备考2025届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性

第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性1.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（C）A.f（x）＝tan（－x） B.f（x）＝2－xC.f（x）＝e－x－ex D.f（x）＝2解析f（x）＝tan（－x）＝－tanx的定义域是{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故Af（x）＝2－x＝（12）x既不是奇函数也不是偶函数，在R上单调递减，故B错误；f（x）e－x－ex的定义域为R，∵f（－x）＝ex－e－x＝－f（x），∴f（x）是奇函数，∵y＝e－x，y＝－ex均为R上的减函数，∴f（x）在R上单调递减，故C正确；f（x）＝2x的定义域为{x｜x≠0}，f（x）是奇函数，在定义域上不具有单调性，故D错误.故选2.若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满意f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（D）A.ex－e－x B.12（ex＋e－xC.12（e－x－ex） D.12（ex－e－解析因为f（x）＋g（x）＝ex，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，所以g（x）＝12（ex－e－x）.故选3.已知函数f（x）＝x2+2x，x≥0，x2－2x，x<0，若f（－a）A.[－1，0） B.[0，1] C.[－1，1] D.[－2，2]解析若x＜0，则－x＞0，f（－x）＝x2－2x＝f（x），若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝x2＋2x＝f（x），故函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，函数f（x）单调递增，由f（－a）＋f（a）≤2f（1），得2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），所以｜a｜≤1，所以－1≤a≤1.故选C.4.[2024青岛市检测]若函数f（x）＝cosx·lg（x2＋m－x）为奇函数，则m＝（A.－1 B.0 C.1 D.±1解析解法一因为函数f（x）＝cosx·lg（x2＋m－x）为奇函数，又y＝cosx为偶函数，所以g（x）＝lg（x2＋m－x）为奇函数，则g（x）＋g（－x）＝0，即lg（x2＋m－x）＋lg（x2＋m＋x）＝0，即lg[（x2＋m－x）（x2＋m＋x）]＝lg（x解法二因为函数f（x）＝cosx·lg（x2＋m－x）为奇函数，又y＝cosx为偶函数，所以g（x）＝lg（x2＋m－x）为奇函数，所以g（0）＝0，即lgm＝0，解得m5.[2024安徽月考]已知函数f（x）＝2sinx＋x＋2，x∈[－2π，2π]，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（A）A.4 B.4π－333 C.4π解析因为y＝2sinx＋x的图象关于原点对称，所以f（x）＝2sinx＋x＋2的图象关于点（0，2）对称，所以f（x）在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和M＋m＝4.故选A.6.[2024南京市、盐城市一模]若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d满意f（1－x）＋f（1＋x）＝0对一切实数x恒成立，则不等式f'（2x＋3）＜f'（x－1）的解集为（C）A.（0，＋∞）B.（－∞，－4）C.（－4，0）D.（－∞，－4）∪（0，＋∞）解析由f（1－x）＋f（1＋x）＝0可知，函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.解法一易得f'（x）＝3x2＋2bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，所以函数f'（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则由f'（2x＋3）＜f'（x－1），得｜2x＋3－1｜＜｜x－1－1｜，解得－4＜x＜0，故选C.解法二函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象的对称中心为点（－b3a，f（－b－b3a＝1，a＝1，得b＝－3，所以f'（x）＝3x2－6x＋c，由f'（2x＋3）＜f'（x－3（2x＋3）2－6（2x＋3）＋c﹤3（x－1）2－6（x－1）＋c，解得－4＜x＜0，故选C.7.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数f（x）同时具有下列三特性质，则f（x）＝－x（答案不唯一）.（写出一个满意条件的函数即可）①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）；②f（x）是奇函数；③当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0.解析因为f（x）是奇函数，且当x＋y＞0时，f（x）＋f（y）＜0，即x＞－y时，f（x）＜－f（y）＝f（－y），所以f（x）是单调递减函数，再考虑到f（x＋y）＝f（x）＋f（y），所以f（x）＝kx（k＜0）都符合题意.8.已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－2x2＋3x＋1，则f（x）的解析式为f（x）＝－2x解析当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝－2（－x）2＋3（－x）＋1＝－2x2－3x＋1.由于f（x）是R上的奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以当x＜0时，f（x）＝2x2＋3x－1.因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.综上，f（x）的解析式为f（x）＝－9.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝ln（x2+1＋x）－2ex+1，则不等式f（2x－1）＞－2的解集是（A）A.（13，＋∞） B.（1，＋∞C.（－∞，13） D.（－∞，1解析因为x2+1＞｜x｜≥－x，所以x2+1＋x＞0在R上恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，f（x）＝ln（x2+1＋x）＋（ex－1）－（ex+1）ex+1＝ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1－1，令h（x）＝f（x）＋1＝ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1，则h（x）＋h（－x）＝[ln（x2+1＋x）＋ex－1ex+1设g（x）＝ln（x2+1＋x），则g（x）为奇函数.当x≥0时，y＝x2+1，y＝x均单调递增，则y＝x2+1＋x在[0，＋∞）上单调递增.所以g（x）＝ln（x2+1＋又g（x）为奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上单调递增.又y＝ex＋1在R上单调递增，所以y＝2ex+1在R上单调递减，所以y＝－2ex+1在R上单调递增，所以h（x）＝g（x）－2不等式f（x）＋f（2x－1）＞－2，即f（x）＋1＞－[f（2x－1）＋1]，也即h（x）＞－h（2x－1）＝h（1－2x），所以x＞1－2x，解得x＞13.故选10.[2024黄冈模拟]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x＋1），且f（2＋x）－f（2－x）＝4x，g（3＋x）为偶函数，则g'（7）＋g（17）＝（C）A.0 B.1 C.2 D.3解析因为g（3＋x）为偶函数，g（x）＝f'（x＋1），所以f'（x＋4）＝f'（－x＋4），对f（2＋x）－f（2－x）＝4x两边同时求导，得f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4，所以有f'（4＋x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4－x）＋f'（－x）＝4⇒f'（4＋x）＋f'（x）＝4⇒f'（8＋x）＝f'（x），所以函数f'（x）的周期为8，在f'（2＋x）＋f'（2－x）＝4中，令x＝0，得f'（2）＝2，因此g（17）＝f'（18）＝f'（2）＝2.因为g（3＋x）为偶函数，所以有g（3＋x）＝g（3－x）⇒g'（3＋x）＝－g'（3－x）⇒g'（7）＝－g'（－1）①，f'（8＋x）＝f'（x）⇒g（7＋x）＝g（x－1）⇒g'（7＋x）＝g'（x－1）⇒g'（7）＝g'（－1）②，由①②可得：g'（7）＝0，所以g'（7）＋g（17）＝2，故选C.11.[多选/2024辽宁开学考试]已知函数y＝xf（x）是R上的偶函数，f（x－1）＋f（x＋3）＝0，当x∈[－2，0]时，f（x）＝2x－2－x＋x，则（ACD）A.f（x）的图象关于直线x＝2对称B.4是f（x）的一个周期C.f（x）在（0，2]上单调递增D.f（2024）＜f（12）＜f（0.50.2解析由函数y＝xf（x）是R上的偶函数可知，f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）.又f（x－1）＋f（x＋3）＝0，得f（x）＋f（x＋4）＝0，则f（x＋4）＝－f（x）＝f（－x），所以f（x＋2）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称，A项正确.由f（8＋x）＝－f（4＋x）＝f（x）可知，8是f（x）的一个周期，由f（x）＝－f（x＋4）可知，4不是f（x）的一个周期，B项错误.当x∈[－2，0]时，易知f（x）＝2x－2－x＋x为增函数，又f（x）为奇函数，所以f（x）在（0，2]上单调递增，C项正确；又f（2024）＝f（8×253）＝f（0），0＜0.5＜0.50.2，且f（x）在[－2，2]上单调递增，所以f（0）＜f（12）＜f（0.50.2），即f（2024）＜f（12）＜f（0.50.2），D项正确.12.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知函数y＝f（x）对随意实数x，y都满意2f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y），且f（1）＝－1，则（AC）A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数C.f（x）＋f（1－x）＝0 D.∑k=12025f（解析在2f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）中，令x＝1，y＝0，可得2f（1）f（0）＝2f（1），即－2f（0）＝－2，解得f（0）＝1≠0，故f（x）不是奇函数，B错误；令x＝0可得2f（0）f（y）＝f（y）＋f（－y），即f（y）＝f（－y），故函数f（y）是偶函数，即f（x）是偶函数，故A正确；令x＝y＝12，则2f2（12）＝f（1）＋f（0）＝0，故f（12）＝0，令x＝12，可得2f（12）f（y）＝f（12＋y）＋f（12－y）＝0，故f（x）＋f（1－x）＝0，故C正确；因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），故f（－x）＋f（f（x）＋f（1＋x）＝0，所以f（x＋1）＋f（2＋x）＝0，所以f（x＋2）＝f（x），故函数f（x）的周期为2，因为f（1）＋f（0）＝0，f（1）＝－1，所以f（1）＋f（2）＝f（1）＋f（0）＝0，f（2025）＝f（1）＝－1，所以∑k=12025f（k）＝f（1）＋f（2）f（2025）＝f（2025）＝f（1）＝－1，故D错误.故选AC.13.[多选/2024南昌市模拟]f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），下列说法中正确的是（ACD）A.若f（x）＝f（－x），则f'（x）＝－f'（－x）B.若f'（x）＝f'（x＋T）（T≠0），则f（x）＝f（x＋T）C.若f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则f'（x）的图象关于直线x＝a轴对称D.若f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2，f'（x＋2）的图象关于原点对称，则f（－1）＋f'（2）＝1解析对于A：f（x）＝f（－x）两边对x求导，得f'（x）＝－f'（－x），故A正确.对于B：f（x）＝f（x＋T）＋C（C为常数）⇔f'（x）＝f'（x＋T），则C≠0时，B错误.对于C：f（x）的图象有对称中心（a，b）⇒f（a－x）＋f（a＋x）＝2b，两边对x求导，得－f'（a－x）＋f'（a＋x）＝0，即f'（a－x）＝f'（a＋x）⇒f'（x）的图象关于直线x＝a对称，C正确.对于D：f（－1＋x）＋f（－1－x）＝2⇒f（x）的图象有对称中心（－1，1），则f（－1）＝1.f'（x＋2）的图象向右平移2个单位长度f'（x）的图象⇒f'（x）的图象有对称中心（2，0），则f'（2）＝0.所以f（－1）＋f'（2）＝1＋0＝1，故D正确.14.[2024全国卷乙]若f（x）＝ln｜a＋11－x｜＋b是奇函数，则a＝－12，b解析解法一f（x）＝ln｜a＋11－x｜＋b＝ln｜a＋11－x｜＋lneb∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＋f（x）＝ln｜（a+1）2∴｜（a＋1）2e2b－a2e2bx2｜＝｜1－x2｜.当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，（a+1当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝－1＋x2时，（a+1综上，a＝－12，b＝解法二易知x≠1.∵函数f（x）为奇函数，∴由奇函数定义域关于原点对称可得x≠－1，∴当x＝－1时，｜a＋11－x又∵｜a＋11－x｜∴当x＝－1时，｜a＋11－x｜∴a＝－12又由f（0）＝0可得b＝ln2.经检验符合题意，∴a＝－12，b＝15.[探究创新/2024广西联考]若定义在D上的函数f（x）满意下列条件：①∀x∈D，f（x－2）＋f（2－x）＝0恒成立；②∀x1，x2∈D，当x1≠x2时，x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立；③∀x1∈R，∃x2∈D，使得f（x2）·2x1＝1成立.则称该函数为“χ函数”，下列函数可以称为“χ函数”的是（DA.f（x）＝1－3x3x+1+3 B.fC.f（x）＝x4－x2＋1 D.f（x）