2024年艺术生高考数学专题讲义考点19三角恒等变换

考点十九三角恒等变换学问梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)3．公式的变形和逆用在精确娴熟地记住公式的基础上，要灵敏运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.配方变形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.4．帮助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).典例剖析题型一给角求值例1(1)计算cos42°cos18°－cos48°cos72°的值为________．(2)计算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值为________．答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(1,2)解析(1)cos42°cos18°－cos48°cos72°＝cos42°cos18°－sin42°sin18°＝cos(42°＋18°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(2)∵cos2155°－sin2155°＝cos310°＝cos50°.∴eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).变式训练eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝________．答案eq\f(1,2)解析原式＝eq\f(sin30°＋17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).解题要点解题时先看角，视察是否有30°、60°、90°等特殊角，或是视察能否通过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要留意对公式进行正用、逆用，要驾驭常见的变式.题型二给值求值例2已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值．解析(1)因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(4,5)，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).题型三利用角的凑配求值例3已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于________．答案eq\f(3,22)解析因为α＋eq\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).变式训练已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则cos(α－β)的值等于________．答案eq\f(23,27)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,9)，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(4\r(2),9)，而α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))×(－eq\f(1,3))＋eq\f(4\r(2),9)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(23,27).解题要点1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的凑配技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝(α＋eq\f(β,2))－(eq\f(α,2)＋β)等．题型四帮助角公式例4已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解析(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由正弦函数y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))上的图象知，当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)时，f(x)取最大值eq\r(2)＋1；当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为eq\r(2)＋1，最小值为0.变式训练函数f(x)＝eq\r(3)sinx＋cos(eq\f(π,3)＋x)的最大值为________．答案1解析f(x)＝eq\r(3)sinx＋coseq\f(π,3)cosx－sineq\f(π,3)sinx＝eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝sin(x＋eq\f(π,6))．∴f(x)max＝1.解题要点利用帮助角公式将asinx＋bcosx化为Asin(ωx＋φ)是常见的题型，转化时确定要严格比照和差公式，防止搞错帮助角．对于计算形如y＝sin(ωx＋φ),x∈[a，b]形式的函数最值时，则务必留意角度范围，最好是画出函数图像，视察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.当堂练习1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________．答案eq\f(1,2)解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝eq\f(1,2).2．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝________．答案eq\f(3,4)解析由eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4)，选B项．3.已知cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),3)，则sin(2α－eq\f(π,6))的值为________．答案eq\f(1,3)解析由cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),3)，得cos(2α＋eq\f(π,3))＝2×(eq\f(\r(3),3))2－1＝－eq\f(1,3).所以sin(2α－eq\f(π,6))＝sin(2α＋eq\f(π,3)－eq\f(π,2))＝－cos(2α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,3).4．若函数f(x)＝sin2(x＋eq\f(π,4))＋cos2(x－eq\f(π,4))－1，则函数f(x)是________．①周期为π的偶函数 ②周期为2π的偶函数③周期为2π的奇函数 ④周期为π的奇函数答案④解析f(x)＝sin2(eq\f(π,4)＋x)＋sin2(eq\f(π,4)＋x)－1＝2sin2(eq\f(π,4)＋x)－1＝－cos(eq\f(π,2)＋2x)＝sin2x∴故④正确．5．已知函数f(x)＝eq\r(2)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\r(2)sin2eq\f(x,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．解析(1)因为f(x)＝eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)(1－cosx)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－eq\f(\r(2),2)，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x≤0，所以－eq\f(3π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4).当x＋eq\f(π,4)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(3π,4)时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝－1－eq\f(\r(2),2).课后作业填空题1．已知cosα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)，α，β都是锐角，则cosβ＝________．答案eq\f(33,65)解析∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－eq\f(5,13)<0，∴eq\f(π,2)<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，sinα＝eq\f(4,5).又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(33,65).2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为________．答案eq\f(\r(2),2)解析sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).3．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的________条件．答案充分不必要解析∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇒/sinα＝cosα，故为选充分不必要条件.4．若cosα＝－eq\f(4,5)，α为第三象限角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________．答案－eq\f(7\r(2),10)解析∵α为第三象限角，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)－\f(3,5)))＝－eq\f(7\r(2),10).5．eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝________．答案eq\f(1,2)解析sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).6．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于________．答案eq\f(3,22)解析∵α＋eq\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，∴α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，则sin2x的值为________．答案eq\f(7,25)解析∵sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝1－2×eq\f(9,25)＝eq\f(7,25).8．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，则tan2α＝________．答案－eq\f(24,7)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4).∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2)＝－eq\f(24,7).9．sin15°＋sin75°的值是________．答案eq\f(\r(6),2)解析sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin(15°＋45°)＝eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(6),2).10．已知cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，α∈(0，eq\f(π,2))，则cosα＝________.答案eq\f(\r(2)＋4,6)解析∵α∈(0，eq\f(π,2))，cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)>0，∴α∈(0，eq\f(π,4))，α＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),3)，cosα＝cos(α＋eq\f(π,4)－eq\f(π,4))＝cos(α＋eq\f(π,4))coseq\f(π,4)＋sin(α＋eq\f(π,4))·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2)＋4,6).11．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)π＋kπ，\f(7,8)π＋kπ))(k∈Z)解析f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＋1＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(3,2)，∴T＝eq\f(2π,2)＝π，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(7π,8)＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)＋kπ，\f(7π,8)＋kπ))，k∈Z.二、解答题12．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)探讨f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．解析(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq\f(2－\r(3),2).(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq\f(π,3)≤π，从而当0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，即eq\f(