浙江省浙南名校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（）A.三点共线B.三点共线C.三点共线D.三点共线3.已知复数，则（）A.B.C.2D.4.若，则（）A.B.C.D.5.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于）且，则二面角的大小为（）A.B.C.D.6.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.函数，若在区间上是单调函数，且，则的值为（）A.B.或2C.D.1或8.正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）A.B.C.D.10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.所有可能的方法有种B.如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区，则不同的安排方法有25种D.如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（）A.若2为的周期，则为奇函数B.若为奇函数，则2为的周期C.若4为的周期，则为偶函数D.若为偶函数，则4为的周期非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，若，则__________.13.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为__________.14.已知函数，若函数有三个极值点，若，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在中，角的对边分别为.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值.16.（本题满分15分）已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程；（2）设为（1）中的曲线上一点，直线过点且与曲线在点处的切线垂直，与曲线相交于另一点，当（为坐标原点）时，求直线的方程.17.（本题满分15分）如图所示多面体中，平面平面平面，是正三角形，四边形是菱形，.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数，其中且.（1）若，试证明：恒成立；（2）若，求函数的单调区间；（3）请判断与的大小，并给出证明.（参考数据：）19.（本题满分17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有0个黑球的概率为.（1）求的值；（2）根据马尔科夫链的知识知道，其中为常数，同时，请求出；（3）求证：的数学期望为定值.2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DBACCABA二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案ACDBCABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：0.213.答案：14.答案：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）因为，即，可得，又因为，则，可得，且，可得.（2）法一：由正弦定理可得，则，可得，因为，则，可得，所以周长的最大值为.法二：由余弦定理可得，可得，当且仅当时，等号成立，解得，所以周长的最大值为.16.详解：（1）设，则由射影定理，有，故，即.由，易得，故的轨迹方程为.（2）设点处的切线斜率为，故.代入拋物线方程，解得.由，得，整理得.所以的方程为或.17.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为是正三角形，所以，因为平面平面平面，平面平面所以平面，又因为平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）连接交于，取中点，连接，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，又因为四边形是菱形，所以，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，，令，平面的法向量为，设二面角的大小为.所以二面角的正弦值为.18.证明：（1）设函数，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即恒成立.（2）已知，从而，若，则在单调递增；若，当时，当时，所以在单调递增，在单调递减.（3）由（2）可知在上单调递增，因为从而由（2）知道在上单调递增.所以.计算.比较和的大小，因为，所以.由此可知.即