高二数学10 圆锥曲线的方程（多选题）（11月）（人教A版2019）（解析版）

专题10圆锥曲线的方程(多选题)

1.已知抛物线E:y2=4x的焦点为/，准线为/,过户的直线与E交于A，8两点，C,

。分别为A，3在/上的射影，且|AE|=3|BF|,M为AB中点，则下列结论正确的是

()

A./CFD=9O。B.△CMO为等腰直角三角形

C.直线45的斜率为土百D.线段A3的长为号

【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考

【答案】ACD

【分析】由题意写出焦点F的坐标及准线方程，设直线AB的方程及A,8的坐标，可得C,

力的坐标，再由忸月=3|8月，求出直线A8的参数，进而判断出所给命题的真假.

【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点F(l,0),准线方程为x=-l,

由题意可得直线AB的斜率不为0,由题意设直线AB的方程为工=，町41,

设A(xi,yi),B(X2,”)，由题意可知C(-1,yi),D(-l,”)，

将直线AB与抛物线联立整理得：y2-4my-4=0,yi+yz=4m,yi”=-4,

A中，因为fC.RD=(-2,yi)“-2,”)=(-2)(-2)+yi)，2=4-4=0,所以fCJ.尸£),

即/CFO=90。，所以A正确；

B中，由A正确，不可能更不会/C或/。为直角，所以B不正确；

UUSlUU

C中，因为|AF|=3|8F|,所以AEuBEB，即yi=-3)，2,yi+y2=4〃3yly2=-4,

-2y=4m]l

所以《c22“，解得加=上，，”=±»,所以直线A8的斜率为±6,所以C正确;

[一3%-=-433

D中，由题意可得弦长\AB\=>/1+nr+%)~一4yly2=Jl+m2+16-

=—.所以D正确，故选ACD.

3

2.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却

没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬

间无处寻觅.已知点“（1,0）,直线/：%=-2,若某直线上存在点尸，使得点P到点M的

距离比到直线/的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）

A.点P的轨迹曲线是一条线段

B.点P的轨迹与直线/'：X=-l是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）

C.y=2x+6不是“最远距离直线”

D.y=gx+l是“最远距离直线”

【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考

【答案】BCD

【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”

逐一判断即可.

【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线/的距离小1,即等价于“点P到点M的

距离等于到宜线/'：X=—l的距离”故P点轨迹是以加（1，0）为焦点，直线/'：X=—l为准

线的抛物线，其方程是丁=4-故A错误；

点P的轨迹方程是抛物线V=4x,它与直线/没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B

正确；要满足“最远距离直线''则必须满足与上述抛物线V=4x有交点，

把y=2x+6代入抛物线丁=4%，消去y并整理得f+5x+9=0,

因为A=52-4x1x9=—11<0,无解，所以y=2x+6不是“最远距离直线”，故C正确；

把y=+l代入抛物线V=4x,消去y并整理得/_］2x+4=0，

因为A=（—12）2—4xlx4=128>0，有解，所以y=gx+l是“最远距离直线”，故D正

确.故选BCD.

［名师点睛］本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹

问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题.

3.己知耳，口2分别是双曲线。：*2-丫2=1的左右焦点，点/,是双曲线上异于双曲线顶点的

一点，且向量产耳•产6=（）,则下列结论正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=±xB.以£工为直径的圆的方程为V+y2=1

C.大到双曲线的一条渐近线的距离为1D.AP6息的面积为1

【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考

【答案】ACD

【分析】求出双曲线c渐近线方程，焦点耳，B，APEE的面积即可判断.

【解析】4.代入双曲线渐近线方程得y=±x，正确.B.由题意得£（0,0）,6（一近,0）,

则以耳屈为直径的圆的方程，不是f+>2=1,错误c^（72,0）,渐近线方程为y=%,

距离为1,正确.D.由题意得耳（、/io），E（-Vio），设尸（%,%）,根据p耳44=0,

解得/=±乎，为=±孝，则△「久鸟的面积为L正确.故选ACD.

22

4.已知双曲线与■一号=1仅>0/>0）的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且

ab~

\PF\=2\PF^,若sinN6P^=乎，则对双曲线中。力,c,e的有关结论正确的是（）

A.e=5/6B.e—1

C.b=#>aD.h--J3a

【试题来源】山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考

【答案】ABCD

【分析】根据余弦定理列方程得出a,c的关系，再计算离心率.

【解析】由双曲线的定义知：|P£|一|桃|=|P闾=2a,；.|P周=4a,

由sin/耳尸鸟=乎可得cos/耳尸入=±；,

在△PKK中，由余弦定理可得：4"+16"-4C2=±L解得£.=4或1=6，

2x2ax4a4aa~

Q

，e=-=2或痛，c=2。或c=46a，

>i.c2=a2+Z?2，可得〃=GQ或〃=石々，故选ABCD.

5.已知椭圆c：0+'=1（。>〃>0）的左、右端点分别为4,4，点P,。是椭圆c上

3

关于原点对称的两点（异于左右端点），且女I必c\•原"代A=-二4，则下列说法正确的有（）

A.椭圆C的离心率不确定B.椭圆C的离心率为彳

2

C.即4M0A的值受点R。的位置影响D.cos幺叫的最小值为一;

【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性调研

【答案】BD

b23

【分析】根据题中条件可求出二=2,继而可求出离心率，由此可判断AB；根据题意可

JA

3

得出•以。=以「山廿=-4为定值，可判断C；由和的正切公式可建立关系判断D.

【解析】设尸（x,y）,则/=/1—--,因为A（-。,0）,4（。,0），

故yy

匕

x-\-ax-axr-ar-a

依题意有4T即与=1所以离心率e"学二，故A不正确，B正确;

因为点尸，。关于原点对称，所以四边形4尸&。为平行四边形，即有鼠。=32八代入题

3

干条件可得；"%=卜"%=_',不受点P,。的位置的影响，故C不正确；

3

设NP/44为a,N尸44为。，由题意可得tancrtan，=二，则有ZA]PA2-K-a-p,

4/八\/八'tana+tanB,“公

从而有tanZ4PA2=tan(^-«-/7)=-tan+/?)=-------------<一4,3,

1一tana•tan尸

当a=/7,即当点P为短轴端点时幺时最大，此时COS/AP4最小，计算得一；，故

D正确.故选BD.

6.如图，过点尸（2,0）作两条直线x=2和/«=阳+2（加＞0）分别交抛物线＞2=2》于A,B

和C,。（其中AC位于x轴上方），直线AC,8。交于点Q.则下列说法正确的是（）

A.C,。两点的纵坐标之积为T

B.点。在定直线％=-2上

C.点P与抛物线上各点的连线中，Q4最短

D.无论CO旋转到什么位置，始终有NCQP=NBQP

【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二）

【答案】AB

［解析】设点。（玉,y）,D（X2，必），将直线/的方程》=阳+2代入抛物线方程丁=2》得:

y2-2my-4=0.则乂%二-4.故A正确；

2

由题得4（2,2）,5（2,-2）,直线AC的方程为＞一2=--（x-2）,

必+2

直线BD的方程为y+2=-^―U—2）,消去）,得X=,

必-2凹-%+4

将%%=-4代入上式得x=-2,故点Q在直线％=-2上，故B正确；

计算尸A=■可知C错误；因为24=必，但Q4叩8,所以D错误.故选AB.

2

7.设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线/过点F,且与抛物线C交于A,B两点,。为

坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.|AJ?|＞4

B.|QA|+|OB|〉8

C.若点尸(2⑵，贝IJ|PA|+1A用的最小值是3

D.QW的面积的最小值是2

【试题来源】湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期第一次模拟(理)

【答案】ACD

【解析】F(1,0),不妨设A在第一象限,

(1)若直线/无斜率，贝(1,2),B(1,-2),

则|AB|=4,|。4|+|08|=2|。4|=26，S=gx4xl=2,显然B错误;

(2)若直线/存在斜率，设直线/斜率为大，则直线/的方程为y=&(xT),显然后0,

二尸，消元得：心」(2…U。,

联立方程组

/、/\7k2+444

设A&,%）,B（X,%），则玉+々=——;—=2+—,所以|48|=%,+x2+2=4+—>4,

2kkk

原点o到直线/的距离d='■,

所以Sw=；x|AB|xd=gx(4+5)x闷-2

X-/-Z>2,

收+1

综上，IABR4,SOAIi>2,故A正确，D正确,

过点A向准线作垂线，垂足为M则|以|+依月=|以|+|4V|,

又P(2,2)在抛物线右侧，故当P,A,N三点共线时，|必|+|4月取得最小值3,故C正

确.故选ACD.

广v29h2

8.已知6、B分别为双曲线*■一方=1(。>0/>0)的左、右焦点，且旧用=J，点尸

为双曲线右支一点，/为用的内心，若5.明=5々咤+/S△班巴成立，则下列结论正

确的有()

A.当P居，x轴时，NP6工=30。B.离心率e=

2

C.二！D.点/的横坐标为定值“

2

【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二）

【答案】BCD

A211

【解析】当2鸟，无轴时，|P用=L=C=5RK|，此时tan/p/谯=/,所以A错误;

因为忻居|=也，所以2c=也=2。2-2",整理得/—e—1=0（e为双曲线的离心

~aaa

率），因为e＞l，所以e=2］叵，所以3正确.

2

设△尸耳月的内切圆半径为〃由双曲线的定义得归周一|/岑|=2a,|耳巴|=2c,

S△呼=；|P闻•r，5寸乃=g|PK|"，Sw=；.2cr=cr，

因为%/际=S△2万+，S△/乃,所以51P用"=耳|尸身卜r+2cr,

IwH尸用「二1旧八

故2cc1+752•所以C正确•

2

设内切圆与尸库、PF?、耳鸟的切点分别为M、N、T,

可得|9|=|印卜耳闸=忸刀，比可=色外・

由忸耳|一|尸闾=|KM—EM=I单1一用外=24,忸闾=1单1+1取1=2，

可得后T|=c—。，可得T的坐标为（。,0）,即1的横坐标为a,故。正确；故选8CO.

【名师点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的

切线的性质，化筒运算能力和推理能力，属于中档题.

y2

9.已知双曲线=1（。＞0力＞0）的左右两个顶点分别是Ai,Az,左右两个焦点分别是

a

Fi,Fi,P是双曲线上异于Ai,4的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（）

A.\PF\-\PF^2aB.直线PA”PA?的斜率之积等于定值」

a'

C.使△2白鸟为等腰三角形的点P有且仅有4个D.焦点到渐近线的距离等于。

【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考

【答案】BD

【分析】A.由双曲线的定义判断；B.设尸(七,%),利用斜率公式求解判断；C.利用双

曲线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断；

【解析】A.因为归周-忸周=2a,故错误;

(2\

22段/_1

B.设2(如为),则-来~=1，所以"_y0y0_I4,_夕’

才b~尸人「%=不二•五金二年_.=/

故正确；

C.若点P在第一象限，若尸石=2c,尸乙=2c—2。，耳心为等腰三角形；若

PF2=2c,PFy=2c+2a,△2/=；月为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点P有且仅有8

个，故错误；

D.不妨设焦点坐标为8(c,0),渐近线方程为笈-殴=0,则焦点到渐近线的距圈

,be,

d=/,,=匕,故正确；故选BD.

y/b2+a2

10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2,过点尸的直线与抛物线交于

P,。两点，M为线段尸。的中点，O为坐标原点，则()

A.C的准线方程为y=lB.线段PQ长度的最小值为4

C.M的坐标可能为(3,2)D.OPOQ=~3

【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试

【答案】BCD

【分析】根据条件可得出P=2,易得4、3的正误，设P3,〉1),0(X2,”)，直线PQ的

2

方程为x=my+1,联立x=my+1,y=2px,算出玉+々,x,x2,X+%，X%即可得出।C、。的

正误.

【解析】焦点F到准线的距离为p=2,所以抛物线C的焦点为(1,0),准线方程为x=-I,

则选项A错误；

当PQ垂直于无轴时长度最小，此时尸(1,2),2(1,-2),所以伊。|=4,则选项B正确：

设P(xi,yi),。(12,”)，直线尸0的方程为尸ky+1,联立x=my+l,y1=2px,

消去y可得x2—(4w2+2)x+1=0,消去x可得y2—4/ny—4=0,所以xi+x2=4/n2+2,yi+y2=4/n,

当m=1时，可得M(3,2),则选项C正确；

又)叮2二—4,所以。P00=Aw+yi)，2=—3,则选项D正确；故选BCD

r22

11.已知P是双曲线c：£-方v=1右支上一点，6,B分别是C的左，右焦点，O为坐标

原点，|0尸+。月|=9彳则()

54

A.C的离心率为IB.C的渐近线方程为丁=±§》

2345

C.点P到C的左焦点距离是二D.△PG居的面积为上

44

【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考

【答案】AD

【分析】对于AB,直接利用双曲线的性质判断；对于C,取线段06的中点M，连接

利用中位线和双曲线的定义计算判断；对于D,在△「耳巴，利用余弦定理求

MO,PF2,

出COS/P6弱，进而可得sinNPKU，再用三角形的面积公式计算.

c5

【解析】由已知a=4/=3,c=5,离心率e=-=—，故A正确；

a4

1Q

渐近线方程为y=±-x=±」x,故B错误；

a4

如图，取线段2片的中点M，连接MOFF2,则MO//P%旦2|MO|=|尸可

：.OP+OF,=2OM=gP，.•.怛4=|0尸+0用=(,则|尸用=2。+|尸闾=8+(=?,

40

故C错误；在中，cosNP耳月

41

29

则sinNPFFi=^l-cosZPFtF2

41

I41Q45

则△「耳鸟的面积为一xlOx—x3=—，故D正确.故选AD

24414

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点

A、3的距离之比为定值几（XH1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的

名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，A（-2,0）、

DA1

8（4,0）,点尸满足——=—,设点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

PB2

A.C的方程为（X+4）2+V=16

B.在C上存在点。，使得。到点（1,1）的距离为3

C.在C上存在点M，使得|MO|=2|M4|

D.在C上存在点N,使得|NO「+|N4「=4

【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】ABD

DAI

【分析】设点P的坐标，利用一=一，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上

PB2

一点坐标，根据BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解,

即可得出答案.

【解析】设点P（x,y）,A（—Q）、B（4,0）,由/石二］，得|---1】

化简得炉+炉+以=。，即：（x+4）2+、2=16,故A选项正确；

曲线C的方程表示圆心为（-4,0）,半径为4的圆，圆心与点（1,1）的距离为

7（-4-1）2+1=>/26,与圆上的点的距离的最小值为而-4,最大值为而+4,而3£

[V26-4,V26+4],故B正确；

对于C选项，设")，由|M0|=2|MA|,得收+为？=2及。+2.+,

乂(工+4)2+为2=16,联立方程消去冲得回=2,解得yo无解，故C选项错误；

22

对于D选项，设N(xo,yo),由WO|2+|NA|2=4,得x0+y0+(x()+21+城=4,

乂(％+4)2+%2=[6,联立方程消去)，0得找=0,解得和=0,故D选项正确.故选ABD.

22

13.已知曲线C的方程为「一+二一=1(AGR),则下列结论正确的是()

k-26-k

A.当k=4时，曲线C为圆

B.当；:=0时;曲线。为双曲线，其渐近线方程为y=±JIr

C.-k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件

D.存在实数%使得曲线。为双曲线，其离心率为五

【试题来源】湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试

【答案】AB

【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法,

逐项判定，即可求解.

r22

【解析】由题意，曲线。的方程为「一+」v一=l(AeR),

k-26-k

对于A总，当左=4时，曲线。的方程为炉+尸=2,此时曲线。表示圆心在原点，半径

为正的圆，所以是正确的；

22

对于B中，当左=0时，曲线。的方程为匕一二=1，可得。=指*=0,此时双曲线C

62

渐近线方程为y=±6x,所以是正确的；

22

对于C中，当曲线。的方程为-^+3^=l(keR)表示焦点在X轴上的双曲线时，则

k-26-k

代—2>0

满足,八，解得女〉6,所以Y>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充

6-k<Q

分条件，所以不正确;

对于D中，当曲线。的方程为工+上一=1表示双曲线，且离心率为正时，此时双曲

k-26-k

线的实半轴长等于虚半轴长，此时|左一2|=|6-从，解得左=4,此时方程表示圆，所以不

正确.故选AB.

【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方

程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

14.已知椭圆三+二=1（m〉0）的离心率6=萼，贝的值为（）

A.3B.—C.V5D.

33

【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初

【答案】AB

【分析】分焦点在％、y轴上讨论，分别求出加的值.

【解析】由题意知加>0，当5〉加时，a=亚,b=y[m,c={5—m，

所以e=£=正三=回

解得加=3；当5c加时，a-yfm，b-旧,c-y/m-5，

aV55

所以e=£=3^5=巫，解得加=竺；故选AB.

ciy/m53

15.已知双曲线E：--21=1（^>0）的一条渐近线方程为x+3y=0,则下列说法正

m4

确的是（）.

4

A.E的焦点在x轴上B.m=一

9

D.E的离心率为典

C.£的实轴长为6

3

【试题来源】河北省张家n市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考）

【答案】AD

【解析】由m>0,可知双曲线E的焦点一定在X轴上，故A正确；

b2_1

根据题意得一所以加=36,故B错误;

ayJm3

双曲线E的实轴长为2诟=2，帝=12，故C错误;

双曲线E的离心率6=£=近营=契=®，故D正确.故选AD.

ayJmJ363

16.方程f+2sin/y2=i所表示的曲线可能是().

A.双曲线B.抛物线

C.椭圆D.圆

【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟

【答案】ACD

【解析】6是任意实数，.••2sin0e[-2,2],

当2sm0=1时，方程f+2sin。•丁=1所表示的曲线是圆；

当2sin6>0且不等于1时，方程r+2sin夕V=1所表示的曲线是椭圆；

当2sin6<0时，方程d+ZsinPy=i所表示的曲线是双曲线；

当2sin6=0时，方程V+2sin夕V=i所表示的曲线是两条直线故选ACD.

【名师点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思

想方法，属于基础题.

17.双曲线犬-*=13>0)的一条渐近线方程为25:+y=(),双曲线的离心率为e,

双曲线的焦点到渐近线的距离为4,则()

A.d=2垃B.d=42

or>3近

Cr.e=3D.e=----

4

【试题来源】湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期期末

【答案】AC

【分析】利用双曲线的渐近线方程求出。，然后转化求解离心率，求出双曲线的焦点到渐近

线的距离为4,判断选项即可.

2

【解析】双曲线V一表■=1S>0)的一条渐近线方程为20+y=0,

可得。=2啦，a=\,所以《=£=五±菱=3.双曲线的右焦点(3,0),

aa

65

双曲线的焦点到渐近线的距离为d=-^==272.故选AC.

V8+1

22

18.已知双曲线氏三—亲•二耳。〉。1>0）的两条渐近线分别为直线/1：y=2x,

l2-.y=-2x,则下列表述正确的有（）

A.a>b

B.a=2b

C.双曲线E的离心率为石

D.在平面直角坐标系xQy中，双曲线E的焦点在x轴上

【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市2019-2020学年高二下学期期末联考

【答案】CD

【分析】由已知可得2=2,所以h=2a，由此可判断AB选项，再由双曲线的方程和双曲

a

线的离心率公式可判断CD选项.

［解析】因为双曲线E的两条渐近线方程分别为y=2x,y=-2x,所以2=2,所以。=助,

a

故AB不正确；所以双曲线E的离心率6="厂+"=右;在平面直角坐标系中，双曲线

a

E的焦点在X轴上.故CD正确.故选CD.

2

19.已知双曲线的方程为二一丁=1,则双曲线的（）

4

A.离心率为当B.渐近线方程为y=±（x

C.共辗双曲线为《一元2=1D.焦点在曲线d-行N+）2=0。eR）上

【试题来源】湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高二下学期期末

【答案】AD

【分析】由双曲线的离心率的定义，可判定A正确；由双曲线的渐近线方程，可判定B不

正确；由双曲线的共轨双曲线的定义，可判定C不正确；根据双曲线的焦点为R（土行,（）），

代入验证，可判定D正确.

【解析】由双曲线的方程为工—y2=i,可得。=2力=1,且0=行市=百，

所以双曲线的离心率为e=£=@，故A正确；

a2

双曲线的渐近线方程为丁=±2*=±!*,所以B不正确;

a2

由双曲线的方程为工-丁=1,则其共舸双曲线为y2一三=1，所以C不正确;

由双曲线的方程为千—=1的焦点为尸（土6,0）,代入曲线—石W+）2=0。eR）,

满足方程，所以D正确.故选AD.

【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质，以及共较双曲线的定义的应用,

其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

X2V21

20.若椭圆L+匕=1的离心率为二，则机的取值为（）

m4

【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试

【答案】AC

【分析】分焦点在x轴或y轴上，即〃2>4,或〃z<4结合离心率讨论求解.

—4116

【解析】当%>4时，焦点在X轴上，此时离心Im率为解得根==，满足m>4;

m2

当冽<4时,焦点在y轴上,此时离心率为解得加=3,满足加<4;

2

综上的值为一或3,故选AC.

3

21.己知F是抛物线C:>2=16元的焦点，M是C上一点，R0的延长线交V轴于点N.若

M为FN的中点，则（）

A.C的准线方程为X=Y

B.尸点的坐标为（0,4）

C.|皿=12

D.三角形的面积为16a（。为坐标原点）

【试题来源】金太阳2020-2021学年高三第•次检测考试

【答案】ACD

【解析】如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线/与x轴交于点尸，作儿松山

于点3，附上/于点4.由抛物线的解析式可得准线方程为》=汽，

产点的坐标为（4,0）,则14Vl=4,|"'|=8,

在直角梯形4V尸产'中，中位线忸陷=网耳竺1=6，

由抛物线的定义有同=|M8|=6,结合题意，^\MN\^\MF\=6,

故|町=|fM|+|2W|=6+6=12,\ON\=yJ122-42=872.

S/XQNF=gx88x4=16公.故选ACD.

22.已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y=±2x,则双曲线£的

离心率为（）

75

B.V5

2

、56口36

…~T~'~T~

【试题来源】广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底

【答案】AB

【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得凡〃关系，再计算离心率即可.

【解析】若双曲线焦点在X轴上，因为渐近线方程为y=±2x,故2=2,

a

；若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程为y=±2%,得q=2,

h

.故选AB.

a

23.设定点6(0,-3)、居(0,3),动点尸满足|尸制+忸6|=a+=(a>0),则点尸的轨迹

是()

A.圆B.线段

C.椭圆D.不存在

【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】BC

【分析】由基本不等式可得|尸耳|+|尸马26,可得I尸H+I尸庐I/或

伊耳1+1尸闾>1耳闾,即可判断轨迹.

【解析】4(0,-3)、居(0,3),耳闻=6,

9Ia

a>0，用+|P用=。+322业・二=6,当且仅当a=,，即a=3时等号成立，

当a+，=6时，即归国+归国=|耳用，此时点P的轨迹是线段《招，

当a+：>6时，即归制+|"|>忻6|,此时点尸的轨迹是椭圆.故选BC.

24.已知方程mx2+ny2=1(m,ne7?),则()

A.当〃2〃>0时，方程表示椭圆

B.当〃“2<0时，方程表示双曲线

C.当机=0,〃>0时，方程表示两条直线

D.方程表示的曲线不可能为抛物线

【试题来源】江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020-2021学年高二上学期教学质量调

研(二)

【答案】BCD

【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项即可得出答案.

【解析】A：取加=〃=1，此时表示圆，故A错误；

B：当〃加＜0时，方程表示焦点在X轴或y轴上的双曲线，故B正确；

C：当加=0,y=±也，方程表示两条直线，故C正确；

n

D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D正确；故选BCD.

2

25.已知双曲线一2L=i,则（）

6

A.C的离心率为近B.C的虚轴长是实轴长的6倍

2

C.双曲线2--犬=1与C的渐近线相同D.直线y=3x上存在一点在c上

6

【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷）

【答案】AC

【分析】根据双曲线方程求得。，b，进而可得c,即可判断A与B；分别求两双曲线渐近

线方程可判断C；根据渐近线可判断D.

【解析】因为。2=1，从=6,所以。2=1+6=7,则0=£=近，一=瓜,所以A

a2a

正确，B错误.双曲《―％2=1与C的渐近线均为y=±aX,所以C正确，

因为C的的渐近线的斜率小于的3,所以直线y=3x与c相离，所以D错误.故选AC

r2V2

26.在平面直角坐标系中，已知双曲线^--2-=1,则（）

412

A.实轴长为4

A

B.渐近线方程为y=±苧尤

C.离心率为2

D.一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3

【试题来源】江苏省镇江市大港中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测

【答案】AC

【分析】由双曲线的方程可得。，b的值，求出离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线的

方程可得正确答案.

【解析】由双曲线的方程可得，/=4,82=12,02=。2+》2=16，所以。=2i=2右，

c=4.所以实轴长2a=4,离心率£=2,渐近线方程为y=±氐，所以A，C

aa

正确，5错误；因为准线方程为彳=幺=1,设渐近线旷=岳与渐近线的交点为A,两个

C

方程联立可得A（1,J3）,另一条渐近线的方程为JIr+y=O,所以A到它的距离为

曲1拽1=5所以。不正确.故选AC.

【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的离心率、实轴长，以及准线方程与

渐近线方程的求解，属于基础题.

27.若方程工+，二=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中错误的是（）

3-tt-\

A.若l<f<3,则C为椭圆

B.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<1<3

C.曲线C可能是圆

D.若C为双曲线，贝卜<1

【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】AD

【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.

【解析】对于A选项，当，=2时，曲线为C表示圆，故不正确；

对于B选项，当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，贝!If—1>3-1>0,解得2<r<3,故

正确：对于C选项，当f=2时，曲线为C表示圆的方程，故正确；

对于D选项，当曲线C为双曲线时，则（3—解得r<l或f>3,故错误；

综上，错误的是AD.故选AD.

22

28.设点F、直线/分别是椭圆G与+与=13>〃>0）的右焦点、右准线，点P是椭圆C上

a2b2

一点，记点尸到直线/的距离为d,椭圆C的离心率为e