2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)2.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0(2)范围α∈[0∘,180∘).2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tanα(α≠90当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘当直线l与x轴垂直时，α=90(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tanα，α∈[0如左图，当α∈[0∘,右图中斜率为k1,k2的直线对应的倾斜角为α1如左图，当α∈(90∘,右图中斜率为k3,k其中π2<α(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3)斜率公式经过两点P1(使用斜率公式的时候要注意x1(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tanα(α≠90(5)利用斜率证明三点共线的方法已知A(x若x1=x2=知识点2直线的方程1直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式y−(x1k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk为斜率b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式y−经过两点(x1,y不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式xa是直线在x轴上的非零截距

b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B,C为系数无限制，可表示任何

位置的直线2易错点(1)利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2)截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3)用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56π，则m的值为.【典题2】直线x+ycosθ−5=0的倾斜角α的取值范围是.【典题3】设点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.巩固练习1(★)下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角α的取值范围是0°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或2(★)若直线经过两点A(m,2)，B(−m,2m−1)且倾斜角为45°，则m的值为.3(★★)已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BC的斜率可能为4(★★)已知θ∈R，则直线xsinθ−3y+1=0的倾斜角的取值范围是5(★★)直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−2≤t≤6(★★★)已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.7(★★★)P(x,y)在线段AB上运动，已知A(2,4),B(5,−2)，则y+1x+1的取值范围是【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为35(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2,4)，B(−2,8).【典题2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(−2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH的一般式方程为．巩固练习1(★)【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0B．直线y=3x−2在y轴上的截距为−2 C．直线x−3y+1=0的倾斜角为D．过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为2(★)【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是()A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−1C．直线l过定点(0,1) D．直线l过定点(1,0)3(★)已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.4(★★)若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.5(★★)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：3+2λx+4+λ(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l【典题2】如图，将一块等腰直角三角板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(12,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB(1)求直线MN的斜率的取值范围；(2)若P点满足MP=13PN，这样的直线(3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积取得最大值和最小值？并求出最值．巩固练习1(★★)已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l2(★★★)已知直线l经过点P(3,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点．当PA2+PB3(★★★)如图，射线OA,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1,0)的直线l分别交OA，OB于点(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求4(★★★)已知直线l：kx－y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．5(★★★)在直角坐标系中，已知射线OA：x−y=0(x≥0)，过点P(3,1)作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)求PA∙PB的最小值．直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0(2)范围α∈[0∘,180∘).2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tanα(α≠90当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘当直线l与x轴垂直时，α=90(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tanα，α∈[0如左图，当α∈[0∘,右图中斜率为k1,k2的直线对应的倾斜角为α1如左图，当α∈(90∘,右图中斜率为k3,k其中π2<α(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3)斜率公式经过两点P1(使用斜率公式的时候要注意x1(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tanα(α≠90(5)利用斜率证明三点共线的方法已知A(x若x1=x2=知识点2直线的方程1直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式y−(x1k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式y=kx+bk为斜率b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式y−经过两点(x1,y不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式xa是直线在x轴上的非零截距

b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或原点的直线一般式Ax+By+C=0(A,B,C为系数无限制，可表示任何

位置的直线2易错点(1)利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2)截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3)用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56π，则m的值为【解析】因直线AB的倾斜角为56π，则其斜率k=tan5又由A(3,m+1)，B(4,2m+1)，则AB的斜率k=(2m+1)−(m+1)则有m=−3【点拨】求斜率有两种方法:k=tanα与斜率公式k=y【典题2】直线x+ycosθ−5=0的倾斜角α的取值范围是.【解析】(直线一般式ax+by+c=0(b≠0)化为斜截式可知斜率k=−ab若cosθ=0，则直线方程为x=5，即倾斜角α=π若cosθ≠0，则直线方程为y=−1cosθx+∵cosθ∈−1,0∪0,1，∴−即tanα≤−1或tanα≥1，解得α∈[π4,综上可得α∈[π【典题3】设点A(2,−3)，B(−3,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.【解析】如图所示，设直线l与线段AB交于点C，当PC⊥x轴时直线l与线段AB交于点D，当点C在BD上运动时，斜率k满足k≥k当点C在DA上运动时，k≤k即k≥1+21+3=34或k≤即直线的斜率的取值范围是[3【点拨】①注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考；②注意到直线l与x轴垂直的临界处.巩固练习1(★)下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．直线倾斜角α的取值范围是0°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或【答案】BCD【解析】平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故A错误．由于直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tanα与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，与y轴垂直的直线的倾斜角是0°，故故选：BCD．2(★)若直线经过两点A(m,2)，B(−m,2m−1)且倾斜角为45°，则m的值为.【答案】34 【解析】经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的斜率为k=2m−1−2−m−m又直线的倾斜角为45°，∴2m−1−2−m−m=tan45°=1，即m=3(★★)已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BC的斜率可能为【答案】−3【解析】设AB的倾斜角α，BC的倾斜角β，则β=α+π3或β=2π当β=α+π3时，当β=2π3+α4(★★)已知θ∈R，则直线xsinθ−3y+1=0的倾斜角的取值范围是【答案】[0,π【解析】如图所示，由A(3,2)，可得斜率kPA=1−2因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角的取值范围是[0,π65(★★)直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−2≤t≤【答案】[0,【解析】∵直线l经过点A(2，1)，B(3，t∴k∵−2≤t≤则t2设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，则tanθ∈[－1，1]，得θ∈[0，6(★★★)已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.【答案】[－1,1]【解析】∵点A(－3,4),B(3,2)，过点P(1,0)的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kPB或∵PA的斜率为4−0−3−1=－1，PB的斜率为∴直线l的斜率k≥1或k≤－1，故选：D7(★★★)P(x,y)在线段AB上运动，已知A(2,4),B(5,−2)，则y+1x+1的取值范围是【答案】[−16，【解析】如图：y+1x+1表示线段上的点与C(－1,－1)连线的斜率，∴kAC则y+1x+1的取值范围是[−16，53【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为35(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2,4)，B(−2,8).【解析】(1)∵sinα=35，则直线方程为y−2=±3即3x−4y+5=0或3x+4y−11=0.(2)(x、y轴上的截距都涉及到，优先考虑截距式)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，可设直线方程为xm代入点A(1,3)，可得1m+38−m=1所以所求直线方程为x2+y即所求直线方程为3x+y−6=0或(3)(已知直线过两点，可先求出斜率再用点斜式)直线斜率k=4−8则所求直线方程为y−4=−(x−2)，整理得x+y−6=0【点拨】①求直线方程的时，要注意各种形式的限制条件；②往往可以多种方法求解，注意最优解.【典题2】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(−2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为，直线FH的一般式方程为．【解析】(求点H坐标相当求点H到x、y轴距离，用几何知识点求解；再求出点H便可求直线FH方程)分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N，∵四边形ACGH为正方形，∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM=OC，MH=OA，∵A(0,2)，C(1,0)，∴MH=OA=2，AM=OC=1，可得OM=OA+AM=3，由此可得H坐标为(2,3)，同理得到F(−2,4)，∴直线FH的斜率为k=4−3可得直线FH的方程为y−3=−14(x−2)【点拨】根据题意，可知点F、H是确定的，求出两点坐标再求直线FH方程就不难了.本题利用平几知识点求出点F、H的坐标.巩固练习1(★)【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0B．直线y=3x−2在y轴上的截距为−2 C．直线x−3y+1=0的倾斜角为D．过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为【答案】BD【解析】∵过点P(1,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y－3=0，或者y=2x，故A错误；∵直线y=3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；由于直线x−3y+1=0的斜率为33，故它的倾斜角为30∵过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5=0，故D故选：BD．2(★)【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是()A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−1C．直线l过定点(0,1) D．直线l过定点(1,0)【答案】ABC【解析】当m≠0时，直线l的方程可变为y=−1m(x－1)，其斜率为−当m=0时，直线l的方程变为x=1，其斜率不存在，过点(1,0)，故AB不正确，D正确，将点(0,1)代入直线方程得m－1=0，故只有当m=1时直线才会过点(0,1)，即C不正确，故选：ABC．3(★)已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.【答案】4【解析】令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=12∵直线mx+3y－12=0在两个坐标轴上截距之和为7，∴4+12m=74(★★)若直线过点(1,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.【答案】3【解析】设直线l的截距式为xa∵直线l经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴&1a+1b=1直线l的条数为3．5(★★)已知等边△ABC的两个顶点A(0,0),B(4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【答案】y=3【解析】如图所示：xC=2，yC=−2tan60∴BC边所在的直线方程是y=−23−0【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：3+2λx+(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l【解析】1由3x+4y−19=02x+y−6=0，解得x=1y=4，则定点M为(λ视为参数，过定点的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y−19+λ(2x+y−6)=0均成立"，故先把λ提取出来，满足"0+λ⋅0=0"这一形式即可，故(2)(截距相等，有可能两个截距均为0，故要分类讨论)当直线过原点时，−19−6λ=0,则λ=−196,当直线不过原点时，则3+2λ=4+λ，解得λ=1，所求直线为x+y−5=0．综上，直线方程为4x−y=0或x+y−5=0．(3)设A(a,0)，B(0,b)(a>0,b>0)，方法1则直线l的方程可设为xa又直线l过点M(1,4),则1aMAMB(利用数量积AM把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了)=1−a,4=a+4b1a=4b当且仅当4ba=4ab且1此时直线方程为x+y−5=0．方法2设直线l的倾斜角为α，由已知可知α∈(π如图，MB=4sin⁡(通过图象观察引入变量α表示MAMB则MAMB∵α∈(π2,π)显然sin2α=−1，即α=3π4时，MAMB此时直线方程为x+y−5=0．【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式，而本题中MAMB【典题2】如图，将一块等腰直角三角板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(12,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB(1)求直线MN的斜率的取值范围；(2)若P点满足MP=13PN，这样的直线(3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的△AMN的面积取得最大值和最小值？并求出最值．【解析】(1)(根据观察图象易得kPA≤kMN≤kPB⇒−1依题意，得MN的方程为y−14=k(x−因为AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，所以直线OA的方程为y=x，直线AB的方程为x=1，联立y−14=k(x−联立y−14=k(x−所以0≤2k−14(k−1)≤1所以k的取值范围为[−1(得到M、N的坐标，便于求解第二、三问)(2)若MP=13PN，可得所以直线MN的方程为y−1整理得x+2y−1=0．(3)在△AMN中，由(1)知，S△AMN设t=1−k∈[1则f(t)=4t+1因为f(t)在[12，3所以当t=32时，即当1－k=32，即k=−1当t=12时，即当1−k=12，即k=1所以k=−12时S△max=1【点拨】①本题完成第一、二问，有更简便的方法，但若考虑到第三问，采取了求点M、N坐标的方法，故有时做题要统筹到完成的整道题目，在应试中采取综合时间、得分多方面的最优解.②当然本题第三问也有可能还有其他的解法，比如几何法，如图，设过点P的直线CD与线段AB、OA、y轴分别交于D、G、C，由于点xP=12=12所以∆DPF≅∆EPC，故S∆DPF>S∆GPH，即当直线CD越靠近故k=−12时S△max=1③处理最值问题常见的是几何法(通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法(引入变量，把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).巩固练习1(★★)已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l【答案】(1)M(−1,−2)(2)2x+y+4=0【解析】(1)证明：原方程整理得：(x－2y－3)m+2x+y+4=0．由x−2y−3=02x+y+4=0，可得x=−1∴不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2)(2)解：设直线l1的方程为y=k(x+1)－2(k<0)令y=0,x=k−2∴S当且仅当−k=4−k则l1的方程为2x+y+4=0．2(★★★)已知直线l经过点P(3,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点．当PA2+PB【答案】(1)x−y−1=0或2x−3y=0(2)2【解析】(1)∵直线l经过点P(3,2)，直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，若截距不为0，设l的方程为xa−ya=1，把点Pl的方程为x－y－1=0．若截距为0，则l的斜率为2−03−0=23，直线l的方程为综上，直线l的方程为x－y－1=0或2x－3y=0．(2)由题意可得，直线的斜率k存在，且k＜0，设直线l的方程为y－2=k(x－3)，则A(3−2PA2当且仅当k=−23时，等号成立，即此时，直线l的方程为y－2=−23(x－3)3(★★★)如图，射线OA,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1,0)的直线l分别交OA，OB于点(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求【答案