人教版高一数学新教材同步配套教学讲义2.1等式性质与不等式性质(原卷版+解析)

2.1等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式(组)表示不等关系题型二：作差法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式(组)表示不等关系例1．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M例2．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（

）A． B．C． D．例3．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.题型二：作差法比较两数(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定例7．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．例8．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知，，则_______．（填“>”或“<”）例9．（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较的大小.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例12．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．例13．（2020·新疆师范大学附属中学高一期末）若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<例14．（多选题）（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．例16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求证：(1)；(2).例17．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.例18．（2022·全国·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.题型五：利用不等式的性质比较大小例19．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则例20．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．例21．（多选题）（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知，，下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．例22．（多选题）（2022·广东·小榄中学高一阶段练习）对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则例23．（多选题）（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例24．（多选题）（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例25．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，则的取值范围是例26．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，则的取值范围为例27．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例28．（2020·浙江台州·高一期中）已知且，则的取值范围是例29．（多选题）（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．例30．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是例31．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．例32．（2022·全国·高一期中）已知，且，则的取值范围是___________.例33．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.例34．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）设，，求，，的范围.【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【同步练习】一、单选题1．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·宁夏·银川二中高二期中（理））已知且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B．0 C． D．4．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（

）A． B．C． D．由a的取值确定5．（2022·重庆八中高三阶段练习）若a，b都是非零实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（

）（参考数据：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米7．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则8．（2022·陕西·西安中学高二期末（文）），，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·海南中学高三阶段练习）若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若且，则 B．若，则C．若且，则 D．10．（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）若实数a，b，c，d满足，则以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．12．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设，，，则，，的大小关系__________．14．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．15．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.16．（2022·全国·高一课前预习）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.四、解答题17．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；（2）证明：已知，且，求证：.18．（2022·湖南·高一课时练习）回答下列问题：(1)若，且，能否判断与的大小？举例说明．(2)若，且，能否判断与的大小？举例说明．(3)若，且，能否判断与的大小？举例说明．(4)若，，且，，能否判断与的大小？举例说明．19．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若，且，则；(2)若，且，同号，，则；(3)若，且，则．20．（2022·全国·高一课前预习）某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.21．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）（1）已知，求的取值范围；（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？22．（2022·北京石景山·高一期末）若实数，，满足，则称比远离.(1)若比远离，求实数的取值范围；(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.2.1等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式(组)表示不等关系题型二：作差法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式(组)表示不等关系例1．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【解析】【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mcm，.故选：A.例2．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用题设条件即得.【详解】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.故选：D.例3．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D例4．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．【答案】【解析】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．【详解】克糖水中有克糖，糖水的浓度为：；克糖水中有克糖，若再添克糖，则糖水的浓度为，又糖水变甜了，说明浓度变大了，，，，，.故答案为：，例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.【答案】

【解析】【分析】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取值，结合不等关系可求得的最小值.【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.若，则，可得，则，当时，取最小值，即男学生人数为，则女学生人数的最小值为；若的值未知，当时，则，不满足题意，当时，则，不合乎题意，当时，则，此时，，则，合乎题意.故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.故答案为：；.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.题型二：作差法比较两数(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.【详解】，因为，所以，又，所以，即.故选：B例7．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；对于B，不确定符号，取则，故B错误；对于C，，因为，故，即，故C正确；对于D，，因为，故，即，故D错误．故选：C例8．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知，，则_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为，所以.故答案为：<.例9．（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较的大小.【答案】【解析】【分析】应用作差法：，结合已知条件，即可确定大小关系.【详解】∵∴，即.【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】【分析】据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；对于C，当时，满足，不满足，故C不正确；对于D，若，则，故D正确.故选：D.例12．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】举例判断A，B，D错误，再证明C正确.【详解】由已知可取，则，A错，，B错，，，D错，因为，所以所以，故，C对，故选：C.例13．（2020·新疆师范大学附属中学高一期末）若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【答案】C【解析】【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C例14．（多选题）（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.题型四：利用不等式的性质证明不等式例15．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）可知，而，即可得证；（2）可知，而，即可得证；(1)证明：，，又，；(2)证明：，，又，．例16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.(1)证明：因为，，所以所以；(2)证明：由（1）得，又，所以.例17．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.【答案】3个，证明见解析.【解析】【分析】先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.【详解】可以组成3个真命题.（1）若，，则.证明：因为，，所以，即.（2）若，，则.证明：因为，，所以，即.（3）若，，则.证明：因为，，所以.例18．（2022·全国·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当时，，故，由，且，利用不等式性质可得，；(2)欲证，只需证明，即，①当时，显然不等式成立，②当时，不妨令，即，故，由于，显然成立，故原不等式成立；同理，当时，原不等式也成立.综上所述，对于任意，，均成立.【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.题型五：利用不等式的性质比较大小例19．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若，由可得：，A错误；对于B，若，则，此时未必成立，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.例20．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误..【详解】因为，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故选：D.例21．（多选题）（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知，，下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A，由不等式性质，可得，正确；对于B，时，显然不成立，故错误；对于C，时，，故错误；对于D，由可得，所以，即，故正确.故选：AD例22．（多选题）（2022·广东·小榄中学高一阶段练习）对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【解析】【分析】A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.【详解】A：当时，不成立，错误；B：由，有，则，正确；C：由，则，错误；D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.故选：BD例23．（多选题）（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；对于B：利用同向不等式相乘可以证明；对于C：利用不等式的可乘性可以判断；对于D：取特殊值可以判断.【详解】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；对于D：取特殊值满足，但是，，所以.故D错误.故选：AB例24．（多选题）（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；对于C选项，由于，故，故，即，正确；对于D选项，当时，，故错误.故选：ABC【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例25．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解：因为，，所以，，所以，例26．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，则的取值范围为【答案】【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】，故，，得例27．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.【详解】因为，所以，由，得.故选：A.例28．（2020·浙江台州·高一期中）已知且，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】由已知条件推导出，，再由得出，由得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】，，则，，，则，由得，则，即，即，又，，因此，的取值范围是.例29．（多选题）（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由题意结合不等式的性质求解即可【详解】对于A：因为，所以，则，即，故A正确；对于B：又，，所以，即，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD例30．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是【答案】【解析】【分析】设，求出结合条件可得结果.【详解】设，可得，解得，，因为可得，所以.例31．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.【详解】设，则，解得．因为，，所以，即．故答案为：.例32．（2022·全国·高一期中）已知，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解.【详解】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，将两边同时乘以，可得，①将两边同时乘以，可得，②两式相加可得：，即，因为，所以例33．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1），又，，又，（2）设，得即而，例34．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）设，，求，，的范围.【答案】，，【解析】【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.【详解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分别求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【同步练习】一、单选题1．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断各选项．【详解】A显然错误，例如，；时，由得，B错；，但时，，C错；，又，所以，D正确．故选：D．2．（2022·宁夏·银川二中高二期中（理））已知且，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解.【详解】由题意可知，a、b、，且A：若，满足，则，故A错误；B：若，满足，则，故B错误；C：若，则，故C错误；D：，故D正确.故选：D3．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】【分析】令，根据，求得的值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：C.4．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（

）A． B．C． D．由a的取值确定【答案】A【解析】【分析】由题可得，，进而比较与即可.【详解】显然P，Q都是正数，又，，若a是负数，则，，所以；若a是非负数，则，，所以．综上所述，．故选：A．5．（2022·重庆八中高三阶段练习）若a，b都是非零实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依题意可得，再利用作差法得到，即可得到，从而得解；【详解】解：因为且，所以，，所以，故C正确，D错误；若，则，又，则，若，则，又，无法判断与的大小关系，故A、B错误；故选：C6．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（

）（参考数据：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米【答案】D【解析】【分析】根据题意设设米，，从而表示出M与K间的距离、C与F间的距离，列出不等式求解后比较各选项即可.【详解】设米，，因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以，，又因为M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，所以，解得，比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米.故选：D7．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．【详解】解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；对于B：当时，故B错误；对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；对于D：当，满足，但是，故D错误；故选：C8．（2022·陕西·西安中学高二期末（文）），，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.【详解】解：，，，，，；，.故选：D二、多选题9．（2022·海南中学高三阶段练习）若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若且，则 B．若，则C．若且，则 D．【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；对于B，等价于，又，故成立，故B正确；对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.10．（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断；D.作差判断.【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当时，，故错误；C.当时，故错误；D.，因为，，，所以，故正确；故选：AD11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）若实数a，b，c，d满足，则以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根据所给条件，结合不等式的性质判断各选项的正误即可.【详解】由且，则，A正确；由且，则，B正确；当时，有，C错误；由且，则，又，故，D正确.故选：ABD12．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，分析、计算判断选项A，D；取特值计算判断选项B，C作答.【详解】因实数满足，且，则，A正确；取，则，此时，即B，C都不正确；，，又，即，则有，D正确.故选：AD三、填空题13．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设，，，则，，的大小关系__________．【答案】【解析】【分析】依题意可得，，即可得到，再由，，即可得到，从而得解；【详解】解：因为，，因为，所以，所以，而，而，所以，所以．故答案为：14．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．【答案】##【解析】【分析】将化简可得，由此即可求出结果.【详解】因为．当且仅当，时取等号．所以的最小值为．故答案为：．15．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.【答案】①.【解析】【分析】根据不等式的性质结合题设条件逐一证明即可.【详解】因为，，所以，即，故①正确；若，则，故②错误；若，则，所以，所以，又，所以，故③错误；综上，真命题的序