第22章《二次函数》教案

18-第二十二章二次函数第页22教学目标1．使学生理解并掌握二次例函数的概念2．能判断一个给定的函数是否为二次例函数，并会用待定系数法求函数解析式3．能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式，体会函数的模型思想教学重点理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式教学难点理解二次例函数的概念.课堂教学程序设计讨论完善1、知识回顾⑴．一元二次方程的一般形式是什么？⑵．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的2、合作学习，探索新知:问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,那么y与x的关系可表示为?y=6x2问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?d=问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?y=20x2+40x+20观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?经化简后都具有y=ax²+bx+c的形式,(a,b,c是常数,a≠0).我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项;b为一次项系数，bx叫做一次项;c为常数项.又例：y=x²+2x–3(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？3、巩固练习:1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1;(2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2;(4)y=2x2-2x+1;(5)y=x2-x(1+x);(6)y=x-2+x.2.做一做:（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．4、随堂练习:1、P41练习1，2作业设计教科书P41：1、2教学反思22.1.2二次函数教学目标1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握y=ax2型二次函数图像的特征；4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像。课堂教学程序设计讨论完善一、回顾知识前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。）引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。因此本节课要讨论二次函数（）的图像。板书课题：二次函数（）图像二、探索图像1、用描点法画出二次函数和图像（1）列表引导学生观察教材中的表，思考问题：①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？②当x取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？（2）描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）（3）连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。2、教学例1：在同一坐标系中，画出函数的图像。完成第五页思考。3、探究：在同一直角坐标系中画出二次函数的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。学生画图像，教师巡视并辅导学困生。4、小结二次函数（）的图像由上面的四个函数图像概括出：（1）二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，（2）这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。（3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。（4）当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的下方(除顶点外)。练习：1.课本第32页练习。作业设计教科书P41：3、4教学反思22.1.2二次函数教学目标1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。教学重点会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系教学难点正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系课堂教学程序设计讨论完善一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题例2在同一直角坐标系中，画出二函数的图象并加以比较.思考：（1）抛物线的开口方向、对称轴、顶点个是什么？（2）抛物线与抛物线有什么关系？问题：函数y＝2x2向上平移5个单位，会得到那条抛物线？向下平移3.4个单位呢？观察的图像完成填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．三、做一做在同一坐标系中画出下列二次函数的图像：观察三条抛物线的相互关系，分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点。根据结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝eq\f(1,2)x2得到抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋2和y＝eq\f(1,2)x2－2?（3）试说出函数y＝eq\f(1,2)x2，y＝eq\f(1,2)x2＋2，y＝eq\f(1,2)x2－2的图象所具有的共同性质小结：说出+k的开口方向、对称轴、顶点。作业设计P33练习教学反思22.1.2二次函数y＝a(x—h)教学目标1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。教学重点会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系教学难点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系课堂教学程序设计讨论完善一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数的图象，并回答：(1)三条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数的图象，并加以观察)问题2：现在你能回答前面提出的问题吗?2．让学生分组讨论，交流合作，达成共识：函数的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数的图象可以看作是函数的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)；函数的图象可以看作是函数的图象向左平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝-1，顶点坐标是(-1，0)；问题3：你可以由函数的性质，得到函数的性质吗?当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。问题4：在同一直角坐标系中，函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2图象与函数y＝－eq\f(1,3)x2的图象有何关系?(函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－eq\f(1,3)x2的图象向左平移2个单位得到的。)问题6：你能说出函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y＝－eq\f(1,3)(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。问题7：你能得到函数y＝eq\f(1,3)(x＋2)2的性质吗?教学要点让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。四、课堂练习已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4(x＋1)2和函数y＝4(x－1)2的图象，(4)分别说出各个函数的性质．作业设计教科书P35：练习教学反思22.1.3二次函数y＝a(x—h)教学目标1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。2．会确定函数y=a(x－h)2＋k图象开口方向、对称轴和顶点坐标。3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。教学重点确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。教学难点正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。课堂教学程序设计讨论完善一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的)3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、试一试例3画出函数图像，指出它的开口方向、对称轴、顶点。怎样移动抛物线就可以得到抛物线？学生作图，观察。问：还有其他平移方法吗？三、做一做你能说出函数y=－eq\f(1,3)(x－1)2＋2的图象与函数y=－eq\f(1,3)x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y＝－eq\f(1,3)(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－eq\f(1,3)x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)作业设计教科书P37：练习教学反思22.1.4二次函数教学目标1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2．熟记二次函数的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式的图象．教学重点确定二次函数一般式的顶点坐标、对称轴、及开口方向教学难点把二次函数一般式通过配方的到顶点式y＝a(x—h)2+k课堂教学程序设计讨论完善一、知识链接：1.抛物线的顶点坐标是；对称轴是直线；当=时有最值是；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。2.二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：的顶点坐标是，对称轴是.（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.[来源:数理化网]（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①②③（5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式：，因此抛物线的顶点坐标是；对称轴是，[来源:数理化网]（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。①②③（二）、用描点法画出的图像.（1）顶点坐标为；（2）列表：顶点坐标填在；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）…[来源:]……[来源:]（3）描点，并连线：（4）观察：①图象有最点，即=时，有最值是；②时，随的增大而增大；时随的增大而减小。[作业设计教科书P40：练习教学反思

22.2用函数观点看一元二次方程教学目标1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。教学重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。教学难点二次函数与x轴交点个数与一元二次方程的根的个数之间关系。课堂教学程序设计讨论完善（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程15＝20t—5t2。t2—4t＋3=0。t1＝1,t2＝3。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。（2）解方程20＝20t－5t2。t2－4t＋4＝0。t1＝t2＝2。当球飞行2s时，它的高度为20m。（3）解方程20.5＝20t－5t2。t2－4t＋4.1＝0。因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.（4）解方程0＝20t－5t2。t2－4t＝0。t1＝0,t2＝4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案。从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0）。反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋0。的图象如图26.2－2所示。（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解。可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1。（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x＝3时，函数的值是0。由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3。（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）。解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7。所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7。作业设计教科书P47：1—6教学反思22.3实际问题与二次函数教学目标通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能对变量的变化趋势进行预测。教学重点重点是解决与二次函数有关的实际应用题。教学难点二次函数的应用。课堂教学程序设计讨论完善一、课堂引入用总长60米的篱笆为成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长变化而变化，。当L是多少时，场地的面积最大？（二）知识探究探究1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多买出18件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况。我们先来看涨价的情况。（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为（60＋x）（300－10x）元，买进商品需付40（300－10x）元。因此，所得利润y＝（60＋x）（300－10x）－40（300－10x），即y＝－10x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤30。（怎样确定x的取值范围？）根据上面的函数，填空：当x＝_____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价________元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是_______。怎样确定x取值为多少时，y的值最大呢？小组讨论得到：①画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。②依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值。（2）在降价的情