离散型随机变量的均值教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3.1离散型随机变量的均值

一、教学背景：

i.教材地位分析：

均值是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习均

值将为今后学习概率统计知识做铺垫.同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域

有着广泛的应用.在高考中涉及到的问题背景有：产品检验、取卡片、射击、投篮、选题、

摸球、信息、路线等问题。从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值问题为主要考点，

属于基础题或中档题的层面，学生是要尽量拿满分的.

2.学生现实分析：

学生对前面的离散型随机变量及其分布列，二项分布及其应用等知识有一定的理解，

同时也具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的，而且学生自主探究、

总结归纳问题的能力还不够理想，把实际问题抽象成数学问题的能力也有所欠缺，需要在老

师的引导下进行学习.

二、教学重点、难点：

1.重点：离散型随机变量均值的概念、实际含义及其线性性质，掌握两点分布、二项

分布的均值公式，会计算简单的离散型随机变量的均值

2.难点：离散型随机变量均值及线性性质的实际应用.

三、教学目标：

1.［知识与技能目标］通过实例，让学生理解离散型随机变量均值的概念及线性性质，

了解其实际含义.会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题.

2.［过程与方法目标］经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思

想，培养学生归纳、概括等合情推理能力.通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学

问题的能力并发展学生的数学应用意识.

3.［情感与态度目标］通过创设情境激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、

勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相

长的教学情境.

四、教学方法：

1.教法选择：采用“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”一一科研式教学

模式，主要运用启发式、探究式教学方法，以启发、引导为主，采用设疑的方式逐步让学生

进行探究式学习..

2.学法指导：“学之道在于悟，教之道在于度学生是学习的主体，在整个教学过

程中将充分发挥学生的主体性.通过创设情境，让学生经历分析、思考、归纳的过程，建构

新的知识，再通过对比、应用，使构建的知识体系更完善，进一步提高学生的分析问题、解

决问题的能力.而在这一过程中，师生交流、生生交流，从而形成民主、和谐、互动的气氛.

五、教学的基本流程设计及过程：

环节

五一期间结婚的比较多，同学们在喝喜酒的时候有没有发现餐问题所涉及的是学生生

桌上的喜糖是有由好多种构成的，那么这种喜糖的价格是怎么确定活中常见现象，可激发学生的

兴趣和求知欲望，同时这样的

的呢？比如：单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3

问题问题培养了学生用数学解决

情境种糖果说按3：2：1的比例混合后对混合糖果如何定价才合理？生活问题的思维方式，学会用

数学的视野关注身边的数学.

设问1对混合糖果定价为或*任=26元/七大家觉得引导让学生思考权数和

加权平均的概念.

可以吗？若不可以你觉得应该怎样定价？为什么？教师启发学生思考、讨论

得出：权数就是从混合糖果中

分析：不可以，因为各种糖果所占的比例不同.应该定价为：任取一颗糖果，取到每种糖果

的概率.

18x—+24x-+36x—=237C/kg

236

它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是

_LJ.1

2'3'6

设问2：假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖进一步巩固分布列的相

分

关的知识，为回答下一个问题

果的单价(元/kg)你能写出X的分布列吗？

作铺垫.

析

分析：随机变量X的可能取值为：18>24、36,而

P(X=18)=」、P(X=24)=LP(X=36)=L

探

236

所以X的分布列为：教师引导学生写出X的

索

分布列，由学生归纳出每千克

X182436混合糖果的定价公式：取值

_1_乘以取该值的概率之和.

P

236

每千克混合糖果的合理价格可以表示为：

18X-!-+24X-+36X-

236

=18xP(X=18)+24xP(X=24)+36xP(X=36)

归纳：每千克混合糖果的定价公式：取值乘以取该值的概率之

和，这就是混合糖果的合理价格，也就是在混合糖果中，任取一颗

糖果，它的每千克的价格X的平均值.

设问3：买1kg这种混合糖果，她要付多少钱？而她买的糖果使学生理解样本平均值

的实际价值刚好是23元吗？与随机变量均值的联系与区

别.这里每买1kg这种混合糖

果实际价格即为该样本平均

分析：要付23元，她买的糖果的实际价值不一定是23元，值，是随着样本的不同而变化

必须根据所买的1kg混合糖果中各种糖果所占的比例而定.的，而23这一价格为随机变

量的均值，是常数.

归纳：这里每买1kg这种混合糖果实际价值即为样本平均值，

是随着样本的不同而变化的，而23这一价格为随机变量的均值，

是常数.

1、离散型随机变量均值的定义从以上分析，由学生归纳

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为出离散型随机变量均值的定

概义.归纳是一种重要的推理方

X•••当法，由具体结论归纳概括出定

x2...

念义能使学生的感性认识升华

到理性认识，培养学生从特殊

P・・・

P1P2...

构P3Pn到一般的认知方法.用文字语

言描述抽象的数学公式，可加

+++

建则称E(X)=xlp+x2P2'xip+-x„pn深对公式的理解.

为随机变量x的均值或数学期望,数学期望又简称为期望.

它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

用文字语言描述抽象的数学公式即：离散型随机变量的均值即

为随机变量取值与相应概率分别相乘后再相加而得到.

练习一

糖果店为了吸引更多顾客，开设了有奖游戏：随机抛掷一个骰子，

所得骰子的点数可得相应的糖果数，求抛掷一次骰子得糖果的个数

X的均值.

发

分析：随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6活跃课堂气氛，激发学生

现其分布列为的学习兴趣又提炼了求均值

的步骤，有助于学生对生活中

性X123456蕴含的数学模式进行思考和

作出判断.

P1/61/61/61/61/61/6

质

所以随机变量X的均值为E(X)=1X1/6+2X1/6

+3X1/6+4X1/6+5X1/6+6X1/6=3.5

先分析变量x和丫的关

步骤：(1)列出相应的分布列

系，再从实例中体会并猜想出

⑵利用公式E(X)=X[P[+x2P2+…+XHi+…

离散型随机变量均值的线性

结论：性质.注重学生思维习惯的养

成，培养学生从特殊到一般的

若)天)

dl)-2=…—认知方法.

贝!JE(O)-xtx—+x2x—d----bxnx—="+%+^

n~nnn

变式：

为了加大奖励，糖果店将所得点数的2倍加1作为奖励糖果个

数y,即y=2x+i,求y的数学均值？

X123456

Y35791113

P1/61/61/61/61/61/6

所以随机变量y的均值为

E(Y)=3X1/6+5X1/6+7X1/6+9X1/6+11X1/6+13X1/6=8

=2E(X)+1

设x为离散型随机变量，若丫=◎+/?,其中。、匕为常数，则

E(Y)=?你能猜想出结果吗？

离散型随机变量均值的线性性质

E(aX+b)=aE(X)+b(先猜想再证明)

证明：设离散型随机变量X的概率分布为

对离散型随机变量均值

的线性性质先猜想，进而给出

XiX?X3・・・

XX.证明，培养学生理论来源于实

践的思想，扎实严谨的科学态

・・・

P2舄P”度，形成完整的数学知识结

构.

而P(Y=axt+b)=P{X=x;),z=1,2,3--•«

所以丫的分布列为

・・・

Yaxx+hax,+hax3+baxn+h

・・・

PPiP2P3Pn

.,.ECyjnlaXi+b)I4+(ox,+8)〃,+…+(or,,+8)〃,,

=a（再Pl+尤2P2+…+怎P"）+力（Pl+。2+…+P.）

=aE（X）+b

练习二：

若EG）=3,〃=2J+4,则£（7）=_______

例题1：

在篮球比赛中，罚球命中一次得一分，不中得。分。如果某

运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球一次的得分X的均值是

多少？

分析：X服从两点分布，其分布列为

X01

推

导P0.30.7

结E(X)=0X0.3+1X0.7=0.7

论引导学生推到出：

有例题引导学生一步一

若随机变量X服从两点分布，那么E(X)=p步去发现去归纳去证明

二项分布的均值

对例题2变式：若改为他罚球两次、三次、分别求出得分X的均值

是多少。

引导学生看出随机变量X服从二项分布

可以求出当X〜B(2,0.7)时，E(X)=1.4

当X〜B(3,0.7)时，E(X)=2.1

引导学生发现规律

当X〜B(n,0.7)时,E(X)=0.7n

猜想：若X〜B(n,p),则E(X)=np、

证明：•••P延=k)=p)i=

：.党=0XC：p°q"+1XC；p%"T+2XC：p2qT+-+k

XGPI'T+・“+〃XC：；pZ。.

又kC，=k——--=-----------------------------------=nC\-\,

kl(n-k)'.-1)-(1)]!

二魅=np(+—2+…+

C3+…+c：］;p〃Tq。）=叩（p+=np.

故若f〜8（〃，p）,则祥=〃2

例2：

一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，

其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或错选都不得分，

满分100分，学生甲选对任何一题的概率为0.9,学生乙则在测验

中对每题都从各选项中随机地选择一个。分别求学生甲和学生乙在

这次测验中成绩的均值。

引导学生分析：这是独立重复试验，答对的题数符合二项分布

解：设先表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数

它们都满足二项分布：例题2通过实际应用，培

X|〜B(20,0.9)X2-B(20,0.25)养学生把实际问题抽象成数

所以:E(Xi)=np=20X0.9=18学问题的能力并发展学生的

E(X)=np=20X0.25=5数学应用意识及战胜困难的

巩2

甲所得分数5xi的均值为：E(5X,)=5E(X,)=5xl8=9O意志品质.

固

乙所得分数5x2的均值为：£(5X,)=5E(X)=5X5=25

提2

高

解题心得：

思考：甲乙两个射手的命中环数的概率分布列如下

国甲8910窗10

P-0.3G..10.8P0.20.50.3

你能判断那个射手的水平高吗？

归我们来共同总结本节课的收获采用提问的方式，通过归

1、离散型随机变量均值的线性定义纳总结，反思深化学生对基础

纳一般地,若离散型随机变量X的概率分X概念、基本理论的理解，同时

x2…4

布为：培养学生宏观掌握知识的能

小力.除了注重知识，还注重引

则称£1(X)=X]0+X2P2+…+XnPnp・・・p

Plp2n导学生对解题思路和方法的

结为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望.它反映总结，可切实提高学生分析问

了离散型随机变量取值的平均水平.题、解决问题的能力，并让学

2、离散型随机变量均值的步骤生养成良好的学习数学的方

(1)先分析背景，若满足两点分布和二项分布可直接求出。法和习惯.

(2)列出相应的分布列

(3)利用公式计算：E(X)=玉月+x2p2+…+xnpH

3、离散型随机变量均值的线性性质及应用：

E(aX+b)^aE(X)+h

4、若随机变量X服从两点分布，那么E(X)=p

5、若X〜B(n,p),贝(JE(X)=np

1、课本习题2.3A组2、4作业深化学生对概念的

2、(选做题)课本习题2.3B组1理解，强化学生对概念的应

布3、(闯关题)：五一期间糖果店为了聚人气开展抽奖活动：交10元，用，起到培养学生自学能力的

置可参加一次抽奖活动.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡作用.选做题充分兼顾学有余

作片，分别标有3、4、5、6元钱；抽奖人所得的奖励是有放回的从力的同学有更好的发展空间.

业盒子抽两次(每次抽一张)得到卡片的钱数之和，求抽奖人获利的

数学均值.

2.3.1离散型随机变量的均值（导学案）

>>学习目标

通过实例理解离散型随机变量均值的概念及线性性质，了解其实际含义.掌握两点

分布、二项分布的均值公式。会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题.培

养归纳、概括等合情推理能力。

>>学习重点

离散型随机变量均值的概念、实际含义及其线性性质；两点分布、二项分布的均值;

离散型随机变量均值的求法。

>>学习M

离散型随机变量均值的理解和求法，二项分布均值的推导。

>>学习as

（一）复习巩固

i.写出离散型随机变量的分布列及其性质，想想求分布列的一般步骤。

2.写出两点分布的分布列

3.写出二项分布的分布列

（二）情景引入

五一期间结婚的比较多，同学们在喝喜酒的时候有没有发现餐桌的的喜糖都是有好多种

构成的，那么这种喜糖的价格是怎么确定的呢？比如：单价分别为18元/kg、24元/kg、

36元/kg的3种糖果说按3：2：1的比例混合后，糖果店如何对混合糖果定价才合理？

思考：如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等，从这种混合糖果中随机选取一颗，记

X为这颗糖果所属种类的单价，请你写出X的分布列.

(三)概念建构

1、离散型随机变量均值的定义

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为

X・・・

X1x2・・・%

・・・

PP1必P3・・・Pn

则称E(X)=

为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的

平均水平.

练习一

糖果店为了吸引更多顾客，开设了有奖游戏：随机抛掷一个骰子，所得骰子的点数可得

相应的糖果数，求抛掷一次骰子得糖果的个数X的均值.

为了加大奖励，糖果店将所得点数的2倍加1作为奖励糖果个数y,即y=2x+i,求y的

均值？

思考：同学们能发现E(Y)和E(X)的关系吗？

(四)发现性质

设X为离散型随机变量，若丫=依+8，其中a、b为常数，则E(y)=?你能猜想

出结果吗？请给出证明过程

练习二：

若E（J）=3,77=24+4,贝！JE（77）=

（五）推导结论

例题1：

在篮球比赛中，罚球命中一次得一分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为

0.7,那么他罚球一次的得分X的均值是多少？

对例题1变式：若改为他罚球两次、三次、分别求出得分X的均值是多少。

思考：根据上面的求解过程你能发现均值随试验次数的变化规律吗？

例题2：

一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确，

每题选对得5分，不选或错选都不得分，满分100分，学生甲选对任何一题的概率为0.9,

学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个。分别求学生甲和学生乙在这次测验

中成绩的均值。

解题心得:

思考：甲乙两个射手的命中环数的概率分布列如下

&&&10肛8&10

你能判断那个射手的水平高吗？

X0123

P0.1ab0.1

1.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数&的均值是（）.

A.0.6B.\C.3.5£）.2

2.已知离散型随机变量&的分布列如右表，随机变量n=2&+i,则1］的g012

均值为（）.P0.33k4k

A.1.18.3.2C.llkD22k

3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒,对于没有发芽的种子，每粒需再补

种2粒，补种的种子数记为X,则X的均值为（）.

A.1008.200C.300D.400

4.设随机变量X的分布列如右表：且E©=1.6,则a-b=（）.

A.-0.28-0.4C.0.1D.0.2

5.设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为

6.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量（表示所选

3人中女志愿者的人数，则&的数学期望是.

7.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜,

则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为2/3,乙获胜的概率为1/3,各局比

赛结果相互独立.

⑴求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.

《离散型随机变量的均值》观评记录

张老师：整堂课思路清晰，环节紧凑，重难点突出，设计合理。学生的课堂习惯非常好，

每个人都能积极的参与到课堂中，课堂效果较好。

李老师：利用情境引导学生学习新知，学生的学习兴趣被充分激起，有许多地方值得学习。

王老师在：教学新知时循循善诱，让学生学习起来毫不费力，分发挥了学生的主动性，教

学设计很好，引导得也很到位，同时还让学生体会到学生与生活的联系。

邵老师：（1）整节课学生情绪高涨，兴致勃勃。（2）充分体出了学生的主体和教师的主

导作用。（3）最后环节让学生计算身高，设计好，调动了学生的积极性。

鹿老师：这节课上得很成功，学生们上课的积极性和参与率极高，特别是老师能抓住儿童

的心理特点，创设一定的情境。

秦老师：老师并提供了丰富的内容，在整个教学过程中给予了学生比较充分的自主探究机

会，让学生在活动中学习、提升。

《离散型随机变量的均值》课标分析

通过实例，让学生理解离散型随机变量均值的概念及线性性质，了解其实际含义。会计

算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题。经历概念的建构这一过程，让学生

进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。通过实际应用，培

养学生把实际问题抽象成数学问题的能力并发展学生的数学应用意识。通过创设情境激发学

生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师

生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。

《离散型随机变量的均值》教材分析

均值是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习均

值将为今后学习概率统计知识做铺垫.同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域

有着广泛的应用.在高考中涉及到的问题背景有：产品检验、取卡片、射击、投篮、选题、

摸球、信息、路线等问题。