高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 2 数列 第4讲 数列求和教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第4讲数列求和

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

分析近五年全国卷发现高考命1.数列中Q.与

2017年I卷Tu；2017年11卷T“；

了解数列的递推关系，能题有以下规律：\的关系

2016年11卷I,；2015年I卷T”；

用等差、等比数列前n项数列求和常以4与S”的关系为2.裂项相消法

和公式求一些特殊数列2015年D卷T32013年I卷T“；载体，重点考查分组转化求和、求和

的和.2013年I卷Tn裂项相消法求和及绪位相减法3.错位相减法

求和，难度中等.求和

题型1数列中%与s,的关系

(对应学生用书第11页)

■核心知识储备.............

1.数列｛aj中，与S的关系:

Sin=1,

a„=\

_S,—S,r-\.

2.求数列｛&｝通项的方法：

(1)叠加法

形如a〃一a“-i=f(〃)(〃》2)的数列应用叠加法求通项公式，劣=&+£f(4)(和可求).

k=2

(2)叠乘法

形如旦=『(〃)(〃》2)的数列应用叠乘法求通项公式，金=&.....(积可

3n-\3\&3n-\

求).

(3)待定系数法

形如%=4a0-i+〃(/?22,八¥1,〃W0)的数列应用待定系数法求通项公式，&+

彳、=兰开)(构造新数列卜,为等比数列).

■典题试解寻法.........................................................

【典题1】(考查已知a与S的递推关系求$)已知数列｛a.｝满足a.+,=3a„+2.若首项a

=2,则数列｛为｝的前〃项和S,=.

［解析］因为a»+i—3a„+2,所以a„+i+1—3(a„+1),故｛a0+l｝是以a】+l=3为首

项，3为公比的等比数列，

所以a〃+1=3",所以a,-3"—1.

&+a?+…+a=(3'-1)+(32-1)+•••+(3"-1)=(3'+3?+…+3")—〃=

31一3”3"+'-3

n=-~——/?,

1-3

Q〃+1___Q3flll-2n-3

所以

3"+'—2〃-3

2

【典题2】（考查已知a与S的递推关系求&）数列1｝中，a=l,S,为数列｛a,,｝的前〃项

和，且满足K^=1（〃》2）.求数列｛a〃｝的通项公式.

3〃

［解］由已知，当〃12时，〈二*=1，

aQn

匚匚1、12S,-Sn-1

所以G—<?q_,=］»

2SLSn-\.111

即——：一-：­=1,r所r以彳一丁=5・

1OnJRO/j—1/

又S=a=l,

所以数列是首项为1,公差为4的等差数列,

所以白=1+)(〃-1)

即Sn="।.♦

/?+1

222

所以当〃22时,

/?+1nnn+1*

1,〃=1,

因此a=<2

心2.

刀+1

匚类题通法］

给出S与&的递推关系，求融,常用思路：一是利用S—Si=&刀22转化为为

的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出S与力之间的关

系，再求为.

提醒：在利用&=S-S-〃22求通项公式时，务必验证〃=1时的情形

■对点即时训练.........................................................

1.己知数列｛a｝满足4+1=7^-,若a=.，则/018=（）

La2

1

-

A.-1B.2

2

C.1D.

X111

一

=-企-

夕I

D［由H1=W，&+】=-；,得32~~金X-a

21—3fl1-a

=2,…，

于是归纳可得凝-2=5，&〃一1=2,a〃=-1，因此石2018=4x672+2=2.故选D.］

2.已知数列｛a｝前〃项和为S,若6=2a-2",则3=.

〃・2"（〃£N*）［由S=2&-2〃得当〃=1时、5=51=2；当〃22时，S=2（S-ST）

一2",即%/=1,所以数歹薛|是首项为1,公差为1的等差数列，则%=〃，$

乙乙［乙I乙

=〃・2"（〃22）,当〃=1时，也符合上式，所以S,=〃•2"（〃GN*）.］

■题型强化集训.........................................................

（见专题限时集训"、Tz、%、T“、T5,TT、8、TIO、Tn,T12）

题型2裂项相消法求和（答题模板）

（对应学生用书第12页）

裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方

法，主要适用于］或（其中｛a｝为等差数列）等形式的数列求

［a„an+ij［a„a„+2j

和.（2017•全国U卷Tis、2015•全国I卷Tn,2015•全国H卷Tie）

■典题试解寻法.........................................................

【典题】（本小题满分12分）（2015•全国I卷）$为数列｛a〃｝的前〃项和.已知4>0,

a：+2a°=4$+3

（1）求｛a,,｝的通项公式;

（2）设&='一，②求数列｛4｝的前n项和.

【导学号：07804027）

［审题指导］

题眼挖掘关键信息

看到4+2&=4W+3,

①

想到H3+24+I=4S〃+I+3,两式作差，求{&}.

看到bn—,

②&也〃+1

想到先求儿,想到能否裂项.

［规范解答］⑴由W+2%=4S+3,可知苒+i+2d+i=4S+i+3.1分

两式相减可得成十1一看+2(a+1-&)=44+1,2分

④

即2a〃+i+&=an+\—a„=a〃+i+&an+\—an

由于%>0,所以&+i—a〃=2.4分

又由J+2a=4d+3,解得&=-1(舍去)或ai=3.5分

所以｛a｝是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为a=2〃+1.6分

1If1111

=

⑵由a”=2〃+1可知bt,~~'-

QnQn+12〃+12〃+32<2/?+12n+3)\

设数列｛6〃｝的前〃项和为Tn,则62H---\-bn=

1(11、

+…+尸32；；312分

23-5+5-712/7+12〃+3,

［阅卷者说］

易错点防范措施

A=SLS,T("22)是联系&与S,的桥梁，

③忽视a与S,的关系导致思路不清.

常借助其实现互化关系.

当等式中出现二元二次方程时，常考虑因

④忽视化筒、因式分解致误.

式分解.

对题设条件可适当标注，以引起注意，同

⑤忽视题设条件a”>0,导致增解.

时解题后要反思总结.

形如L|的数列常用裂项相消法求和，

⑥忽视裂项或裂项后与原式不等价.

裂项后要注意系数的变化.

［类题通法］

裂项相消法的基本思想就是把通项&分拆成a=6〃+*—k，l,AeN*的形式，常

见的裂项方式有:

n

(2(2n-l)(2n+1)=Tl.2n-1~In+1J；

(3)------\=：(Yn+k-7).

+加+LA

提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数.

■对点即时训练.........................................................

(2017•郑州第三次质量预测)已知数列｛&｝的前〃项和为S,a=-2,且满足S,=1a,

+i+刀+1(〃eN*).

(1)求数列｛品｝的通项公式；

(2)若4=log3(—a,+l),设数列的前〃项和为Z”求证：7；<|

｛DnOn+2｝4

［解］⑴由£=24+1+〃+1(〃£N*),得Si=，&+〃(/?22,刀CN"),

两式相减，并化简，得劣+1=3a-2,

即为+I—1—3(a„—1),又ai—1——2—1———3W0,

所以｛a一1｝是以一3为首项，3为公比的等比数列，

所以a-1=(-3)M'l三一3".

故an——3"+1.

(2)证明：由&=log3(—a“+l)=log33”=〃，得三一=----TT-=［：­7^7?)，

〃+2nnI乙ni乙)

1<,1,11,11,,11,11A1/,,111A3

方…+羡丁衽7+厂肃广井+5-石丁同丁

2/?+33

2〃+1〃+2

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训116、8、Tl3)

题型3错位相减法求和

(对应学生用书第13页)

■核心知识储备.........................................................

错位相减法：用于等差数列｛a｝,等比数列｛4｝构成的数列｛&&｝,乘公比q作差.

■典题试解寻法.........................................................

【典题】设数列｛&｝满足团+3a+3，+…+3i&〃eN*.

(1)求数列｛a,J的通项公式；

(2)设b„=~,求数列｛4｝的前n项和S“.

【导学号：07804028］

［解］(1)因为3i+3d2+3/+…+3"£=§,①

n—1

1=

所以当时，a+3/+32a3+…+3"an-\~~，②

由①一②得3"-%〃=；,所以为=［(〃22).

OO

在①中，令〃=1,得&适合&=/

所以a="(/?£N*).

<5

(2)证明：由(1)可得4=?=〃X3",

123n

51=lX3+2X3+3X3+-+nX3,③

3S,=lX32+2X3；i+3X3'+-+z?X3n+1,④

31—3”

由③一④得一2S=3+32+33+3'+…+3"—〃X3"+'=--~~;-------nX3n+',

1—3

.3,2/7-1X3n+I

故S=］+----------------------

［类题通法］用错位相减法求和时，应注意：

1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

2在写出“S”与“gS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下

一步准确地写出“SkqS”的表达式.

3应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果不能确定公比g是否

为1,应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查.

■对点即时训练.........................................................

已知等比数列｛4｝的前〃项和为S”公比q>0,S=2a2-2,8=&-2.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)设b„=~,求｛&,｝的前n项和T„.

an

［解］(1)£=24一2①，5=4-2②,

②一①得d3=a-24，则02—g—2=0,

又丁。〉。，:・q=2.

・・・$=2/一2,

・・功+愚=202-2,

•・H1+<31<7--2c?iQ2,

••&=2.

.•.4=2".

⑵由⑴知bn=?

••・北片+春+抖…叶/?—1,n

/7-1,n

7=打曰+1+…■+2.2

错位相减得

1n

可得北=2一亨.

■题型强化集训.........................................................

（见专题限时集训T”）

三年真题I验收复习效果

（对应学生用书第14页）

1.（2017•全国I卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软

件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活

码工石-S

码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列*****

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°,接下来的两项是2°'2'，再接

下来的三项是2°2寸，依此类推.求满足如下条件的最小整数AA100且该数列的前

1项和为2的整数累.那么该款软件的激活码是（）

A.440B.330

C.220D.110

A［设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推,

i+n

则第〃组的项数为〃,前〃组的项数和为巴

2

由题意知，A>100,令">100今〃》14且〃GN*,即/V出现在第13组之后.

n//

第）组的各项和为11—=92"-1,前」组所有项的和9为[1—09—三=2"1—2—〃.

设"是第/7+1组的第〃项，若要使前/V项和为2的整数基，则N」’项的和

即第n+1组的前4项的和2X-1应与一2一〃互为相反数，即2"-1=2+〃（AGM,

29X1+29

77^14）,A=log2（〃+3）=〃最小为29,此时衣=5,则A・二----------

故选A.]

n|

2.（2017•全国n卷）等差数列｛&｝的前〃项和为s，a3=3,S,=10,则人各鼠二

k

码上打一行

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【导学号：07804029]

2〃

^+1[设等差数列｛4