2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市5G联合体高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为(

)A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，262.下列统计量中，都能度量样本x1,x2A.样本x1,x2,⋯,xn的标准差与极差 B.样本x1,x23.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，二面角D′−AB−D的大小是(

)A.30∘ B.45∘ C.4.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列结论正确的是(

)A.若m⊂α,n⊂α,m//β,n//β，则α/​/β

B.若α∩β=m，n//m，则n//α

C.若m⊂α,n⊂β,m⊥n，则α⊥β

D.若m⊂α,m⊥β，则α⊥β5.设D为ΔABC所在平面内一点，若BC⇀=3CDA.AD⇀=−13AB⇀+436.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论不正确的是(

)

A.圆柱的侧面积为4πR2 B.圆锥的侧面积为5πR27.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAB为等边三角形，E,F分别为PA,BC的中点，给出以下结论：①BE//平面PFD；

②

EF//平面PCD；③平面PAB与平面PCD交线为l，则CD//l；

④BE⊥平面PAC．则以上结论正确的序号为

A.① ③ B.② ③ C.① ② ③ D.① ② ③ ④8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1①AP与CM是异面直线；②AP,MN,DD③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形；④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形；其中错误的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z=1+3i2+i，则下列命题结论不正确的是(

)A.z的虚部为1 B.z=2

C.z在复平面内对应的点在第四象限 D.z10.已知向量a=−2,0,bA.a=b B.a+b//b

C.a与b的夹角为3411.已知正四面体P−ABC的棱长为2，则(

)A.正四面体P−ABC的外接球表面积为4π

B.正四面体P−ABC内任意一点到四个面的距离之和为定值

C.正四面体P−ABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为13

D.正四面体S−EFG在正四面体P−ABC的内部，且可以任意转动，则正四面体S−EFG的体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，△O′A′B′是水平放置的▵OAB的斜二测直观图，若O′A′=3,OB′=22,∠A′O′B′=45∘，则▵OAB的面积为

13.已知向量a=−1,2，则与a垂直的单位向量的坐标为

．14.如图，正三棱锥P−ABC的侧面和底面ABC所成角为α，正三棱锥Q−ABC的侧面和底面ABC所成角为β,AB=23,P和Q位于平面ABC的异侧，且两个正三棱锥的所有顶点在同一个球面上，则∠PBQ=

，tanα+β的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行消洗､去皮､去核､冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求．(1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1,7,4,7,4,6,6,3,7,5，求这10个数据的第70百分位数与方差s2(2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照5,15,15,25,25,35,35,45,45,55分组，得到频率分布直方图.估计这60016.(本小题15分)在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2(1)求角A的大小；(2)若b=2,sin(i)求sinB(ii)求▵ABC的面积．17.(本小题15分)如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，(1)证明：EF//平面ABCD．(2)求异面直线EF与BC(3)求直线BD与平面D1EF18.(本小题17分)(1)已知A2,3，B4,−3，点P在线段AB的延长线上，且AP=(2)若a,b是夹角为60∘的两个单位向量，求：(i)a−(3)请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．①余弦定理；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．注：如果选择多个结论分别解答，按第一个解答计分．19.(本小题17分)如图，已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为7312，平面AB

(1)证明：BC⊥平面ABB(2)求点B到面ACC(3)在线段CC1上是否存在点F，使得二面角F−AB−C的大小为π6，若存在，求出CF参考答案1.A

2.B

3.B

4.D

5.A

6.D

7.C

8.C

9.BCD

10.CD

11.BD

12.613.±214.9015.(1)按从小到大顺序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于10×70%=7，故第70百分位数为6+72平均数x=s(2)由0.020×10=0.2<0.5,0.020+0.035×10=0.55>0.5,可得所以0.20+a−15×0.035=0.5，解得所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24．其平均数ω

16.(1)已知b2+c则cosA=12，又A∈(2)(i)sinC=17<故cosC=sinB=(ii)由正弦定理可知，a=b故▵ABC的面积为S▵ABC

17.(1)如图，连接AC交BD于点O，因为E，F分别为AD1，CD因为AC⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，所以EF//平面ABCD．(2)因AB//CD//D1C1，且则有BC1//AD1，由(1)得EF//AC，故EF与B因为AC=AD1=C即EF与BC1所成角的大小为(3)连接D1O，过D作DG⊥D因为DD1⊥平面ABCD，且AC⊂所以DD1⊥AC，又BD⊥AC所以AC⊥平面D1因为DG⊂平面D1DO，所以又DG⊥D1O，且AC∩D1所以DG⊥平面ACD所以直线BD与平面D1EF所成角为∠DOD因为正方体的边长为1，所以DD1=1所以tan∠DO

18.(1)设Px,y，则AP=x,y因为点P在线段AB的延长线上，且AP=32所以x−2=3×2y−3=3×−6，解得x=8y=−15(2)(i)因为a，b为单位向量，所以a=1，b所以a=(ii)因为f=所以当x=12时，函数fx(3)若选①：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．证明：如图，设CB=由三角形法则有c=a即c2同理可得，a2=b若选②：在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，证明：AC2根据条件作出图形，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=DC，AD=所以AC2因为BD=所以BD2所以AC2即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；若选③：在▵ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，证明：AD，CE，BF相交于一点．由题意作出图形，设AC=a，则AB=CB−BF=设AD，CE相交于一点G1，AG1则AGBG又AG所以λ=1−12μ−1所以AG再设AD，BF相交于一点G2，同理可证得A即G1，G2重合，即AD，CE，所以三角形的三条中线交于一点．

19.(1)连接AB

在三棱台ABC−A1B∵AB=2AA1=2A1B1设AB=2x，则BB由余弦定理得：AB∴AB2=A∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1∴AB1⊥平面BCC1B1∵▵ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴BC⊥AB，∵AB∩AB1=A，AB,AB1⊂平面AB由棱台性质知：延长AA1,B

∵A1B1=∴V∵BC⊥平面ABB1A1，即∴BC即为三棱锥P−ABC中，点B到平面PAB的距离，由(1)中所设：AB=BC=2x，∠PAB=∠PBA=60∴▵PAB为等边三角形，∴PA=PB=AB=2x，∴VP−ABC=∴AB=BC=PA=PB=2，∴AC=PC=2∴S设所求点B到平面ACC1A1的距离为d，即为点∵VP−ABC=VB−PAC即点B到平面ACC1A(3)∵BC⊥平面ABB1A1，BC⊂平面ABC，∴平面∵平面ABC∩平面PAB=AB∴取AB中点N，在正▵PAB中，PN⊥AB，∴PN⊥平面ABC，又PN⊂平面PNC，∴平面PNC⊥平面ABC．作FE⊥CN，平面PNC∩平面ABC=CN，则FE⊥平面ABC，作ED⊥AB，连接FD，则ED即FD在平面ABC上的射影，

∵FE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥FE，∵DE∩FE=E，DE,FE⊂平面DEF，∴AB⊥平面