2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算题型探究新人教A届选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算题型探究题型一空间向量及相关概念的理解1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，模与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模相等的向量一共有4个．其中不正确的命题的个数是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；模相等的两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错；根据正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))的方向相同，模也相等，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，故③正确；命题④显然正确；在三棱柱ABC－A1B1C1中，与eq\o(AA1,\s\up6(→))的模一定相等的向量是eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，一共有5个．故⑤错．[规律方法]空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．对点训练❶如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：(1)试写出与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；(2)试写出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．[解析](1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3个．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC1,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up6(→))))2)＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.题型二空间向量的线性运算2．如图所示，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))；(2)eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))．[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).(2)eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(BD′,\s\up6(→)).(3)设点M为CB′的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB′,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→)).即化简后所对应的向量如图所示．[规律方法]空间向量线性运算的技巧(1)数形结合：要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(3)巧用平移：运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．对点训练❷(1)(多选题)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是(AB)A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→)) D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))(2)化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝0.[解析](1)A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选AB.(2)方法一(转化为加法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.方法二(转化为减法运算)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.题型三空间共线向量定理及其应用3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．[分析]eq\o(AO,\s\up6(→))用eq\o(AC1,\s\up6(→))与eq\o(AM,\s\up6(→))表示．[证明]如图所示，连接AO，A1C1，∵eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1O,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1A1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三点共线．[规律方法]证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．对点训练❸如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线？[解析]M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．题型四空间向量共面定理及其应用4．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．[分析]要证明三个向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，只需证明存在实数x，y，使eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，证明了三个向量共面，即可说明点M就在平面内．[解析](1)因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以6eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OM,\s\up6(→))＝(2eq\o(OM,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，因此3eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).故向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．[规律方法]证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb(x，y为实数)，则向量p，a，b共面．(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up