高中数学三角恒等变换练习

高中数学三角恒等变换练习

选择题(共12小题)

1.(2016•福建模拟)已知sin(x+—)=-1,则cosx+cos(―-x)的值为()

_333

A.-立B.2ZlC.-1D.1

3333

2.(2016»^M'|—cosl600sinl0°-sinZCcoslO0()

A.-立B.立C.」D.工

2222

3.(2015•天津校级一模)若sin2a=Y^,sin(P-a)且ae[2L,n],pe[n,x2L],

51042

则a+p的值是()

A.12-B.1—C.且婕121D.且L或空

444444

4.(2015•保定一模)sin15°-cos150=()

A.返B.工C.-爽D.-1

2222

5.(2015•江西一模)sinl35°cos(-15°)+cos225°sinl5°等于()

A.-2ZlB.-1C.AD.在

2222

6.(2015•哈尔滨校级二模)若向量a=(sin(a+—),1),b=(1,cosa-2Zl),a±b，则

64

sin(a+A2L)=()

3

A.-2ZIB.C.-1D.1

4444

7.(2015•吉林校级四模)在△ABC中，若tanAlanB=tanA+lanB+1,则cosC=()

A.一返B.返c.-ID.1

2222

8.(2015•烟台一模)已知a,PG(0,n)且tan(a-p)=-1,tanB=-,，则2a-片

()

9.（2015•大连校级模拟）已知向量全（sine,-2）b=（1,cos6），且alb，

则sin20+cos20的值为（）

A.1B.2C.1D.3

2

10.（2015•江西一模）已知12sinct-5cosct=13,则tana=（）

A.-AB.-12c.士基D.±-L

125512

11.（2015春•沈阳期末）下列各式中，值为2的是（）

2

22

A.sinl50cosl5°B.cnc.—-sin2L

C°1212

C..22.5。D.j1+C0ST

1-tan222.5°Y2

12.（2015秋•南昌校级期末）已知tanx=-则si/x+Ssinxcosx-1的值为（）

2

A.-1B.2C.-2或2D.-2

3

二.填空题（共15小题）

13.（2016春•南京校级月考）cos（a+P）=工，tanatanp=-l,求cos（a-p）=.

52

14.（2016•凉山州模拟）设向量a=（3cosx>1）,b=（5sinx+Lcosx）,且a〃b则

cos2x=.

15.（2015•张掖模拟）已知a为第二象限角，sina+cosd=亚，则cos2a=.

3

16.（2015♦天水校级四模）若cos?（a+-2L）=A,贝||sin2a=.

46

17.（2015•温州三模）已知sina-cosa=』（0<aV_ZL）,则sin2a=，sin（2a

52

4

19.（2015♦闵行区一模）已知（2Lre）,sin-^--则cosB二

2225

20.（2015春•黄冈月考）已知a为第四象限角，sina+cosa=—,则cos2a=.

（2016•苏州一模）已知e是第三象限角，且sine-2cose=-Z则

5

sin0+cos0=

22.（2015•徐汇区模拟）若sinacosa=-2，aG（―,n）,贝Usina-cosa=

23.（2015秋•广安期末）若tana=2,则251。.-cosQ的值为

sina+2cosa

24.（2015春•干B江区期中）sin40°（tan10°-=

26.（2012•靖宇县校级模拟）tan350+tan25°+遥tan35°tan250=.

27.（2012•南通模拟）在^ABC中，若tanA+tanB+tanC=l,则tanAtanBtanC=.

三.解答题（共3小题）

28.（2016♦宝山区一模）设a、b、c分别是△ABC三个内角NA、NB、NC的对边，若向

ABAB

量会（1-cos（A+B）,cos）>n=（*!，cosQ）且

ZoZo

（1）求tanA«tanB的值；

（2）求:bsjnC的最大值.

2八2一2

a+bc

29.（2016•宜宾模拟）已知向量（sinA,cosA）,n=（舍，1）,ir・n=且A为锐角.

（1）求角A的大小；

（2）求函数f（x）=cos2x+8sinAsinx（xeR）的值域.

30.(2016•晟定.区一模)已知xeR,设m=(2cosx,sinx+cosx)，

n=(旧sinx,sinx-cosx),记函数f(x)=m•rr

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；_

(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,0=73，a+b=3,求

△ABC的面积S.

2016年04月06的高中数学三角

变换组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1.(2016•福建模拟)已知sin(x+-2L)=.1,则cosx+cos(―-x)的值为()

333

A.-立B.2^1C.-1D.1

3333

【考点】两角和与差的余弦函数.

【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值.

【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可.

【解答】解：cosx+cos(-^L-x)=cosx+-icosx+^Bdnx=&osx+^^sinx=A/§sin(x+-2L)=2^1,

3222233

故选：B.

【点评】本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式，属于基础题.

2.(2016端州一模)8$160°$山10°-$抽20-8$10°()

A.-近B.近C.」D.1

2222

【考点】两角和与差的正弦函数.

【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值.

【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可求出.

【解答】解：cosl60°sinl0°-sin200cosl00,

=-cos20°sinl0°-sin20°cosl0°,

="(cos20°sin10°4-sin20°cosl0°),

=-sin30°,

=.1,

故选：C.

【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题.

3.(2015•天津校级一模)若sin2a=Y^,sin(p-a)且ae［工，n］,pGfn.1，天］,

51042

则a+p的值是()

A.I2LB.12Lc.且L或L2LD.2■或空

444444

【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦.

【专题】三角函数的求值.

【分析】依题意，可求得。日昔，苧，2a&\2L,n],进一步可知n],于是可

求得cos(p-a)与cos2a的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案.

【解答】解：[工，n],pe[n,12L],

42

.\2aG[—,2rt],

2

又sin2a=^^>0,

5_

•••2呜与可，cos2asidza』一莘;

又sin(p-a)=2^^,p-aE[工，n],

102_

•••cos<3-a>=-71-sin2(P-CL)="苇^

cos(a+p)=cos[2a+(0-a)]=cos2acos(p-a)-sin2asin(P-a)=-

___510

,V5VVTO,V2

5102,

又ae[2L,2L],pe[n,12L],

422

/.(a+p)曰旦L2n],

4

.\a+p=I2L,

4

故选：A.

【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦,

考查转化思想与综合运算能力，属于难题.

4.(2015•保定一模)sinl5°-cosl5°=()

A.B.1C.-返D.-1

2222

【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值.

【专题】三角函数的求值.

【分析】利用两角和差的正弦公式，进行化简即可.

【解答】解：sinl5°-cosl5°=，^sin(15°-45")=J^sin(-30°)=-2^,

故选：C.

【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决

本题的关键.

5.(2015•江西一模)sinl35°cos(-15°)+cos225°sinl5°等于()

A.-2/1B.-1C.AD.近

2222

【考点】两角和与差的正弦函数.

【专题】三角函数的求值.

【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求

值.

【解答】解：原式=sin45°cosl5°-cos45°sinl5°=sin(45°-15°)=sin30°=.l；

2

故选C.

【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式

的特点，熟练运用.

6.(2015•哈尔滨校级二模)若向量a=(sin(a+—),1),(1,cosa-a±则

64

sin(a+A2L)=()

3

A.-返B.2ZIC.-AD.A

4444

【考点】两角和与差的正弦函数.

【专题】三角函数的求值.

【分析】利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可.

【解答］解：Va±b.

a*b=0,即sin(a+—)+cosa-^^=0

__64

KpVB>ina+-3；osa=通

224

即-Isina+^^cosa」，

224

即sin(a+—)

34

sin(a+AZL)=sin(a+-^-+n)--sin(a+^L)=--L,

3334

故选：c

【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的

诱导公式是解决本题的关键.

7.(2015•吉林校级四模)在△ABC中，若tanAtanB=tanA+lanB+l,则cosC=()

A.一返B.返c.-ID.1

2222

【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系.

【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan(A+B),将已知等式变形后代入求出tan

(A+B)的值，进而确定出tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定

出cosC的值.

【解答】解：VtanAtanB=tanA+tanB+l,即tanA+lanB=tanAtanB-1,

tan(A+B)=.3nB--],即tan(A+B)=-tanC=-1,

1~tanAtanB

tanC=1,即C=—,

4

则cosC-cos—

42

故选B

【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公

式是解本题的关键.

8.(2015•烟台一模)已知a,pe(0,n)且tan(a-B)=*,tanP=-i则2a-p=

()

【考点】两角和与差的正切函数.

【专题】计算题；三角函数的求值.

【分析】根据已知条件配角：a=(a-p)+0,利用两角和的正切公式算出tanatan[(a-p)

+P]——.进而算出tan(2a-P)=1.再根据a、P的范围与它们的正切值，推出2a-Be(-

3

n,0),即可算出2a-0的值.

【解答】解：：tan(a-B)=-^»tanP=—

•.•t*ana=tfan[r(<a-B)+eB1=--t-a-n--(--C-L----：p)--+--ta--n：B---------2----7------=—1,

l-tan(a-B)tanp1--X(-A)3

27

14

由此可得tan(2a-P)=tan[(a-p)+a]=,｛血(。---B)+tana___—\),=]

1-tan(Cl-P)tana1-lxl

23

又：ae(0,n),且tana=』Vl,

3

IT

.,.0<a<—,

4

ps(0,n),tanB=-1<。’

IT

2

因此，2a-(-TI,0).可得2a--n=-工2£.

44

故选：c.

【点评】本题已知角a-。与角B的正切值，求2a-0的值.着重考查了两角和与差的正切

公式、特殊角的三角函数值等知识，属于中档题.解决本题时，请同学们注意在三角函数求

值问题中"配角找思路"思想方法的运用.

9.（2015•大连校级模拟）已知向量短（sin9,-2）（1,cos6）（且ZJLE，

则sin2e+cos%的值为（）

A.1B.2C.AD.3

2

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】计算题.

【分析】由题意可得a-b=0,即解得tanB=2,再由

2

sin2e+cos2e』sinecose+cose/tanQ：1,运算求得结果.

cos20+sin201+tan20

【解答】解：由题意可得a•b=sin0-2cos0=O,即tan0=2.

sin2e+cos2e=Z-也旦分且U里8+!.=1,

cos29+sin261+tan20

故选A.

【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的

基本关系的应用，属于中档题.

10.(2015•江西一模)已知12sina-5cosa=13,则tana=()

A.-AB.-12c.士竺D.±-L

125512

【考点】三角函数的化简求值.

【专题】三角函数的求值.

【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到a=0+H+2kn,利用三角函数的诱导公式进

2

行化简求值即可

【解答】解：由12sina-5coscx=13,

得亚sina--5-cosa=1,

1313

设cos0=-12,贝ijsin0=_^_,贝ijtan°=sin8=且,

1313cos612

则方程等价为sin(a-6)=1,

则a-9=-ZL+2kn,

2

即a=6+E+2kn,W•则tana=tan(0+—+2kn)=tan(0+—)=——=-A?；

2222tan©5

故选B

【点评】本题主要考查三角函数求值，利用辅助角公式结合三角函数的诱导公式是解决本题

的关键

11.（2015春•沈阳期末）下列各式中，值为工的是)

2

A.sinl5ocosl5°B.-sir,2^

C0S

12n12

C.55°D,j1+C0ST

1-tan222.5°V2

【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正切.

【专题】计算题.

【分析】利用公式对四个选项进行化简求值，所得的结果是工的选项即为正确选项，A选项

2

可用正弦的2倍角公式化简，B选项可用余弦的2倍角公式化简，C选项可用正切的2倍角

公式化简，D选项中是特殊角，计算即可

【解答】解：A选项，5吊15。*8$15。=工皿30。=工，不正确;

24

B选项，co$2工一sin2三cos旦近，不正确；

121262

C选项，，拜5°-4Xtan450=上正确；

1-tan222.5022

D选项,不正确.

综上知C选项正确

故选C

【点评】本题考查三角函数的化简求值，解题的关键是熟练掌握三角函数的二倍角公式，及

特殊角的函数值，由此对三角函数进行化简.本题涉及公式较多，知识性强，对基本公式要

熟练掌握.

12.（2015秋•南昌校级期末）已知tanx=-2，贝siifx+Bsinxcosx-1的值为（）

2

A.-1B.2C.-2或2D.-2

3

【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系.

【专题】三角函数的求值.

【分析】化tanx=-■!为sinx二_2,得出，cosx=-2sinx.由sin2x+cos2x=l,求得sin2x=-l,

2cosx25

将原式化为关于sin2x的三角式求解.

【解答】解：tanx=-A,即sinx二一二cosx=-2sinx.

2cosx2

由sin2x+cos2x=l,得5sin2x=l,

・

sin2x=-1±

5

所以原式fin'x-6sin2x-1

=5sin2x-1

=-1-1

=-2

故选D

【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查公式应用能力，运算求解能力.

二.填空题(共15小题)

13.(2016春•南京校级月考)cos(a+p)=A,tanatan|3=A,求cos(a-P)=—-.

52—5~~

【考点】两角和与差的余弦函数.

【专题】三角函数的求值.

【分析】首先利用两角和与差的余弦公式以及基本关系式的商数关系，得到关于sinasinp、

cosacosp的方程解之，然后逆用两角和与差的余弦公式求值.

【解答】解：由cos(a+p)=A,BPcosacosp-sinacsinp=A(l),

又tanatanp=-l^2sinasinP=cosacosP@；

2

由①②得cosacosP=~,sinasinp=-l,

55

n1Q

所以cos(a-p)=cosacosp+sinasinp=—

55一5

故答案为：a.

5

【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用，属于基础题目.

14.(2016•凉山州模拟)设向量a=(3cosx,1),b=(5sinx+Lcosx),且a〃b，则cos2x=

7

9-1

【考点】二倍角的余弦；平面向量共线(平行)的坐标表示.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值.

【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x

的值.

【解答】解：,向量a=(3cosx,1),b=(5sinx+l,cosx),且a〃b♦,♦Scos,x-5sinx-1=0,

即3sin2x+5sinx+2=0,求得sinx=-2(舍去)，或sinx=-l,

3

则cos2x=l-2sin2x=l-2xi=X

99

故答案为：I.

9

【点评】本题主要考查两个向量平行的条件，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

15.(2015•张掖模拟)已知a为第二象限角，sinG+cosa二号，则cos2a=_-工^

33

【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系.

【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值.

【分析】由a为第二象限角，可知sina>0,cosaVO,从而可求得sina-cosa的值，利用

cos2a=-(sina-cosa)(sina+cosa)可求得cos2a.

【解答】解：••'sina+cQsa二正，两边平方得：l+sin2a=-l,

33

sin2a=-工:，①

3

(sina-cosa)2=1-sin2a=—,

3

・・・a为第二象限角，

/.sina>0,cosa<0,

sina-cosa=2/Z^,②

3

/.cos2a=-(sina-cosa)(sina+cosa)

=(一叵植

33

=_运

3_

故答案为：-近.

3

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sina

-cosa的值是关键，属于中档题.

16.(2015•天水校级四模)若cos?(a+?L)=A,贝ijsin2a=—.

46一

【考点】二倍角的正弦.

【专题】三角函数的求值.

【分析】由条件利用半角公式求得sin2a的值.

TT

1+cos(2a4—)

【解答】解：,•*cos2(a+—)=----------------------------=--iin2a=X

42226

贝!lsin2a=2,

3

故答案为：2.

3

【点评】本题主要考查半角公式的应用，属于基础题.

17.(2015•温州三模)已知sina-cosa=-l(0<a<~^),则sin2a=—，sin(2a--)

52-25-4

,31如

---------.

_50一

【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数.

【专题】三角函数的求值.

【分析】把所给的等式平方求得sin2a的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sina和

cosa的值，可得cos2a的值，从而利用两角差的正弦公式求得sin(2a-2L)的值.

4

【解答】解：；sina-cosa=1(0<a<'L),平方可得，1-2sinacosa=~L,

5225

..sin2a=2sinacosa=-ii-=.

25

由以上可得sina=~,cosa=~,cos2a=2cos2a-1=-一二，

5525__

.•”兀、.cKc.兀2曳7VL31V2

..sin(2a-——)=sin2acos——-coszasin------匕,

44425225250

故答案为：24；生反.

2550

【点评】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用,

属于基础题.

18.(2015•大连模拟)若$ina=2，则cos2a=_1_.

3一厂

【考点】二倍角的余弦.

【专题】计算题.

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sina的式子，将sina的值代入

即可求出值.

【解答】解：因为sina=L

3

2

所以cos2a=l-2sin2a=1-2x(A)=工

39

故答案为：I.

9

【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是

基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况.所以，在平

时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面.这样才能熟练驾驭三角

函数题.

19.(2015•闵行区一模)已知(―,n),sin--则cosB=_--.

22255-

【考点】二倍角的余弦.

【专题】三角函数的求值.

【分析】由Be（―,n）.sing-cosa=Y^,求出sin2。，然后求出cos20.

2225_

【解答】解：V0G（―,n）,sing-1-sin0=—,

22255

sin6=—,

5

V0e（?'n）'•,•cos0=_71-sin29='

故答案为：-且

5

【点评】本题考查二倍角的余弦，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号的正

确选取.

20.（2015春•黄冈月考）已知a为第四象限角，sina+cosa=2,则cos2a=3区.

3-9—

【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值.

【专题】三角函数的求值.

【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosa-sina=H再利用二倍

3

角的余弦即可求得cos2a.

【解答】解：:sina+cosa=2,①

3

两边平方得：l+2sinacosa=W,

9

2sinacosa=--<0,

9

・・・a为第四象限角，

.*.sina<0,cosa>0,cosa-sina>0.

cosa

•■•_sina=^1_2sinacosa=^②

...①+②可解得：cosa=2+下,

cos2a=2cos%-l=2x2-1=

_69

故答案为：2叵.

9

【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题.

21.（2016•苏州一模）已知9是第三象限角，KsinQ-2cos0=--.贝ijsine+cos9=-.

525~

【考点】三角函数的化简求值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值.

【分析】由已知得si/e+cos—n(2cos0--)2+cos20=l,由此求出cos。，进而求出sin。,

5

由此能求出结果.

【解答】解：是第三象限角，且sine-2cos3=-2,

5

/.sin20+cos20=(2cos0--)2+cos20=l,

5

解得cos0=-」■或cos3=W,(舍)

255

sin0=-、/T-(-_L)2=-

V25，25

sin6+cos0=--^A-.

25

故答案为：-里.

25

【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数诱

导公式的合理运用.

22.(2015•徐汇区模拟)若sinacosa=-』，a£(―,n),则sina-cosa=—

82-2

【考点】三角函数的化简求值.

【专题】计算题；三角函数的求值.

【分析】由已知先确定sina-cosa的符号，根据同角三角函数的关系即可求值.

【解答】解：VaG(―,n),

2

•*.sina>0,cosa<0,sina-cosa>0

・•・si•notcoso・t—一—1»

8

2=

'sina-cosa=^(sinQ-cosa)V1-2sinC[cosCC

故答案为：亚

2

【点评】本题主要考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基本知识的考查.

23.(2015秋•广安期末)若tana=2,则-cos。的值为__g_.

sina+2cosa4

【考点】弦切互化.

【专题】计算题.

【分析】把所求的式子分子、分母都除以cosa,根据同角三角函数的基本关系把弦化切后,

得到关于tana的关系式，把tana的值代入即可求出值.

【解答】解：因为tana=2,

则原式=2tepa_1.=2X2-1二心.

tana+22+24

故答案为：2

4

【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切，是一道基础题.

24.(2015春•邛江区期中)sin40。(tanl(T-«)=-1.

【考点】三角函数的化简求值.

【专题】三角函数的求值.

【分析】首先切化弦，然后通分变形为两角差的正弦公式，逆用化简求值.

【解答】解：原式=sin40°(sinlO。0

coslO73

2(-^sinlO°--^coslO°)

=sin400----Z-------------2-------------=2sin400sin(10°-60°)

coslO0

1=-2sin400sin500=_sin80°=_1;

coslO°coslO°coslO0

故答案为：-1.

【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；一般首先切化弦，然后配凑两角差的正弦公式,

逆用化简公式求值.

25.(2015春•宜城市校级期中)化简——1—M--4

cos20sin200

【考点】三角函数的化简求值.

【专题】三角函数的求值.

【分析】对己知通分，逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简.

【解答】解：

]_M_sin20°-炳cos20°2sin(20°-60°)=-2sin40°_

cos20°sin20°cos20°sin20°-1sin40"-1sin400

-4.

故答案为：-4.

【点评】本题考查了三角函数式的化简求值；利用了两角和与差的三角函数公式以及正弦的

倍角公式；属于基础题.

26.(2012•靖宇县校级模拟)tan35°+tan25°+Mtan35°tan25°=_Vs_.

【考点】两角和与差的正切函数.

【专题】计算题._

【分析】先令tan60°=tan(25°+35°)利用正切的两角和公式化简整理求得tan25°+tan35°=JV

(1-tan25°tan35°),整理后求得tan25°+tan35°+仃an25-tan35°的值.

【解答】解：：tan60°=tan(25°+35°)=tan250+tan350rj

1-tan250tan350

；.tan25°+tan35°=愿(1-tan25otan35")

tan25°+tan350+-73tan25°tan35°="\/3.

故答案为：A/3.

【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和公式的应用和二倍角公式的应用.考查了学

生对三角函数基础公式的理解和灵活一运用.

27.(2012•南通模拟)在△ABC中，若lanA+tanB+tanC=l,则tanAtanBtanC=1.

【考点】两角和与差的正切函数.

【专题】常规题型；计算题.

【分析】根据三角形内角和，可得A+B=n-C,从而tan(A+B)=-tanC,再由两角和的正

切公式展开，化简整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBlanC,由此不难得到要求的值.

【解答】解：；在△ABC中，A+B+C=n

A+B=n-C,可得tan(A+B)=tan(n-C)=-tanC,

由两角和的正切公式，得“毡空当L-tanC

1-tanAtanB

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB),即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

VtanA+lanB+tanC=l,

tanAtanBtanC=l

故答案为：1

【点评】本题在三角形中已知三个内角的正切的和，求它们的积，着重考查了两角和的正切

公式和诱导公式等知识，属于基础题.

三.解答题(共3小题)

28.(2016•宝山区一模)设a、b、c分别是△ABC三个内角/A、NB、NC的对边，若向

量会(1-cos(A+B),cos-^—<n=(-|,物^^)且二1揖

ZoZo

(1)求tanA*tanB的值；

(2)求：bsjnC的最大值.

a+bc

【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算.

【专题】三角函数的求值.

【分析】(1)由m•n=2化简得4cos(A-B)=5cos(A+B),由此求得tanA・tanB的值.

8

(2)利用正弦定理和余弦定理化简为atanC，而

tan(A+B)二tanA+tanBQ(tanA+tanB)，利用基本不等式

1-tanAtanB8

求得它的最小值等于旦从而得到tanC有最大值-苣，从而求得所求式子的最大值.

44

2

【解答】解：(1)由m.n=2得至[1-cos(A+B)]+cos—...(2分)

8828

即-j[l-cos(A+B)]+】+cos,-B)竦,

o28

亦即4cos(A-B)=5cos(A+B),即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB...(4

分)

所以，9sinAsinB=cosAcosB,求得tanA