)求投到该杂志的一篇稿件被录用的概率

(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望

9、(2016,湖南师大附中月考•)师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从

小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔10辆就抽取一辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行

询问调查，将他们在某段高速公路的车速(切2/〃)分成六段：

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]统计后得至收口下图的频率分布直方

图.

(1)此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方::

0.8

法？并求这20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；ow

0.02

001

707sM)R59095((JO

（2）若从车速在［80,90）的车辆中做任意抽取3辆，求车速在［80,85）和［85,90）内都有车

辆的概率；

（3）若从车速在［90,1（X））的车辆中任意抽取3辆，求车速在［90,95）的车辆数的数学期望.

10、已知暗箱中开始有3个红球，2个白球（所有的球除颜色外其它均相同），现每次从暗

箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中

（1）求第二次取出红球的概率

（2）求第三次取出白球的概率

（3）设取出白球得5分，取出红球得8分，求连续取球3次得分X的分布列和数学期望

11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机

会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1

个黑色球，顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖，规定摸到红色球奖励

10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励

（1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率

（2）记X为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望

①两轮测试均通过的定为一级工程师

②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师

③第一轮测试没通过的不予定级

172

已知甲，乙，丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为一,一,一；通过第二轮测试的概率

333

均为‘

2

（1）求经过本次考核，甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师的概率

（2）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率

（3）设甲，乙，丙三位工程师中被定为一级工程师的人数为随机变量X,求X的分布列

和数学期望

13、（2015,广东）已知随机变量X服从二项分布3（〃,2），若欣=30,m=20,则

P=一

14、（2015,安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随

机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件

正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值

15、（2015,福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡

将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正

确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正

确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.

16、（2015,天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参

加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选

手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

（1）设A为事件”选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”

求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

17、（2015,山东）若〃是一个三位正整数，且〃的个位数字大于十位数字，十位数字大于

百位数字，则称〃为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参

加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽

取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能

被10整除，得T分；若能被10整除，得1分.

（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX

18、（2014,四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出

现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次

音乐获得20分，出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得一200分）.设

每次击鼓出现音乐的概率为,，且各次击鼓出现音乐相互独立.

2

（1）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反

而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

19、（2016,唐山一中）设不等式f+y244确定的平面区域为u,|x|+|y|«l确定的平

面区域为V.

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰

有2个整点在区域V内的概率；

（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X,求X的分布列和数学

期望.

20、（2016）天一大联考）某猜数字游戏规则如下：主持人给出8个数字，其中有一个是幸

运数字，甲，乙，丙三人依次来猜这个幸运数字，有人猜中或者三人都未猜中游戏结束。甲

先猜一个数，如果甲猜中，则甲获得10元奖金，如果甲没有猜中，则主持人去掉四个非幸

运数字（包括甲猜的）；乙从剩下的四个数中猜一个，如果乙猜中，则甲，乙均获得5元奖

金，如果乙没有猜中，则主持人再去掉两个非幸运数字（包括乙猜的）；丙从剩下的两个数

中猜一个，如果丙猜中，则甲，乙，丙均获得2元奖金。如果丙没有猜中，则三个人均没有

奖金

（1）求甲至少获得5元奖金的概率

（2）记乙获得的奖金为X元，求X的分布列及数学期望

21、（2016,广东省四校第二次联考）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校

高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预

赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为

100分）进行统计，制成如下频率分布表.

分数（分数段）频数（人数）频率

[60,70)9

[70,80)

[80,90)16

190,100)

合计1

（1）求出上表中的x,y,z,s,〃的值：

（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出

场顺序.已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②记高一•二班在决赛中进入前三名的人数为X,求X的分布列和数学期望.

22、（2016,唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择

一种，

方案一：每满200元减50元：

方案二：每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有

2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所

得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）

（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？

习题答案：

1、解析：（1）设事件A,.为“取出i号球”,设事件B.为“取出/号球”，则P（A,%）=d='

（2）J的取值为2,3,4,5

的分布列为:

2、解析：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A,从3种服装、2种家电、3

种日用品中，选出3种商品，一共有C；种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选

法有C；种.

「3Q

所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P（A）=1—胃=—

G14

（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量X,其所有可能的取值为0,根,3〃z,6〃?

3、解析：（1）由茎叶图可得：男志愿者身高数据为：

所以中位数为：176+178=177cffl

2

（2）由茎叶图可得：“高个子”12人，“非高个子”18人

所以这5个人中，有2个高个子，3个“非高个子”

设事件A为：”至少有一个是‘高个子

（3）由茎叶图可得高个子中能担任礼仪小姐的有4人

则X可取的值为0,1,2,3

X的分布列为：

12

4、解析：（1）依题意可得每个路口向下的概率为-，向右的概率为一

33

设事件4为“点A经过M到点B”

设事件B为“从A经过N到点C”

⑵尸(x=i)*[+需J一2•一1=9=一1

33819

X的分布列为:

5、解析：（1）自可取的值为50%,70%,90%

.•.J的分布列为:

（2）由（1）可知：获得一等奖或二等奖的概率为2+2=2,且〃〜台［，？］

16816116J

6、解析：（1）自可取的值为0,3000,依题意可得:

(2)〃可取的值为0,500,3000

的分布列为:

E”E&,所以按天气预报作防雨处理是正确的选择

解：(1)p(〃=o)=次合4

7、

01211

（2）〃可取的值为0,1,J5,6,2,3

二〃的分布列为：

8、解：（1）设事件A为“一篇稿件被录用”

（2）X可取的值为0,1,2,3,4,可知X〜814,|

X的分布列为:

9、

（2）车速在［80,90）的车辆有（0.2+03）x20=10辆,其中速度在［80,85）和［85,90）内

的车辆分别有4辆和6辆

设事件A,为“［80,85）内有i辆车”，事件Bj为“［85,90）内有/辆车”，事件A为“车速在

［80,85）和［85,90）内都有车辆”

（3）车速在［90,1（X））的车辆共有7辆，车速在［90,95）和［95,100）的车辆分别有5辆和2

辆，若从车速在［90,10（））的车辆中任意抽取3辆，设车速在［90,95）的车辆数为X,则X

的可能取值为1、2、3.

C'C21C2cl4C2C02

P（x=l）=*=L,尸（x=2）=*='P（x=3）=-^=-

C7C7C；7

故分布列为

「142

车速在［90,95）的车辆数的数学期望为颐*）=1*/2又尹3、］.

10、解析：（1）设事件A为“第二次取出红球”

2333+53

可得P（A）=—X----1X-----

55+555+55

（2）设事件3为“第三次取出白球“，则包含白白白，白红白，红白白，红红白