2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题课件新人教A届选择性必修第一册

1．4空间向量的应用1．4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题素养目标•定方向

1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点)2．能描述解决距离问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点、易混点)

空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养.必备知识•探新知

点P到直线l的距离知识点1思考1：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？提示：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平行直线的距离．做一做：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别为AB，CC1的中点，则点D到直线GF的距离为______.点P到平面α的距离知识点2设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为____________(如图)．思考2：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．做一做：已知四面体ABCD的顶点分别为A(2,3,1)，B(1,0,2)，C(4,3，－1)，D(0,3，－3)，则点D到平面ABC的距离为________.关键能力•攻重难1．(1)已知三棱锥O－ABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(

)题型探究题型一利用空间向量求点线距(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，则点B到直线A1C1的距离为______.B(2)以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，[规律方法]

用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的单位方向向量u；(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a；

四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E，F分别为PB，PD的中点，则P到直线EF的距离为(

)对点训练❶D题型二利用空间向量求点面距、线面距2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．[解析]

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，对点训练❷[解析]

取AC的中点O，连接OS，OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO.如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，题型三利用空间向量求面面距3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．[分析]

根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离，即点面距．[规律方法]

求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主．

如图，已知棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为______.对点训练❸课堂检测•固双基1．已知直线l过定点A(2,0,1)，且方向向量为m＝(－2,1，－1)，则点P(1,1,1)到直线l的距离为(

)D2．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为(

)B[解析]

如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(

)B4．棱长为1的正方体ABCD－A1