第一章函数极限和连续-高数知识点资料文档

第一章函数、极限和连续

【考试要求】

一、函数

1.理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数.

2.理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性.

3.了解反函数：反函数的定义，反函数的图像.

4.掌握函数的四则运算与复合运算.

5.理解和掌握基本初等函数：幕函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.

6.了解初等函数的概念.

二'极限

1.理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义.

2.了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极

限存在定理，掌握极限的四则运算法则.

3.理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，工趋于

无穷（%—>00,x-»+GO,x—时函数的极限.

4.掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理.

5.理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，

无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较.

6.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.

7.熟练掌握分段函数求极限的方法.

三、连续

1.理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充

分必要条件，函数的间断点及其分类.

2.掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连

续性，会求函数的间断点及确定其类型.

3.

掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零点定

理)，会运用介值定理推证一些简单命题.

4.理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限.

5.熟练掌握分段函数连续性的判定方法.

【考试内容】

一'函数

(-)函数的概念

1.函数的定义：设数集OuR,则称映射fR为定义在。上的函数，通常简

记为y=/(%),XGD,其中尤称为自变量，y称为因变量，。称为定义域.

说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的/外，还可以用其他的英文字母或

希腊字母，如“g”、“F"、"(p”等，相应的，函数可记作y=g(x),y=F(x),

y=O(%)等.有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y=y(%),这一

点应特别注意.

2.函数的解析(公式)表示法

(1)函数的显式表示法(显函数)：y=/(%)形式的函数，即等号左端是因变量的符号,

ex-1

而右端是含有自变量的式子，如丁=xe'-2cosx,y=3sinx+---------等.

e、+In%

(2)函数的隐式表示法(隐函数)：函数的对应法则由方程/(%,>)=0所确定，即如果

方程/(乂田二。确定了一个函数关系》=/(%),则称》=/(%)是由方程

厂(",〉)=0所确定的隐函数形式.

说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程尤+丁3—1=0解出

y=%一%,就把隐函数化成了显函数.但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化

有时是非常困难的，甚至是不可能的.

(3)分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如

第2页，共26页

x+1,x>0

/(%)=〈是由两个解析式表示的定义域为(—8,+8)的一个函数.

x-1,%<0

第2页，共26页

(4)由参数方程确定的函数：如果自变量％与因变量y的关系是通过第三个变量，联系起

来《(，为参变量)，则称这种函数关系为参数方程所确定的函数.例如：参数

x=2cost

表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆.

{y=2sint

(二)函数的几种特性

1.有界性

设函数/(%)的定义域为。，数集Xu。，如果存在正数M,使得

对任一1eX都成立，则称函数/(%)在X上有界.如果这样的M不存在，就称函数

/(%)在X上无界.

说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，

如果正数M是函数/(x)的一个界，则比〃大的数都是函数/(%)的界.

2.单调性

设函数/(%)的定义域为D,区间/w。.如果对于区间/上任意两点%及％2,当

再<%2时，恒有/(西)</(%2)，则称函数/(X)在区间/上是单调增加的；如果对

于区间/上任意两点再及％2,当不<%2时，恒有/(%)>/(%2)，则称函数/(X)在

区间/上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

3.奇偶性

设函数/(%)的定义域。关于原点对称.如果对于任一XC。，/(一%)=/(%)恒

成立，则称/(X)为偶函数.如果对于任一XC。，/(一％)=一—(%)恒成立，则称/(X)

为奇函数.例如：/(1)=cos%、/(x)=%2都是偶函数，/(x)=sinx.

/(%)=arctan%是奇函数，而/(%)=$111%+以光%则为非奇非偶函数.

偶函数的图形关于y轴对称，而奇函数的图形关于原点对称.

说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，

两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.其余结论读者可自行论证.

第3页，共26页

4.周期性

设函数/(%)的定义域为£>.如果存在一个正数/,使得对于任一X有

(%±/)G。，且/(%+/)=/(%)恒成立，则称/(%)为周期函数，/称为/(%)的

周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期.例如：函数sin%、cos%都是以2%

为周期的周期函数，函数tan%是以乃为周期的周期函数.

(三)函数的运算

1.和差积商运算

设函数/(%)，g(%)的定义域依次为D.,则我们可以

定义这两个函数的下列运算：

⑴和(差)f+g：(/±g)(%)=/(%)±g(%),xeD；

(2)积7・g：(7•/(%)=/(%>g(%),%e。；

(3)商工：—(%)=/(尤),XGD\{x|g(x)=0,XG£)}.

g\gjg(%)

2.反函数(函数的逆运算)

对于给定的y是X的函数y=/(x),若将y当作自变量而%当作因变量，则由关系

式》=/(%)所确定的函数8=。(>)称为函数/(%)的反函数，记为y=(x),

/(X)叫做直接函数.

若直接函数y=/(%)的定义域为Q,值域为则反函数丁=/T(x)的定义域

为M,值域为O.且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y=%对称.

3.复合函数(函数的复合运算)

设函数>=/(〃)的定义域为函数〃=g(x)的定义域为。g,且其值域

R&uDf,则由下式确定的函数y=/[g(%)],xwOg称为由函数〃=g(%)与函

数>=/(〃)构成的复合函数，它的定义域为Og,变量〃称为中间变量・

说明：g与f能构成复合函数的条件是函数g的值域R,必须含在函数7的定义域。/

内，即RgU。/,否则不能构成复合函数.此外，复合函数可以由多个函数复合而成.

第4页，共26页

（四）基本初等函数与初等函数

1.基本初等函数

基函数：y=x"（4eR是常数）；

指数函数：y=Q*（。>0且awl）；

对数函数：y=log（/x（a>0且awl,特别当a=e时记为y=ln%）；

三角函数：y=sin%,y=cos%,y=tan%,y=cotx,y=sec%,y=csc%；

反三角函数：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.

以上五类函数统称为基本初等函数.

说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，

这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记.

（1）反正弦函数y=arcsin%：是由正弦函数y=sin%在区间上的一段定

义的反函数，故其定义域为［-1,1］,值域为一一，一］.

22

（2）反余弦函数y=arccos%：是由余弦函数丁=cos%在区间［0,万］上的一段定义

的反函数，故其定义域为［-1,1］,值域为［（）,〃］.

（3）反正切函数y=arctan%：是由正切函数y=tanx在区间（-^，^）上的一段定

/、7CTC、

义的反函数，故其定义域为（—8,+8）,值域为（z一,，,）.

（4）反余切函数y=arccot%：是由余切函数y=cot%在区间（0,万）上的一段定义

的反函数，故其定义域为（—8,+8）,值域为（0,万）.

2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用

一个式子表示的函数，称为初等函数.例如：y=2sin2xcosx,y=yl2-x2,

第5页，共26页

^=ln（A：+VP+1）,y=arccos（%2—1）等都是初等函数.在本课程中所讨论

的函数绝大多数都是初等函数.

二、极限

（-）数列的极限

I.数列极限的定义：设｛%”｝为一数列，如果存在常数A,对于任意给定的正数£（不论

它多么小），总存在正整数N,使得当时，不等式一A|<£都成立，那么就

称常数A是数列｛怎｝的极限，或者称数列｛七｝收敛于A,记为11111%“=4或

>00

xn（〃->00）.如果不存在这样的常数A,就说数列｛%“｝没有极限，或者说数

歹|」｛七,｝是发散的，习惯上也说limx”不存在.

〃一>8

说明：数列极限中自变量〃的趋向只有一种，即〃一>8,虽然含义表示正无穷，但不要

写做“f4W,注意与函数极限的区别.

2.收敛数列的性质

性质（1）:（极限的唯一性）如果数列｛七』收敛，那么它的极限唯一.

性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列｛%“｝收敛，那么数列｛%｝一定有界.

说明：对于数列｛九,J,如果存在正数〃，使得对一切九都有<M,则称数列｛七｝

是有界的，否则称数列｛七』是无界的.

性质（3）：（收敛数列的保号性）如果limx”=A，且A>0（或者A<0）,那么存在

8

正整数N,当〃〉N时，都有％“>0（或%“<0）.

（二）函数的极限

1.函数极限的定义

（1）%—%时函数的极限：设函数/（%）在点％0的某个去心邻域内有定义.如果存在

常数A,对于任意给定的正数£（不论它多么小），总存在正数b,使得当%满足不等式

0<|九一%（）|<5时，对应的函数值/（%）都满足不等式|/（幻一川<£,那么常数A

第6页，共26页

就叫做函数/(x)当%—%。时的极限，记作limf(x)=A或f(%)fA(当

XT'。

x—>x0).

说明：函数的左极限lim/(%)=A或/■(/-)=A；右极限lim/(x)=4或

X—>XQ"XT城

/(%+)=A；左极限与右极限统称单侧极限.函数/(%)当%一A%。时极限存在的充要

条件是左右极限都存在并且相等，即/(%-)=/(%(:)・

(2)%->8时函数的极限:设函数/(X)当卜|大于某一正数时有定义.如果存在常数A,

对于任意给定的正数£(不论它多么小)，总存在正数X,使得当%满足不等式〉X时，

对应的函数值/(%)都满足不等式|/(%)一川<£,那么常数A就叫做函数/(%)当

%—>00时的极限，记作lira/(%)=A或/(%)fA(当％,oo).

X—>co

说明：此定义包含lim/(%)=A和lim/(%)=A两种情况.

Xf+00X—>-00

2.函数极限的性质(以%—%为例)

性质(1)：(函数极限的唯一性)如果limf(%)存在，那么这极限唯一.

・r»o

性质(2)：(函数极限的局部有界性)如果lim/(x)=A,那么存在常数〃>0和

5>0,使得当0<|%—％|<5时，有

性质(3)：(函数极限的局部保号性)如果lim/(%)=A,且A>0(或A<0),那

么存在常数S>0,使得当<3时，有/(%)>0(或/(%)<0).

(三)极限运算法则

1.如果lim/(%)=A,limg(x)=B,则有

X—>XQX—>XQ

(1)lim[/(x)±g(jc)]=limf(x)±limg(%)=A+B；

X->XQ工―冲X—>XQ

(2)lim[/(x)•g(%)]=limf(x)-limg(x)=AB；

X—X—>XQX—>JCQ

f(x\lim/(x)X

(3)lim3=^——=-其中3wO；

fag(x)limg(%)B

第7页，共26页

(4)=clim/(x),其中。为常数；

X—>A()X—

/f,,

(5)lim[/(x)]=[lim/(x)])其中〃为正整数.

X—>XQXTQ

2.设有数列｛%“｝和｛y“｝，如果lim%“=A,lim%=3,则有

〃一>8"—>00

(1)lim(x±y)=A±B；

〃一>8n

(2)lim(xz;-yn｝=AB-,

xA

(3)lim—=—,其中)wO(八=1,2,•一)且JBWO.

〃->8/B

3.如果以％)2“(%),而lim0(%)=A,=则AN5.

x—>%0xf%

4.复合函数的极限运算法则：设函数y=/[g(x)]是由函数〃=g(%)与函数

y=/'(〃)复合而成，/[g(%)]在点％°的某去心邻域内有定义，若limg(%)=〃o，

lim/(〃)=4,且存在d>0,当％eU(%o,今)时，有,则

〃->〃0

lim/[g(x)]=lim/(〃)=A.

W->MQ

说明：本法则以1->%o为例，其他趋向下亦成立.

(四)极限存在准则

1.准则/如果数列｛玉｝、｛券｝及｛z,J满足下列条件:

从某项起，即当〃>/时，有

(1)wN,yn<xn<Z",

(2)limy=A,limz=A,

n—><x)nw—>oon

那么数列｛七J的极限存在，且limx”=A.

〃一>8

准则/'如果函数/(%)、g(x)及/?(%)满足下列条件：

⑴当％eU(%o，r)(或国>M)时，g(x)</(x)<h(x),

(2)limg(x)=A,limh｛x)=A,

XfX。JVTXo

(XT8)(X->8)

第8页，共26页

那么lim/'(%)存在，且等于A.

・SX。

(Xf8)

说明：准则/及准则/'称为夹逼准则.

2.准则〃单调有界数列必有极限.

准则〃'单调有界函数必有极限.(函数有界一般是指在某个邻域内有界)

(五)两个重要极限

i.hm-----=1,可引申为lim—匕」=1,式中不管自变量工是哪种趋向，只

XTOX奴x)fO夕(%)

要在此趋向下3(%)-»0即可(以％)—》0+或以工)-0一时亦成立).

2.lim(l+xy=e或lim(l+i)'=e,可引申为lim(l+°(x))"=e

x-»Ox->oo%8(x)―>0

(0(%)f(T或0(x)fCT时亦成立)或lim(1+―!—y(x｝=e

以X)fOO9(%)

(0(%)T+8或0(X)-»-00时亦成立).

说明：数列亦有第二种极限形式，即lim(l+')”=e.两个重要极限是考试的必考内容,

“廿n

请大家务必好好掌握.

(六)无穷小和无穷大

1.定义

(1)无穷小的定义：如果函数/(%)当X—%(或时的极限为零，那么称函

数/(%)为当(或Xf8)时的无穷小量(简称无穷小).特别地，以零为极限

的数列｛%“｝称为〃一>8时的无穷小.

说明：以后我们再提到无穷小时，把数列｛K〃｝当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本

质上就是函数，并且一定是在自变量X的某一趋向下才有意义.

(2)无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数/(%)的绝对值无限增大，则

称函数/(%)为自变量在此变化过程中的无穷大量(简称无穷大).

第9页，共26页

说明：在自变量的同一变化过程中，如果/（X）为无穷大，则」一为无穷小；反之，如

/（%）

果/1（%）为无穷小且/1（x）wo,则-----为无穷大.

/（%）

2.无穷小的比较

设。，£均为自变量同一趋向下的无穷小，且awO,

如果lim2=0,则称尸是比a高阶的无穷小，记作尸=o（a）；

（1）

a

如果则称是比低阶的无穷小;

(2)lim2=8,a

a

(3)如果lim—=cwO,则称尸与a是同阶无穷小;

a

如果lim2=l,则称尸与a是等价无穷小，记作夕~夕;

(4)

a

如果k>0,则称£是关于。的上阶无穷小.

(5)lim4=cw0,

a

3.无穷小的性质

（1）有限个无穷小的和是无穷小.

（2）常数与无穷小的乘积是无穷小.

（3）有限个无穷小的乘积是无穷小.

（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设a,B,a',

，均为自变量同一趋向下的无穷小，且a〜/，B~5，limg存在，则

a

lim—=lim—（lim表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此

aa'

意，不再解释）.

说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记.

xf0时sinx〜犬，可引申为0时，sin0（%）〜0（%）；

第10页，共26页

xf0时tanx〜％,可引申为°(%)—>0时，tan0(%)〜火%)；

%->0时arcsin%〜%,可引申为。(％)-»0时，arcsin(p(x)~(p(x)\

1919

%—0时l-cos%〜/X,可引申为0(%)->0时，l-cos°(%)~/夕(%)；

x->0时+%—1x,可引申为w(%)一^0时，+v(%)—1----夕(％)；

nn

0时e'-l〜％,可引申为e(x)-»0时，e*")-l~o(%)；

%-»0时ln(l+1)〜％,可引申为0(x)-»0时，ln(l+0(%))〜0(%).

三、连续

(一)连续的概念

1.连续的定义

连续性定义(1)：设函数/(%)在点/o的某一邻域内有定义，如果

limAy=lim[/(x+Ax)—f(x)]=0,

Ar70&r->000

则称函数y=/(%)在点％°连续(即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零).

连续性定义(2)：设函数f(%)在点％的某一邻域内有定义，如果lim/(%)=/1(%)，

则称函数y=/(%)在点天连续.

2.左连续、右连续及区间连续

(1)左连续：lim/(%)存在且等于/(%),即/(%()-)=/(公)；

X—迎一

(2)右连续:：lim/(尤)存在且等于/(%),即/(%+)=/(%)；

(3)区间连续：若函数/(%)在区间每一点都连续，则称/(%)为该区间上的连续函数，

或者说函数/(%)在该区间上连续.如果区间包括端点，则函数/(%)在右端点连续是指

左连续，/(%)在左端点连续是指右连续.

说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

第11页，共26页

(二)函数的间断点

1.定义：设函数/(%)在点％0的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：

(1)在X=%0处没有定义；

(2)虽在％=七处有定义，但lim/(%)不存在；

Xf和

(3)虽在1=七处有定义，且lim/(%)存在，但lim/(%)w/(x0),

X—X—

则函数/(x)在点％0为不连续，而点/称为函数/(%)的不连续点或间断点.

2.分类：

(1)第一类间断点：如果/是函数/(x)的间断点，但左极限/(%0-)和右极限/(%()+)

都存在，那么％0称为函数/(x)的第一类间断点./(4-)=/(%+)时称％0为可去间

断点，/(V)。/(V)时称％o为跳跃间断点.

(2)第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.常见的第二类

间断点有无穷间断点和振荡间断点.

(三)闭区间上连续函数的性质

1.有界性与最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最

大值和最小值.

2.零点定理：设函数/(%)在闭区间［4,句上连续，且/(")与/3)异号(即

/(«)-/(/?)＜0),那么在开区间(。,人)内至少有一点J,使得/'(J)=0.

3.介值定理：设函数/(%)在闭区间句上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

/(Q)=A及/s)=3,那么对于A与3之间的任意一个数C,在开区间(。力)内

至少有一点使得/(4)=C(a＜匕＜b).

第12页，共26页

【典型例题】

【例1-1】求复合函数.

X

I-设=求/"(%)]•

l-2x

解：求/[/(九)]就是用/(%)代替X然后化简，得

x

1—2%

/"(%)]=

—

i1—cz,---x----12x—2x1—4x

1-2%

x2,0<x<1工,、

2.设/(%)=，g(%)=e，求/[g(%)].

3x,1<x<2

解：当0We*W1即x<0时，/[g(x)]=(e')2=e2x

当1<e*W2即0<%<In2时，/[g(%)]=3ex,

x<0

故J[g(%)]=

0<x<In2

【例1-2】求函数的定义域.

i./(x)=Jarcsin(2x-1)+ln(l-x).

解：由arcsin(2%—1)可得一1<2%—1<1,即由Jarcsin(2%-1)可

得arcsin(2%—1)20,即0<2%—141,,<%<1；由可得1一%>0,

2

即无<1,故原函数的定义域为三部分的交集，即

2./(x)=—7—~~-——Farccos(2-x).

厂-x―2

解：由一%—1可得%—120,即％21；由尤之一%—2。0即(%+1)(%—2)。0可

得工。一1且%。2；由arccos(2—％)可得一1<2—]<1,1<%<3

第13页，共26页

故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)U(2,3].

【例1-3】判断函数的奇偶性.

1.设/(X)和g(x)为任意函数，定义域均为(-8,+8),试判定下列函数的奇偶性.

⑴/(%)+/(-%)+g(%)+g(r)

解：由奇偶性的判定可知，/(1)+/(一％)与g(x)+g(一%)均为偶函数，故其和亦为

偶函数.

(2)f(X)-f(-X)+g(X)+g(-X)

解：由奇偶性的判定可知，/(%)一/(一%)为奇函数，g(%)+g(一%)为偶函数，故其

和为非奇非偶函数.

2.判定函数/(%)=ln(%+Jr2+1)的奇偶性.

解：因/(一%)=ln(-x+J(-%)2+1)=In(—％+\lx2+1)

=In/,1：----=-ln(J%2+1+x)=-f(x),故原函数为奇函数.

J/+i+x

【例1-4]计算下列极限.

[./1zn.

i.]im(——H——+•••-!——).

…nnnr

解：当〃foo时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算:

—n(l+n)

lim(42n.1+2d----vn]_

一)=hm-------；-----=lim-——；——

n~"78-”f8-

”f8nnn2

2.lirn(-1■•+

EV«2+l

并且

.几.ri

lim—.=1,lim—.=1,故原极限值为1.(夹逼准则)

…6+”…6+]

第14页，共26页

22

3.lim(l+-+—/.

5nn

r\r\Q)QQI/〃(2〃+2)

解：lim(l+4+W)”=lim(l+^^)"=lim(l+^^)G^^=e2.

-nn~"-8n~-n~

2«-3

4.lim(-------).

…2〃+l

解：=lim(l+------r=lim(l+——)2n+1=^2.

"T82〃+l"f82〃+l"f82〃+l

【例1-5］计算下列极限.

sinx

i.lim-----.

Xf8X

1

解：当X-»OO时，一为无穷小，sm%虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有

x

sinx八

界函数的乘积仍为无穷小，可得hm-----=0.

…x

.1

说明：本极限与hmxsm一意义是一样的.

XT0%

X+厂+••,+x〃一〃

2.lim

x-1

x+x~2+,••+xn—n[.x—1+x2—1+,•,+—1

解：lim=lim-----------------------------

XT1x-13X-1

=lim[l+(x+1)+(%2+x+1)+・,,+(x"।+x"2+・・・+x+1)]

♦-cn(n+\)

—1+2+3+・・・+〃=---------・

2

说明：此题也可用洛必达法则(见第三章)求解，过程如下:

「x+x~+••,+xn—n

lim----------------------=1叫(1+2%+…+加1)=〃(〃+D

fx-1

第15页，共26页

3.lim郊0

x->03%

解：因当xf0时，sin(ev-1)-ex-1,ex-x,

故lim型3=limU

xfO3x3%3

说明：本题可以使用洛必达法则求解如下:

sin(eA-1)cos(^x-1)-ex1

lim------------=lim------------------=—

x->03%xf033

exesinx

4.lim—

xf°x-sinx

xsinxsinxzx-sinx

e_e

解：lim-----------=lim--------------=1(x->0时，e*finx-%—sin%).

i°%—sin%i°x-sinx

3+x

5.lim(

X->cc2+x

3+x11(2+x).尹

解：lim()2%=lim(14)2A=lim(14)2+x—

Xfoo2+xXT82+xx->oo2+x

6.lim(sin—+cos—)'

Xf8XX

A(sin-+cos--l)

XX

sin—+cos——1

x

解：lim(sin—+cos=lim[l+(sin—+cos--1)]xx

X->8XXX->00XX

.11,__1_

sin—4-cos——1sin—cos—1

lim%」lim--^-+lim———1+lim平

*->8]

XT00X—>oo_£x—><x)_£

(X(xxx

3

/U)-2x=2,lim^^=3,求/(x).

【例1-6］已知f(%)是多项式,且lim

XTQOxrO%

解：利用前一极限式可令/(%)=2三+2%2+办+。,

第16页，共26页

再利用后一极限式，得3=lim1^=lim(a+2),则a=3,b=0,

A->0%xf0x

故/(x)=2V+2x2*7+3%.

【例1-7】当x-»0时，比较下列无穷小的阶.

1.比1-cosX.

fX2

解：因lim-------=lim-——=2,故x?与1-cosX是同阶无穷小.

1-cosx1

xf0io——X2

2

2./比Jx+1—1.

解：因lim-=iimJ=0,故「是比J^+l—1高阶的无穷小.

Vx+1-l5j_y

2

3.,\/1+%—yj1—%比%.

.J1+%-J1-%.(J1+%-J1—%)(J1+%+J1—%)

解：因hm-------------=lim-----------7•二j_=----------

z%5x(\Jl+x+\Jl-x)

2%________

=lim---,------->----=1,故Vl+x-y11-x与％是等价无穷小.

1。x(vl+x+\/l-x)

2'・

4.x比tan%—sinx.

X~2..X2COSXX2

解：因lim----------=lim-------------=lim——----=oo,

•^0tanx-sinx…sin%(l-cos%)…2

X'1X

7・

故％一是比tan%-sin%低阶的无穷小.

说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解.

【例1-8］讨论下列分段函数在指定点处的连续性.

0<x<l

1./(%)=<1,x=l在X=1处的连续性.

1+x,%>1

第17页，共26页

解:因/⑴=1,f(V)=lim/(x)=lim2Vx=2,

x->rx->r

/(1+)=lim/(x)=lim(l+x)=2,从而lim/(x)=2w/(I),故函数在

Xf+XT1+Xfl

x=\处不连续.

'J

2./(x)=<在x=0处的连续性.

[ln(l+x),x>0

解：因，(0)=0,/(0~)=limf(x)=limex=0,

xf(rX7(T

/(0+)=limf(x)=limln(l+x)=0,从而lim/(%)=0=/(O),故函数在

X—+X-M+XT0

x=0处连续.

2x-a,x<0

【例1-9】当常数。为何值时，函数/(%)=1ln(l+X)在x=O处连续？

---------,%〉0

、%

解：因/(O)=-a,/(O-)=lim/(x)=lim(2x-a)=-a,

x-^rx-»o-

/(O')=lim/(x)=limI"[+「).=lim—ln(l+x)=limln(l+x)v=1,

x->0+XTO+XXT。+Xx-»O+

故由连续性可得，/(O)=/(O')=/(O),即一a=l,故a=-1.

【例i-io]求下列函数的间断点并判断其类型.

1.fM=ex.

解：所给函数在x=0处无定义，故％=0是间断点.又lime，=+oo,limex=0,

10+Xf0一

故％=0是/(1)的第二类间断点.

、X

2-/(X)=--.

sinx

解：所给函数在％=%〃(4=0,±1,±2,•-)处无定义，故％=0、x=kji

第18页，共26页

x

(左=±1,±2,•-)是间断点.又lim----=1,故犬=0是第一类间断点，且是可去

sosinx

间断点；lim----=oo,故兀二是第二类间断点，且是无穷间断点.

xfkxsinx

3./(x)=--

ex+1

ex-1

解：所给函数在X=0处无定义，故％=0是间断点.又/'(()+)=lim1——=1,

x->0+-

ex+1

_e'—1

/(O-)=lim—~-=-1,故％=0是/(%)的第一类间断点且是跳跃间断点.

xf(r-

ex+1

1八

arctan-,xwO

4./(%)=<x

0,x=0

解：该题是分段函数的连续性问题，因％wO时arctan一是初等函数，故arctan一在

xx

Xw0时是连续的，所以该题主要考虑分界点X=0处的连续性.

由/(0+)=limarctan—=—,/(0")=limarctan—=—,可知x=0是

D+X2Xf。-%2

/(%)的第一类间断点且是跳跃间断点.

【例1-11］证明方程％3—4%2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根.

证：函数/(x)=三一4/+1在闭区间［0,1］上连续，又/(0)=1>0,

/(1)=-2<0,根据零点定理，在(0,1)内至少有一点J,使得/(4)=0,即

-4^2+l=0该等式说明方程％3—4/+1=0在区间(0,1)内

至少有一个根是J.

第19页，共26页

【例1-12］证明方程1•2*=1至少有一个小于1的正根.

证：由题意，函数/—1在区间［0,1］上连续，又/（0）=—1<0,

/（I）=1>0,根据零点定理，在（0,1）内至少有一点J,使得/（。）=0,即

^■2^-1=0（0<^<1）,该等式说明方程X•2、=1在区间（0,1）内至少有一个小

于1的正根J.

【历年真题】

一、选择题

r2x+1

i.(2oxx年，1分)函数y一arccos；—的定义域是()

(A)[-3,1](B)[-3,-1](C)[-3,-1)(D)[-1,1]

1-尤-°f-1<X<1-1<X<1

解：因一1(£±1<1'故1一2<%+”2所以

-3<x<1

-1<X<1,故选(D).

sin3%

2.（2oxx年，1分）极限hm----等于（）

5x

(A)0(B)1(C)-(D)3

3

sin3%3x,

解：lim-----=lim—=3,故选(D).

x-*0%x-»0%

3.(2oxx年，i分)极限hm------------=()

"78n

(A)1(B)0(C)00（D）不存在

第20页，共26页

r几+(—1)〃rri(—1)",(-1)"1c1

解：lim--------=hm[l+-----]=l+hm-----=1+0=1,故选(A).

877—>QO几W—>00几

x-1,x<0

4.(20XX年，1分)若/(%)=<0,%=0,则lim/(x)=()

x->0

x+1,x>0

(A)-1(B)0(C)1(D)不存在

解：因lim/(x)=lim(x-l)=-1,lim/(x)=lim(x+l)=1,

x->0-x->0-Xfo+ao+

lim/(x)lim/(x),故lim/(x)不存在，选(D).

x-»0-xf0+zO

JIx

5.（20XX年，1分）%=一是函数丁=------的（）

2tanx

（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点

X71X

解：因lim----=0,故尤=一是函数）=------的可去间断点，选（B）.

X—>—tanx2tanx

2

6.(2oxx年，3分)设/(x)=xsin—,则lim/(%)等于()

V-X—>00

(A)0(B)不存在(C)00(D)1

.1

1sin—

解：lim/(%)=limxsin—=lim—产=1,故选(D).

XT8XT8YX->81

X

7.（2oxx年，3分）当x->0时，3/是sin?1的（）

（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价

（C）低阶无穷小（D）等价无穷小