人教版高一数学新教材同步配套教学讲义专题01含参数与新定义的集合问题(原卷版+解析)

专题01含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数题型二：根据集合中元素的个数求参数题型三：根据集合的包含关系求参数题型四：根据两个集合相等求参数题型五：根据集合的交、并、补求参数题型六：集合的创新定义【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则（

）A． B．或 C． D．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集，，若，则B等于（

）A． B． C． D．例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知，且，，，则取值可能为（

）A． B． C． D．题型二：根据集合中元素的个数求参数例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合有两个子集，则m的值是__________．例6．（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合．（1）若A是空集，求实数a的取值范围；（2）若集合A中只有一个元素，求集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求的值，并写出此时的集合；（3）若中至少有一个元素，求的取值范围．题型三：根据集合的包含关系求参数例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（

）A．2 B． C． D．0例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合，若，则实数___________．例13．（2022·全国·高一专题练习）集合，，若，则由实数组成的集合为____例14．（2022·上海·高一专题练习）集合，则m＝___．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________．例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．例17．（2022·全国·高一课时练习）已知为实数，，．（1）当时，求的取值集合；（2）当时，求的取值集合．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．例19．（2022·全国·高一）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合，．（1）若，试求；（2）若，求实数的取值范围．例21．（2022·江苏·高一）已知集合．（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若，求实数a的取值范围．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若满足的所有实数构成集合，则____，的子集有____个．题型四：根据两个集合相等求参数例23．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C． D．例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，则______．例25．（2022·全国·高一课时练习）已知，．若，则______．例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数_______题型五：根据集合的交、并、补求参数例27．（2022·全国·高一课时练习）设，，全集，，或，则______．例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M={1，2，3}，，若，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1或2例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例30．（2022·全国·高一）设全集，集合，，则实数的值为（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，或，若，求实数a的取值范围．例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，或．（1）若，求实数m的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合，．（1）若，求实数m的取值范围；（2）当集合A中的时，求集合A的非空真子集的个数；（3）若，且不存在元素x，使得与同时成立，求实数m的取值范围．例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．（1）若，，求实数m的取值范围；（2）若或，，求实数m的取值范围．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．（1）若集合，且，求的值；（2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，或．（1）若，求实数m的取值范围；（2）若，求实数m的取值范围．例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合，，且，则______，______．题型六：集合的创新定义例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A，B都是非空集合，且．若，，则（

）A． B．C．或 D．或例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B中元素的个数为______．例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B，且满足Q，，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素．请给出一组满足A中无最大元素且B中无最小元素的戴德金分割______．例42．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．（1）若，求出A中其他所有元素．（2）0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？例43．（2022·上海·高一专题练习）已知集合为非空数集，定义：，．（1）若集合，求证：，并直接写出集合；（2）若集合，，且，求证：．例44．（2022·全国·高一单元测试）给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合．（1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明；（2）若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；（3）若集合C，D为闭集合，且，，证明：．专题01含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数题型二：根据集合中元素的个数求参数题型三：根据集合的包含关系求参数题型四：根据两个集合相等求参数题型五：根据集合的交、并、补求参数题型六：集合的创新定义【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集，，若，则B等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，解得，所以，故选：C.例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知，且，，，则取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】选项A：当时，，，故，A错误；选项B：当时，，，故，B正确；选项C：当时，，，故，C正确；选项D：当时，，，故，D正确.故答案为：BCD.题型二：根据集合中元素的个数求参数例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合有两个子集，则m的值是__________．【答案】0或4【解析】当时，，满足题意当时，由题意得，综上，或故答案为：0或4例6．（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知，可得.故选：D例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，集合.(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.【解析】（1）若A是空集，则关于x的方程无解，此时，且，所以，即实数a的取值范围是.（2）当时，，符合题意；当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，则，得，此时，符合题意.综上，当时；当时.（3）当时，，符合题意；当时，要使关于x的方程有实数根，则，得.综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，(1)若是空集，求的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求的值，并写出此时的集合；(3)若中至少有一个元素，求的取值范围.【解析】(1)若是空集，则，解得；(2)若中至多有一个元素当时，，符合当时，若，解得，此时

若，得，此时.综合得：当时，；当，；当，.(3)若中至少有一个元素当时，，符合当时，若，解得且综合得.题型三：根据集合的包含关系求参数例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1【答案】D【解析】A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B⊆A；当a≠0时，B=，因为B⊆A，所以=1或=-1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，或，解得，当时，，，，满足题意.当时，，不满足集合的互异性.当时，，，若，满足题意.当时，，，若，满足题意.故选：C.例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（

）A．2 B． C． D．0【答案】BCD【解析】集合，，，又，所以，当时，，符合题意，当时，则，所以或，解得或，综上所述，或或,故选：例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合，若，则实数___________.【答案】或3【解析】，∴或，解得或或，将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，故或3.故答案为：或3.例13．（2022·全国·高一专题练习）集合，，若，则由实数组成的集合为____【答案】.【解析】集合，，且，或或，．则实数组成的集合为.故答案为：.例14．（2022·上海·高一专题练习）集合，则m＝___．【答案】【解析】∵集合，∴，解得．故答案为：±2．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________.【答案】或或0【解析】已知集合，，当，满足；当时，，因为，故得到或，解得或；故答案为：或或0.例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．【答案】或【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使，只需或，解得或．所以实数的取值范围或.故答案为：或例17．（2022·全国·高一课时练习）已知为实数，，．(1)当时，求的取值集合；(2)当时，求的取值集合.【解析】（1）因为，所以当时，，当时，．又，所以，此时，满足．所以当时，的取值集合为．（2）当时，，不成立；当时，，，成立；当且时，，，由，得，所以．综上，的取值集合为．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．【解析】(1)∵M⊆N，∴，∴a∈∅；(2)①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．例19．（2022·全国·高一）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围【解析】(1)当时，，；(2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为．例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合，.(1)若，试求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）由，解得或，.当时，得解得或；∴.（2）由（1）知，，，于是可分为以下几种情况．当时，，此时方程有两根为，，则，解得.当时，又可分为两种情况．当时，即或，当时，此时方程有且只有一个根为，则，解得，当时，此时方程有且只有一个根为，则，此时方程组无解，当时，此时方程无实数根，则，解得.综上所述，实数a的取值为.例21．（2022·江苏·高一）已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围．【解析】(1)，；(2)，；(3)，，，，且，．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若满足的所有实数构成集合，则____，的子集有____个．【答案】

8【解析】由得，而，当时，符合题意；当时，或，∴或，∴，∴的子集个数为.故答案为：；8.题型四：根据两个集合相等求参数例23．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，所以或，解得或或，又集合中的元素需满足互异性，所以，则．故选：C.例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，则______．【答案】1【解析】易知．∵，∴，即，∴，．又由集合中元素的互异性，知，∴，故．故答案为：1例25．（2022·全国·高一课时练习）已知，.若，则______.【答案】【解析】因为所以解之得：故答案为：例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数_______【答案】【解析】因为，所以方程有且只有一个实数根，所以，解得.所以故答案为：题型五：根据集合的交、并、补求参数例27．（2022·全国·高一课时练习）设，，全集，，或，则______.【答案】1【解析】因为，，所以或.又或，所以，，所以.故答案为：1.例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M={1，2，3}，，若，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．1或2【答案】C【解析】当时，由，得，即，不满足题意；当时，由，得，即，不满足题意；当时，由，得或，即，满足题意.故选：C例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，又，所以当时，，要使，则，即．故选：A．例30．（2022·全国·高一）设全集，集合，，则实数的值为（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0.故选：A例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合,或，若，求实数a的取值范围．【解析】由，得，从而．①若，则，解得；②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则，解得．综上，实数a的取值范围是．例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合，，或．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为，所以．①当时，由，得，解得；②当，即时，成立．综上，实数m的取值范围是．（2）因为中只有一个整数，所以，且，解得，所以实数m的取值范围是．例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合，．(1)若，求实数m的取值范围；(2)当集合A中的时，求集合A的非空真子集的个数；(3)若，且不存在元素x，使得与同时成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）当，即时，，满足．当，即时，要使，只需，即．综上，实数m的取值范围是．（2）当时，，共个元素，所以集合A的非空真子集的个数为．（3）由，得，即．又不存在元素x，使得与同时成立，所以或，即或．所以实数m的取值范围是．例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合．(1)若，，求实数m的取值范围；(2)若或，，求实数m的取值范围．【解析】（1）由，知，所以，即实数m的取值范围为．（2）由题意，得，解得，即实数m的取值范围为．例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因为A＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A.当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.综上，a的取值范围为.例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，或．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若，求实数m的取值范围．【解析】（1）∵，∴．在数轴上标出集合A，B，如图1所示，则由图1可知，解得．∴实数m的取值范围为．（2）∵，∴．当，即，即时，满足．当，即时，在数轴上标出集合B，C，若，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知，解得，又，∴无解；由图3可知，解得．综上，实数m的取值范围是或．例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，.（2）{或，当时，，此时，解得；当时，若，则解得.综上，实数的取值范围为.例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合，，且，则______，______．【答案】

4

0【解析】若，则，显然不成立，所以；所以，即，得，此时，所以，即，得．故答案为：4；0题型六：集合的创新定义例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A，B都是非空集合，且．若，，则（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由题意，得，，故或．故选：D例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则集合B中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.例41．