中学数学教学案例分析(二)

中学数学教学案例分析

龙江中学汤乐政

案例

【敖案殁孙说明】

1、不面向量作为一种工具，在中学被君中有番重要的作用。华面向事具有一套反粉的运算触质。

左实隆的数当中或杷手面向量的概念及运用植质作名基砒，向量的应用作名;铁，逐步薮悉山向量省

工具，杷几何问敢转化为简单的向量运算，变柚彖的逻.精椎理疗身体的向量也工。洋节薛通述平面向

堂送一章象打，帮助考丈梳理净打过的知积，异杷向建号三角、檄列、解瓜摺合起未，提龙学2保合

解敢健力。

2、山考或名：信.，问题探索名至依，体现二豳裸改的理念。敖师激发学史的学灯五劭楹，句学

或提供克台从事被当活劭的枇会，麻助他们左©五探索与合作衮潦的过程中，虞正理解和把握泉峰的

数皆知也与技惋、数学思想为方依，获得广泛的教学活劭经验。学史是檄学学灯的五人，敖师是撤学

老灯的俎瓢老、引颂老石合作老。由本座数老段是我重点班彼，学2具才一定的探究犍力，因而，中

缁的核孙：要在给变名2专司方式、楮条探究悔力方面作一番依。

[<<]

【敖学南客】新得标必修4第二聿(布三复灯褓1

【见在■&技怩】句型的概念及运算法则.

【过程惚力易方法】

数考日林，杷提向号的运算德则畀惋应用.

敖当重点，向量的徐合成用。

数省难直，用向量如拥，实现几何与代起之间的塔价转化。

惋力依可，“Z向型的通代数导几何之间的侨梁，格本当或糠合今折问题解决问教.的惋力。

【态盛情或片价值观J

在向量保合应用的激学过程中,读透教形给合思怨及号价转化思想，语入学史思依的广阔也打产援

假。

【敖学模式】探究付给式

【探究过程】

一、加在梳理，颜备铺垫

/.平面向量的表示方彼，几何法写坐标法。

几何故是用句聋叔去和方向来表示不面向量,生标注是用有序实数对未索求洋面向量。

平面向G一向修，迷有下列表示方法.•

用与之龙俵服索向量5表乐，”高@cR).

彳=,不+%&(0,耳是华而基怠,,%,X2G^).«=A7+)J(x,yeR)

2向量域标运算法则,■

(f)iia=(x„y,),b=(x2,y2).Si]万±5=(占±x?，x±y?)

(2)ka=(kxl,'kyl'),a-h=xtx2+y,y2

工、概念将析，丸曲提方

下列命费中正确的是()

考万/口5/1则若丽星丽是共孩向堂，则/,第e.Q四直於共残；

用|通1=2,1①1=1,则AB>CD.

若万=5,则4/5.

〔日的左亭聚助学或春清较易屉清的几个问敢，帮助学成区利中面向量优质易不而几何取质。〕

下列命题中是为命敦的是/写出虞命耍本号)

(/)\a-b\=]a\-\h\(2)a-b=a-c[a^0)b=c

(3)(ab)c=a(h-c)(4)若|万|=|51则M=±5

〔帮助玲幺区别向量健质写实数想质。〕

已知向遛■万=(l,2+x),5=(3-x,x-3),且4/5,才;x的值。

〔聚助老丈理解&/方的充要条件是4%-NX=。，防止漏解。〕

在等边中,iS.BC=a,CA=b,AB=c,ah+hc+caft.

〔投变成向重数量利计事中夹角大小.〕

已知,(3.7).(5.2)将通按句量4=(1,2)中移后所得向量的金根是()

(M(f,-7)(W(2.-5)(e)(10.4)CD)(3.-3)

〔邪助老幺合循点港向•1华移嗡后生根变化条条，而向量不移后昌原向奉相博。〕

保合成用,升华梃龙

许，几何问敢，用向量耒解决米得荀煌方便。左数当过福中，引导老或不所体会，徽给怩热优应

用句磅来证实两贡依年竹、垂直、两直依夹角，利用句量得到是比合点公式，两点胆褥公式，平移公

式，正金稔定理塔，同时忘秋当中灌堂向蜃号三角版激、复救、熬列、解人的稼合应用。

例t.^x,yeR,i,j%1.初坐林华面向x,.y轴正方向上的单位向量。考向量万=x:+(y+2)],

a=xT+(y-2)J，且|万|+15|=8

(I)点点M(x,y)的轨迹方程,

(2)过直(0.3)作直长/导曲俵C衮4A,B鬲支，^OP=OA+OB,是否得左逢洋的直俵/,

使四边形O4BP是矩形。若存在，或出/方程；若承启在，德说阚理由。

探究思路，⑦引导老幺今析I6|+|5|=8的几何意义。

②才ijfcM直的轨迹方程——■F=1.

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@OP=OA+OB=>四边彬O48P是平行四边形「

若O4BP是矩形，则函•而=0=%%+乂为=0.

〔为提方学士老灯保究健力，裾堂老或自至今折、探究，数去适时宜被.〕

例2.已知检点M(-l,0),N(l,0),AP使9•丽，丽■•丽，时而取公差小小黎的笄差数列.

(1)支P的礼选是什么曲俵:

(2)若直P的法标是a,%),6名而与两与的夹角，求tan/

以敖帅的引导下，当2自：探索由下冏盛.「

由M,N,P三直坐标表示上述同磴.

由丽•丽，丽■.丽，而不而是公麦疝孑零的多麦数列普价本

22

v+v-1=2("+1)(1-x)r2.v2_o

<J2={,一=点「的触迹是超原点,图M.6名坐彼的右坐互

2(l-x)-2(l+x)<0[x>()

四、反俄拣动，丸国提方

已加点M(l+cos2x,l),N(l,gsinx+a)(xe尺a是希态J且y=OM-ON(O为卷标度些).

(1)京y关4x的备数主系或)，=/(x);

jr

(2)若xe0,—时，/(x)的量丈值％4,求“的值。

己加帝数”>0向^^=(“,0),『=(1,0),过原玄。越3+万名方向向蜃的直依与经过定支A=(0,a)

“，?'-2〃为方向向量的直侬会手点P,其中被冏，是否方左鬲个兔支已尸，使得|PE|+|PF|

%是俊，若有忘，才:出E,F的皮根；若不存在，说明理由。

五、教老友思，旧的心秸

洋节锦对曲量皋中概念，运算法则作了梳理，强化对向量和句堂运算法则博知也的理解，覆专知

积的联系。老灯向量的运算弦则时应与数式运算法则相比簌，演变向量与其它学科知孤的保合应用。

对有福的强此一步反思，找出其实质犍南整。

【立布

/.我老@粽适切，杷握有度

数当®根是教学的思足点.出发点打积冬点。徼者国免能定的放老可林，通这一俎税念将析敢，

抑旅共同®忆概念，根理扣在。领验的核计，由废人深，层层稚城.，第4观进人⑤期。其间，由学2

多层法、多角或比簌自然的今折向赍鞋质片羊面几何犍质、实熬鞋质的区别，优法的老丈条理帝楚、

思娥破麦，一根的当眩也有自己的或狼。左敷师理呦辕理当2的戚累之后，引导同学保索向量左

牛面几何及解析几何中的定用。两道徐合京用敦迄群恰冬,克今体现了向量作名代数易几何之间的桥

梁作用，很巧地淤透了照形秸合思想，格入了厚土黑旗的广阔犍和深钏鞋，鼠功地完我了数学但务，

实现了情盛日标。徐上所述，洋褓数当目标贯彻到住，杷梃恰到四处。

2、敖老模式伶名,引人入胜

“悌究封卷式”是一种帘用的裁当方法。然而，漳锦棵索”向噌的爱用”却颇有雍盛，尤其是几

何与代数之间的问驳箝化。，了突破送一难点，首先复灯闿扣徐，颜备铺垫，接着核料简单的几何图

形中的代数或值间敢。数抑忘恩怨方位上的直城，思雍层法上的述证，优当?合事自己戚累的乐趣，

体现了“老丈是鼎皆老司的；人，数师是数皆学引的俎捐者、引颂者易合作者。”的数学理念。整小

致当世讨，思路请也,层次箝换自隹，点拨及时，前就流畅，引人入胜。

3,传现先进理念,合作探索

建构主义认为：学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的学习，一种知识的重组或重新建构

的过程。因此，学习方式的转变，对学生的学习至关重要，也是二期课改成败的要害。本课注重学生

学习方式的转变，教者适时点拨，发现问题，培养探索精神。从轻易混淆的性质入手，让学生发现问

题，出现迷惑，接着，对向量平行充要条件的研究，培养了学生思维的深刻性，通过概念的辨析，使

学生对向量有了更深的理解，此时推出综合应用题，过渡自然，符合认知规律。同学探究，思维得到

进一步的升华，攻克难点，培养了合作精神。通过展示研究成果，让学生感到爱好盎然而布满探索求

知的愿望，学生的主体地位得到了淋漓尽致的发挥。体验成功的喜悦，分享快乐，提高了学习的积极

性。

熟知，课堂教学“以教师为主导，以学生为主体”这句话好说难做。如何落在实处，本课做了有

益的尝试。案例的设计，具有时代气息，以问题为先导，直接引导学生进入思考的境界。教案的设计

说明，体现了教者“以学生发展为本的教学理念”。该教案有些地方还需改进，但仍有很多可圈可点

之处，不失为一份体现二期课改理念的教学案例，值得探究。

教学反思：设疑的作用

反思：

在数学教学中，教师根据课堂情况、学生的心理状态和教学内容的不同，适时地提

出经过精心设计、目的明确的问题，这对启发学生的积极思维和学好数学有很大的作用。

在近几年的教育教学研究活动中，我听过许多学科的课堂教学，经常会看到一些教师在

课堂教学中能很快使学生带着一种高涨的、激动的和欣悦的心情从事学习，给我留下了

深刻的印象。本文就高中数学教学设疑谈谈自己的浅见。

一、教学要从矛盾开始

教学从矛盾开始就是从问题开始。思维自疑问和惊奇开始，在教学中可设计一个学

生不易回答的悬念或者一个有趣的故事，激发学生强烈的求知欲望，起到启示诱导的作

用。如在教授等差数列求和公式时，有位教师先讲了一个数学小故事：德国的“数学王

子”高斯，在小学读书时，老师出了一道算术题：1+2+3+……+100=?,老师刚读完

题目，高斯就在他的小黑板上写出了答案：5050,其他同学还在一个数一个数的挨个相

加呢。那么，高斯是用什么方法做得这么快呢?这时学生出现惊疑，产生一种强烈的探究

反响。这就是今天要讲的等差数列的求和方法一倒序相加法……。

二、设疑于重点和难点

教材中有些内容是枯燥乏味，艰涩难懂的。如数列的极限概念及无穷等比数列各项

和的概念比较抽象，是难点。如对于0.6=1这一等式，有些同学学完了数列的极限这一

节后仍表怀疑。为此，一位教师在教学中插入了一段“关于分牛传说的析疑”的故事：

传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19头牛分给三个儿子。老大分总数的

1/2,老二分总数的1/4,老三分总数的1/5。按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀,

只能整头分，先人的遗嘱更必须无条件遵从。老人死后，三兄弟为分牛一事而绞尽脑汁,

却计无所出，最后决定诉诸官府。官府一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推

了之。邻村智叟知道了，说：“这好办!我有一头牛借给你们。这样，总共就有20头牛。

老大分1/2可得10头；老二分1/4可得5头；老三分1/5可得4头。你等三人共分去19

头牛，剩下的一头牛再还我！”真是妙极了！不过，后来人们在钦佩之余总带有一丝怀疑。

老大似乎只该分9.5头，最后他怎么竟得了10头呢?学生很感兴趣，……老师经过分析

使问题转化为学生所学的无穷等比

数列各项和公式S=人

乙乡

(|q|G)的应用。寓解疑于趣味之中。

三、设疑于教材易出错之处

英国心理学家贝恩布里奇说过：“差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的。”

学生在学习数学的过程中最常见的错误是，不顾条件或研究范围的变化，丢三掉四，或

解完一道题后不检查、不思考。故在学生易出错之处，让学生去尝试，去