数逻(刘培植)-第01章-数制与编码B

数字电子

与逻辑设计

计算机科学与技术系

陈舵联系方式联系方式：

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邮箱：chenduotd@126.com预祝大家学习愉快、成绩优良！2课程特点：逻辑性强实践性强发展迅速学习目的：后续基础逻辑思维步入数字领域学习方法：理论实践结合，注重课堂学习，掌握学习技巧，持之以恒先修课程：电路分析、模拟电子技术后继课程：组成原理、体系结构、单片机技术3学时分配上课实验习题课机动总计46学时10学时4学时4学时64学时4分数比例项目出勤作业实验考试次数5551分数51510705第1章数字技术基础模拟信号与模拟电路模拟信号：模拟信号是时间连续、数值也连续的物理量。处理模拟信号的电路为模拟电路。tu正弦波信号锯齿波信号tu7数字信号与数字电路数字信号：数字信号是时间和幅值都离散的物理量。tu8数字信号与数字电路数字信号在时间和数值上均离散；用逻辑0和逻辑1表示，即二值数字逻辑，或简称数字逻辑。在电路中，用电子器件的开关特性来表示二值数字逻辑，由此形成离散信号电压或数字电压。这些数字电压通常用逻辑电平表示。数字电路研究：输入与输出的逻辑关系9第1章数字技术基础1.1数制与编码1.2逻辑代数基础1.3逻辑函数及其表示方法1.4逻辑函数的简化1.1.1十进制数的表示数制(NumberSystem)是人类表示数值大小的各种方法的统称。用一组统一的符号和规则表示数的方法，称为进位计数制，简称进位制。大家熟悉的十进制，就是一种典型的进位计数制。11以十进制为例，介绍几个概念

0~9这些数字符号称为数码。全部数码的个数称为基数(Radix)

或基(Base)例如：十进制的基数为10用“逢基数进位”的原则进行计数例如：十进制的计数原则是“逢十进一”不同位数上的固定常数称为权(power)，它是该位上单位数字代表的数值。权与基数的关系是：权等于基数的若干次幂。12按权展开表示法

(1234.56)10=

1×103+2×102+3×101+4×100+5×10-1+6×10-2(N)10=(a

n-1

an-2…a1

a0.a-1

a-2…a-m)10

任意一个10进制数(N)10可以表示为：13按权展开表示法(N)r=(a

n-1

an-2…a1

a0.a-1

a-2…a-m)r

任意一个r进制数N可以表示为：14计数制数码基数举例十进制0~910(123)10（456.321）D二进制0、12(1010)2(1001.101)B八进制0~78(567)8(745.217)O十六进制0~9、A~F16(2A2B)16(1B3.EC)H常用计数制

B(Binary)、O(Octonary)、D(Decimal)、

H(Hexadecimal)151.1.2不同数制间的转换1.十进制与非十进制之间的转换2八、＋六进制数与二进制数的转换

161.非十进制十进制

即{2，8，16}

{10}方法：按权值展开法解：(11.01)B=1×21+1×20+0×2-1+1×2-2例1：(11.01)B=(?)D

=(3.25)D（8AF）16=8×162+10×161+15=（2223）1017例1.1.118(101.1)B=(17)8=(1A.8)16=1×22+0×21+1×20+1×2-1=(5.5)D1×81+7×80=(15)D1×161+10×160+8×16-1=(26.5)D练习:将下列进制数转换成十进制192)十进制转换为非十进制即{10}

{2，8，16}方法：基数乘除法整数：除基取余，直至商0，余数倒序排小数：乘基取整，直至小数为0或满足精度，整数正序排20【例】将十进制数(26)10转换为二进制数。

(26)10=十进制数→非十进制数(整数)262130261230211201(11010)2

21十进制数→非十进制数(纯小数)将(0.8125)10转换成二进制数所以：(0.8125)10=(0.1101)2【例】×)20.251×)20.50×)2010.8125×)20.625122 练习：

将(43.875)D转换成二进制、八进制、十六进制4322112101250221210201(43)D=(101011)B4385380543D=(53)84316211160243D=(2B)16解:先计算整数部分23在计算小数部分:(0.875)D转换成二进制、八进制、十六进制

0.875

20.751

20.501

20.01(0.875)D=(0.111)B0.875

87.07

0(0.875)D=(0.7)80.875

1614.0E

0(0.875)D=(0.E)160.875

1614.0E

024252八进制数、＋六进制数与二进制数的转换八进制数的基数是8，十六进制数的基数为16。二进制数、八进制数和十六进制数之间具有2的整指数倍关系，因而可直接进行转换。将二进制数转换成八进制或十六进制数的方法为：从小数点开始，分别向左、右按3位（转换成八进制）或4位（转换成十六进制）分组，最后不满3位或4位的则需加0。将每组以对应的八进制数或十六进制数代替，即为等值的八进制数和十六进制数。26例:将(1011101.101)2转换为十六进制数

将(3AB.C8)16转换为二进制数。解

:(01011101.101)2(001110101011.11001000)2

(1011101.101)2=(3AB.C8)16==(5D.A)160

=(1110101011.11001)227例:将(1011101.101)2转换为八进制数

将(1653.62)8转换为二进制数。解

:(001011101.101)2(001110101011.110010)2

(1011101.101)2=(1653.62)8==(135.5)8

=(1110101011.11001)2281.1.3二进制编码1.二进制编码(自然和格雷编码)2.二-十进制编码291.二进制编码数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号和字母呢？用编码可以解决此问题。用若干位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。n位码元2n个对象二进制编码可以有很多种编码方式，主要介绍自然二进制编码和格雷码30自然二进制码和格雷码十进制数自然二进制码二进制格雷码十进制数自然二进制码二进制格雷码00000000081000110010001000191001110120010001110101011113001100101110111110401000110121100101050101011113110110116011001011411101001701110100151111100031两位格雷码00110000111100

00000011111111三位格雷码四位格雷码00011110101101000110

100101111110010011001000000001011010110111101100(1)相邻性：任意两个相邻码组间仅有一位码元不同。(2)循环性：首尾两个码组也具有相邻性。(3)反射性：最高位互补反射、其余位镜像对称

32格雷码格雷码：在一组数的编码中，任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同。编码规则：例如：13的格雷码：1101332.二-十进制编码在计算机中，十进制数除了换算成二进制数外，还可以直接用来输入和输出。将十进制的各位数码，分别用4位二进制数码来表示，这种方法称为十进制数的二进制编码，简称二-十进制码(BCD码,

Binary-CodedDecimal)常用的有：8421码、2421码、余3码341.8421码(有权码)用4位二进制数表示一位十进制数，从左到右权值依次为8、4、2、1。特点：排列规律自然，对应关系唯一。不允许出现1010，1011，1100，1101，1110，1111十进制数8421码00000100012001030011401005010160110701118100091001352.2421码(有权码)用4位二进制数表示一位十进制数，从左到右权值依次为2、4、2、1。例如：2421码“1011”展开式为：1×2+0×4+1×2+1×1=5362.2421码(有权码)十进制数8421码2421码000001000120010300114010050101601107011181000910010001000000100011010010111100110111101111前5不变后5加6373.余3码(无权码)余3码由8421码加3所得。十进制数8421码余3码00000100012001030011401005010160110701118100091001001101000101011001111000100110101011110038BCD码——8421码、余3码、2421码数字符号8421码余3码2421码0000000110000100010100000120010010100103001101100011401000111010050101100010116011010011100701111010110181000101111109100111001111加3前5不变后5加6前5减3，后5加3392.二-十进制编码格雷BCD码选用4位格雷码的前9个编码，再选1000作为d第10个编码组成。余3格雷BCD码选用4位格雷码的第4到13个编码构成的BCD码。40第1章数字技术基础1.1数制与编码1.2逻辑代数基础1.3逻辑函数及其表示方法1.4逻辑函数的简化1.2逻辑代数基础1.2.1逻辑变量与逻辑运算1.2.2复合逻辑运算1.2.3逻辑代数的基本定律和基本规则1.2.4逻辑代数的常用公式1.2.5正逻辑与负逻辑421.几个概念逻辑变量和常量：用字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值为1或0，1或0为逻辑变量。原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑函数：如果输入逻辑变量A、B、C∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量F的值也被唯一确定，则称

F是A、B、C∙∙∙的逻辑函数。并记作：432.基本逻辑运算基本逻辑运算有与(and)、或(nor)、非(not)3种，任何复杂的运算都可由这3种基本逻辑运算来实现。逻辑门是构成逻辑电路的基本组件，基本逻辑门电路为与门、或门和非门。44(1)与逻辑运算定义：当且仅当决定事件发生的条件全部具备时，该事件发生。也称逻辑乘。45逻辑与真值表ABF000110110001真值表是表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格，即将输入信号所有的取值组合与对应的输出结果通过表格的方式全部列出。46与门的逻辑符号国标曾用美国47(2)或逻辑运算定义：当决定事件发生的多个条件中有一个或一个以上具备时，该事件发生。又称逻辑加。48逻辑或真值表ABF00011011011149或门的逻辑符号国标曾用美国50

(3)非逻辑运算定义：决定事件发生的条件只有一个，当条件具备时，事件不发生，条件不具备时，事件发生。又称为“反相”运算或称逻辑反。51逻辑非真值表AF011052非门的逻辑符号国标曾用美国531.2逻辑代数基础1.2.1逻辑变量与逻辑运算1.2.2复合逻辑运算1.2.3逻辑代数的基本定律和基本规则1.2.4逻辑代数的常用公式1.2.5正逻辑与负逻辑541.与非逻辑运算(NAND)ABF0010111011101110552.或非逻辑运算(NOR)ABF0010101001101000563.与或非逻辑运算(AND–OR–INVERT)57与或非逻辑真值表ABCDFABCDF00001100010001110011001011010100110101100100111000010111101001101111000111011110584.异或逻辑运算(XOR)异或逻辑运算：输入不同时事件为真；相同时事件为假。ABF0000111011100110595.同或逻辑运算(NXOR)同或逻辑运算：输入相同时事件为真；不同时事件为假。ABF0010101001111001606.门电路的符号611.2逻辑代数基础1.2.1逻辑变量与逻辑运算1.2.2复合逻辑运算1.2.3逻辑代数的基本定律和基本规则1.2.4逻辑代数的常用公式1.2.5正逻辑与负逻辑621.逻辑代数的基本定律(布尔恒等式)1交换率2结合率3分配率4吸收率50-1率6互补率7重叠率8对合率

9反演率

A+B=B+A

AB=BA

A+(B+C)=(A+B)+C

A(BC)=A(BC)

A(B+C)=AB+AC

A+AB=A

A(A+B)=A

A+1=1,A+0=A

A·0=0,A·1=A

A+A=A

A·A=AA+BC=(A+B)(A+C)632.逻辑代数的基本规则(1)代入规则(2)反演规则(3)对偶规则64

(1)代入规则任何一个含有变量X的逻辑等式中，如果将等式中所有出现X的位置都用一个逻辑表达式F替代，则等式依然成立。解：根据代入规则，用(B+C)代替原式中B,即：65(2)反演规则对于一个逻辑表达式F，如果将F中的所有“•”变为“+”，“+”变为“•”，“1”变为“0”，“0”变为“1”，原变量变反变量，反变量变原变量，运算顺序保持不变，即可得到原表达式的反(非)表达式F。解:66(3)对偶规则将逻辑表达式F中的所有“·”变为“+”，“+”变为“·”，“1”变为“0”，“0”变为“1”，，得到一个新的逻辑表达式F',称为F的对偶式(注意：原变量和反变量不变换)。如果两个函数相等，则对应的对偶式也相等。671.2逻辑代数基础1.2.1逻辑变量与逻辑运算1.2.2复合逻辑运算1.2.3逻辑代数的基本定律和基本规则1.2.4逻辑代数的常用公式1.2.5正逻辑与负逻辑681.2.4逻辑代数的常用公式(1)(2)(3)(4)(5)合并相邻项公式消去互补因子公式多余项或扩展项公式若两乘积项中部分因子互补，则其余因子组成的乘积项可消去，异或非等于同或691.2逻辑代数基础1.2.1逻辑变量与逻辑运算1.2.2复合逻辑运算1.2.3逻辑代数的基本定律和基本规则1.2.4逻辑代数的常用公式1.2.5正逻辑与负逻辑701.2.5正逻辑与负逻辑在数字电路中，若高电平用逻辑“1”表示，低电平用逻辑“0”表示，则称“正逻辑”；反之为“负逻辑”。同一个逻辑门电路，在不同逻辑定义下，实现的逻辑功能不同。本课程中，若不特别说明，均采用正逻辑。71第1章数字技术基础1.1数制与编码1.2逻辑代数基础1.3逻辑函数及其表示方法1.4逻辑函数的简化1.3.1逻辑函数逻辑函数分为两个大类：组合逻辑函数、时序逻辑函数。本节介绍组合逻辑函数。1.3.2

组合逻辑函数的表示方法四种表示方法：逻辑函数、真值表、

逻辑图、卡诺图731.3逻辑函数及其表示方法

1.3.1逻辑函数1.3.2逻辑函数的表示方法1.3.3逻辑函数的两种标准表达式741.3.3逻辑函数的两种标准表达式标准与或式，或称最小项表达式

要求掌握标准或与式，或称最大项表达式，

只要求了解75(1)最小项的概念是一种特殊的与项：该项中逻辑函数的所有变量都要以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。1.最小项及最小项表达式76(2变量函数共有4个最小项)(4变量函数共有16个最小项)……(3变量函数共有8个最小项)（2）最小项的数量

所以：n变量函数共有2n

个最小项77（3）最小项的编号：与最小项对应的变量取值(对应规律：原变量1

反变量0)的二进制数即为该最小项的编号，用mi表示。0000010100111001011101110

1234567m0m1m2m3m4m5m6m778例：已知四变量函数F(A,B,C,D)

，则BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。79(2)最小项的主要性质①对于任意一组变量取值，只有一个最小项的值为1，其他为0;0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC80③全部最小项之和恒等于1。

即：②任意两个最小项的乘积恒等于0。

即：

811.最小项及最小项表达式(3)最小项表达式、标准“与或”表达式逻辑函数的与或式表达式中，若全部与项都是最小项，则该表达式称为标准与或式或最小项表达式。将非标准与或式化为最小项表达式的方法：

配全项法——利用公式：82化为最小项表达式

83例：用列真值表法将F(A,B,C)=AB+BC写成最小项表达式ABCF00000010010001111000101011011111解：列真值表：F=

ABC+AB

C+ABC

=∑m(3,6,7)

结论：最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取值组合所对应的各最小项之和。842.最大项及最大项表达式最大项的定义：是一种特殊的或项，该项中逻辑函数的所有变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。编号对应规律：原变量→0，反变量→1其中，M表示最大项，5表示最大项的编号例：已知三变量函数F(A,B,C)

，则A+B+C就是一个最大项，通常写成M5。(101)2

(5)10

A+B+C

85例：已知四变量函数F(A,B,C,D)

，则B+C+A

+D

就是一个最大项，其最大项编号为多少？解：把最大项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得A+B+C+D，从而得(0111)2，即(7)10。所以，此最大项的编号为7，通常写成M7。86最大项的数量和编号最大项的数量：2n最大项的编号：把与最大项对应的变量取值(对应规律：原变量→0，反变量→1)当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用Mi表示。87变量的各组取值ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1对应的最大项及其编号最大项编号例：三变量函数的最大项：编号规则:原变量取0,反变量取1。88(2)最大项的主要性质①对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为0。

ABC00010011010101111001101011011111M589(2)最大项的主要性质②任意两个最大项的和恒等于1，即：③全部最大项之积恒等于0，即:90(3)最大项表达式、标准“或与”表达式如果一个逻辑函数表示为最大项之积形式，则称标准最大项表达式、标准或与表达式。将非标准与或式化为最大项表达式的方法：

配全项法——利用公式：91化为最大项表达式

92由真值表推导最大项表达式最大项表达式是真值表中所有使函数值为0的取值组合所对应的各最大项之积。ABF001010101110最大项表达式：

=M1·M3F(A,B)=(A+B)·(A+B)933.最大项与最小项之间的关系mi和Mi互补，即：(1)编号相同的最小项和最大项互补。

例如：943.最大项与最小项之间的关系(2)以m个最小项之和表示的n变量函数F，其反函数可用M个最大项之积表示，这M个最大项的编号与m个最小项的编号完全相同。95第1章数字技术基础1.1数制与编码1.2逻辑代数基础1.3逻辑函数及其表示方法1.4逻辑函数的简化最简与或式化简的意义（目的）：

节省元器件；提高工作可靠性化简的目标：

最简与或式最简“与或”式的标准：

(1)含的与项最少－－门最少

(2)各与项中的变量数最少－－门的输入端最少971.4逻辑函数的化简

1.4.1代数化简法1.4.2卡诺图化简1.4.3具有任意项和约束的逻辑函数及其简化981.合并项法利用合并相邻项公式:例1.4.1化简函数：方法2：992.吸收法利用“合并相邻项公式”或“多余项(扩展项)公式”将多余项消去。扩展：1002.吸收法【例1.4.2】化简函数：解：1013.消因子法利用消去互补因子公式例1.4.3：化简解：（反演规则）1024.配项法将某乘积项乘以拆成两项，或者利用增加BC项，例1.4.4：化简解：103104或与式化简—对偶规则例1.4.6化简函数为最简或与式。吸收率多余项互补因子再次求对偶式解：求对偶式1051.4逻辑函数的简化

1.4.1代数简化法1.4.2卡诺图化简1.4.3具有任意项和约束的逻辑函数及其简化1061.4.2卡诺图化简1.卡诺图的构成2.逻辑函数的卡诺图表示方法3.用卡诺图合并最小项的规则4.卡诺图化简步骤1071.卡诺图的构成卡诺图是真值表的图形化表示方法，由美国工程师卡诺(Karnaugh)提出。将真值表中的变量分成两组，构成两维图表。行、列的取值组合按循环码顺序排列。n个逻辑变量组成2n个方格，每个方格对应一个变量组合的最小项(或最大项)。108构成方法:ABF0000111001110011001BA1如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。109二变量卡诺图(4个最小项)mo

m2m1

m30 101ABAB0 101110三变量的卡诺图(8个最小项)CAB01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻不是循环码紧挨着（位置相邻）行或列的两头（头尾相邻）对折起来位置重合（对称相邻）（仅适合大于或等于5变量的卡诺图）m0m2m4m6m1m3m5m7逻辑不相邻111四变量的卡诺图：十六个最小项CDAB0001111000011110m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14几何相邻几何相邻112五变量的卡诺图(不要求)：DEABC00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14m24m28m16m20m25m29m17m21m27m31m19m24m26m30m18m22几何相邻三十二个最小项n≥5变量的卡诺图，可由n－1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。1131.4.2卡诺图化简1.卡诺图的构成2.逻辑函数的卡诺图表示方法3.用卡诺图合并最小项的规则4.卡诺图化简步骤1142.逻辑函数的卡诺图表示方法(1)最小项表达式的卡诺图表示将表达式中的每个最小项在对应的卡诺图的小格内填1，其余位置填0(2)最大项表达式的卡诺图表示将表达式中的每个最大项在对应的卡诺图的小格内填0，其余位置填1115000111100026411375ABC0001111001ABC(1)最小项表达式的卡诺图表示111100001160001111000010ABC(2)最大项表达式的卡诺图表示000111100026411375ABC00001111117(3)非标准表达式的卡诺图表示方法1:先把一般表达式转换为标准表达式，然后再填卡诺图。方法2：按真值表填写。118例1.4.9（方法一）0001111000011110ABCD1111111100000000将函数用卡诺图表示119例1.4.9（方法二）0001111000011110ABCD1111111100000000将函数用卡诺图表示120非标准“或与式”的卡诺图表示0001111001ABC0000001111211.4.2卡诺图化简1.卡诺图的构成2.逻辑函数的卡诺图表示方法3.用卡诺图合并最小项的规则4.卡诺图化简步骤122(1)化简原理C01111AB10001111011卡诺图上逻辑相邻的最小项只有一个变量互为反变量，可以利用合并相邻项公式:AB+AB=A化简。被合并的最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。123①圈2格，可消去1个变量

000010011010110100CAB000011001010110100

CAB(2)合并的规律

124②圈4格，可消去2个变量

001110011010110100

CABF=A000011111010110100

CABF=C

100111001010110100CABF=B

12501101001101101100101100010110100

CD

AB

10011010011110010110010010110100

CD

AB

③圈8格，可消去3个变量；F=B

F=B

结论：圈2i

个相邻最小项，可消去i

个变量;126CDAB0001111000011110不是矩形无效圈示例1127CDAB0001111000011111111111111101没有新变量.无效圈.无效圈示例21281.4.2卡诺图化简1.卡诺图的构成2.逻辑函数的卡诺图表示方法3.用卡诺图合并最小项的规则4.卡诺图化简步骤1294.卡诺图化简最简与或式的步骤(1)将需要简化的逻辑函数填入卡诺图(2)使用圈“1”的方法合并最小项。合并的原则有以下几点：①以最大的方形或矩形圈将相邻的1格圈出，圈的格数必须为2i②所有的1格必须圈到，且圈的个数应最少。③1格可以重复圈用。④如果某一个合并圈中所有1均被其他合并圈圈过，则该圈为冗余圈，可以去掉。(3)每个圈对应一个合并项，将所有的合并项相或即可得到最简的与或式。130例1.4.1100011110001000010101110110101111ABCD为最简与或式。131例1.4.1200011110000100010111111110100010ABCD为最简与或式