高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 15 导数与极限 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题15导数与极限真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2018•全国•高三竞赛）一个人以匀速6,去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车

25加时，交通灯由红变绿，汽车以l/n/s,的加速度匀加速开走，那么（）.

A.人可在7s内追上汽车B.人可在10s内追上汽车

C.人追不上汽车，其间最近距离为D.人追不上汽车，其间最近距离为7m

2.（2022•全国•高三专题练习）设E（x）是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可

能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.£（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞f2（X）sin（£（X））

二、填空题

3.（2021•上海•统考模拟预测），吧加+2++〃=

4.（2019•全国•高三竞赛）函数丫=半44（£€1，17的最大值是_____

1+cosaI\2））

5.（2018•全国•高三竞赛）对0＜x＜l,若复数z=4+对应的点有"个在单位圆

上，则"=.

6.（2018•全国•高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为小、〃、心则函数

y=；机/-三f一度+1在［1,+«＞）上为增函数的概率为.

7.（2018•全国•高三竞赛）已知函数f（x）=d（sinx+cosx）,其中，xe一生产，殁工

过点，。）作函数“X）图像的切线，令各切点的横坐标构成数列｛七｝.则数列

｛x„｝的所有项之和S的值为.

8.（2021•全国•高三竞赛）若数列｛%｝是首项不为零的等差数列，则

lim，〃+1++4〃;

“Tg4+出++4

9.（2022•江苏南京•高三强基计划）设To,?,则函数『irxcosx的最大值为

10.（2022•浙江•高二竞赛）已知函数）'=6"+^在（°，〃°））处的切线方程为

3r

y=--->则a+b=.

11.（2019•全国•高三竞赛）已知过点（0,2）的直线/与曲线C:y=x+g（x>0）交于两不

同的点M、M则曲线C在M、N处切线交点的轨迹为.

12.（2019•全国•高三竞赛）设则当y="与y=10g〃X两个函数图像相切时，

Inina=.

13.（2019•全国•高三竞赛）设函数“x）=xlog2X+（a-x）log2（a-x）的图像关于直线

x二对称.则对满足=1的任意实数x;e（O,l）（l</<4）,s=fxjog?x,的最小值为

2/=1i=l

14.（2019•全国•高三竞赛）满足（1+工]=[1+—|的整数n=__________.

Vn）I2014；

15.（2018•全国•高三竞赛）己知函数/（x）的导函数连续，且"0）=0,.[（0）=4.记

曲线y=/（x）与P&0）最近的点为Q、,f（s））.则!如：=.

16.（2022•江苏南京•高三强基计划）己知直线丫=办+2与三次曲线y=x3-or有三个不

同交点，则。的取值范围为.

17.（2021•浙江•高三竞赛）若玉In玉=x?In,x,<x2,I=工百+々+2J-）,keZ,

则《=.

三、解答题

18.（2021•全国•高三竞赛）已知三次函数/（外=-丁+以2+"+。（。力,。€/?）,满足对任

意xe[-2,2]都有|/（x）区2,求以。、c的所有可能直

19.（2023•全国•高三专题练习）求下列极限：

（1）limX2ln[14--|-x；

xe|_vx）

J--L

⑵阿FT。「;

x->0

(3)「In(l+x+x2)+ln(l-x+*2)

iosecx-cos%

2（）.（2019•全国•高三竞赛）已知〃x）=W!3D,g（x）=S.求最大的正整数鼠使得

XX+1

对任意的正数*存在实数a、当满足—l<a<b<c,且〃c）=/（a）=g（3.

21.（2022•湖北武汉•高三统考强基计划）已知函数了（力=2/+3依2+6（3-a）x+2022m

若〃X）是区间［-2,2］上的单调增函数，求实数”的取值范围.

22.（2019•全国•高三竞赛）在锐角△ABC中，证明:

11111

(sinA+sinB+sin----+----71—十—十—

sinBsinCABC

23.（2018•全国•高三竞赛）已知实数x、>满足2'+二=4'+4'.试求U=8'+8v的取值

范围.

24.（2019•全国•高三竞赛）已知函数““二幺一勿少与g（x）=—f-1,的图像有两条公

切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.

25.（2023•全国•高三专题练习）实数”,4c和正数X使得“力=》3+/+6x+c有三个

实数根为,马，玉.且满足：（1）（2）X3>|（X,+X2）,求2优+27：-9一的最

幺71'

大值.

26.（2023•全国•高三专题练习）设函数/（万人/一人+以:一⑪之,

⑴若"0）=0，=（“为常数），求/（x）的解析式；

⑵在（1）条件下，若当X20时，/（x）Z0,求。的取值范围.

27.（2019•江苏•高三校联考竞赛）证明：对任意xG（—8,0）U（0,+8）,

lz.....^5-1...1,I2<111>/5+1

max{(),ln|x|}...——y=-ln|x|4--^=lnx-14--in-,--且--等号成立的充要条件是

2yl52V522

2

］4

28.（2018•全国•高三竞赛）己知正实数〃、。满足部+341a2+2b2<\5.求a+A的

取值范围.

r+1I2

29.（2018•全国•高三竞赛）已知函数〃x）=7r;.记函数〃x）的值

域为A,且实数。、b、ciA.证明：abc+4>ab+bc+ca.

30.（2018•全国•高三竞赛）记区表示不超过实数x的最大整数.证明:

（1）方程H+xi+w的解为整数；

（2）方程［丁］+/=/+12］有非整数解.

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题15导数与极限真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2018•全国•高三竞赛）一个人以匀速6%/s去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车

25加时，交通灯由红变绿，汽车以l/n/s,的加速度匀加速开走，那么（）.

A.人可在7s内追上汽车B.人可在10s内追上汽车

C.人追不上汽车，其间最近距离为5mD.人追不上汽车，其间最近距离为7m

【答案】D

t详解】如图，设汽车在点C开始运动，此时人通过点A.经过f秒后，汽车到达。点,

有路程8=

.4CBD

人此时追到点B,有路程AB=vt.

1119

依题意两者的距离是5=/^7+8-48=25+5。/-5=5/-6/+25=5。-6）-+727.

可见，人不能追上汽车，他与汽车最近距离是在汽车开动6s后的瞬间，两者距离为7m.

2.（2022•全国•高三专题练习）设E（x）是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可

能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（f（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.£（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））

【答案】A

t分析】根据各选项的期望，分别判断y=x+lnx、yZinx、尸x+sinx、y=/sinx

在定义域内是否存在下凹区间即可.

【详解】A：由y=x+lnx且定义域为（0,+℃）,则y'=l+4，y"=-＜0,即V为上凸

XX

函数,有J+Inxq々+lnw+所以E（X+lnX）＜E（X）+ln（E（X））：

B：由y=flnx且定义域为（0,+8）,则y'=2xlnx+x,y〃=21nx+3,显然（—,+8）上

Z＞0,即V在（/,+8）为下凹函数，、.斗；巧E”＞（土产）2皿gi,所以存在

E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））；

C：由y=x+sinx,则y'=l+cosx,y"=-sinx,显然在［（2Z-1）冬,2fcr］,^eZ±/＞0,

即J在［（22-1）肛2Z乃］,%eZ为下凹函数，有*+注+.+如々＞土也+sin士也，

222

所以存在E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））：

兀

D：由yu/sinx,PPJy'=2xsinx+x1cosx,y"=（2-f）sinx+4xcosx,显然存在（0,万）

k/＞0,即y在（O,马为下凹函数，有三包1士宝则&＞（±±三）*出土出，所以

2222

存在E（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：利用函数二阶导数的几何意义判断各选项对应函数定义域内是否

存在下凹区间即可.

二、填空题

3.（2021•上海•统考模拟预测）1而/*=______

・3杵。1+2++n

【答案】272

【分析】把分子分母都放在根号下，再同时除以/即可.

lim2〃+1.辰刁亦

［详解］如川+2++〃一=产=也「1=2垃

V2后+二

故答案为：20

4.（2。19•全国•高三竞赛）函数尸喉箸卜（呜［的最大值是一

【答案】『石-11

【详解】设x=cosa|aw.则x«0,l).

12

由金.\-X-X

得

令y'=o.解得工=苴』（舍去负根）.

2

故答案为，吟n

5.(2018•全国•高三竞赛)对0<x<l,若复数z=4+对应的点有"个在单位圆

上，贝！］〃=.

【答案】1

【详解】由点在单位圆上有x+sinx=l(O<x<l).

作函数9(x)=x+sinx-l(xe(0,l).

由e'(x)=1-cosx>0(xG(0,1)),知尹(尤)为严格递增函数.

又9(0)=—”0,9(l)=sinl〉0,故方程x+sinr=l在(0,1)内恰有一个实根.

因此，/2=1.

6.(2018•全国•高三竞赛)抛一颗色子三次，所得点数分别为阳、及、P.则函数

y=|〃涓-］X?-内+1在［1,+»)上为增函数的概率为.

【答案喘

【详解】注意到，/(X)=g〃V-］x2-pX+l

在［1,+8)上为增函数等价于/'(x)=2/nv2-nx—p>0

在上恒成立，等价于:⑴>0,即2%>“+p.

当，"=2时，n+p<3,有3种；当机=3时，n+p<5,有10种；

当机=4时，n+p<7,有21种；当机=5时，〃+049,有30种；

当m=6时，n+p<\\,有35种.

।,pi|.3+10+21+30+3511

故所求概r率?为------1----=—.

7.(2018•全国•高三竞赛)已知函数〃x)=/(sinx+cosx),其中，xe----六,一.

过点作函数/(x)图像的切线，令各切点的横坐标构成数列｛七｝.则数列

｛%„｝的所有项之和S的值为.

【答案】1006乃

【详解】设切点坐标为(为,/卜皿,+82)).

则切线方程为y-e'1'（si啄+coM））=2e*cos%-（x-为）.

将点M,0的坐标代入切线方程得

x"）

-e（sinx0+cosx（））=2e/cosx（）•玉）

冗

=taru：（）+1=2x（）-=tanx（）=2

令y=tanx,y2=2

则这两个函数的图像均关于点oj对称，其交点的横坐标也关于X=］对称成对出现,

方程tanx=2（x-纵xe-丑尸,皆刊的根，即所作的所有切线的切点横坐标构成

的数列｛玉｝的项也关于a对称成对出现，在卜丝产,空|包）内共构成1006对，每对

的和均为〃.因此，数列｛七｝的所有项的和5=1006万.

8.（2021•全国•高三竞赛）若数列｛4｝是首项不为零的等差数列，则

lim"的+4+2++出〃=

184+%++an

【答案】1或3##3或1.

【详解】设数列｛〃.｝的前〃项和为S”，则

lim"〃+i+〃“+2++^n=_]+]淅^2IL,

“T84+。2++4"T8S““T0°Stl

若｛叫为常数列，则则2F=T+2=1;

2q+2（21）xd

若｛«„｝不为常数列，则1而注劣=-l+lim^=-l+lim'2——=3,

I7”T8Y”一＞00V8（/7—1I

”"a.+^——"

'2

故答案为：1或3.

9.（2022•江苏南京•高三强基计划）设则函数y=sir?xcosx的最大值为

【答案】平

【详解】y=sin2xcosx=-cos3x4-cosx,

令r=COSX£（0,l）,所以y=-/+E,

y'=-3t2+1,

时，y<o,

上减,

+-/J+方在（OJ（O））处的切线方程为

10.（2022•浙江•高二竞赛）已知函数丫="”

yjX+1

3Y

y=,则a+Z?=

【答案】-1

13

【详解】由函数的解析式可得y'=-ae-M--（x+Ip,

]3

则）1。-r-r解得a*'

4x

当x=0时，j=-y=o,即切点坐标为（0,0）,

故e"+意+武°,解得匹2

...。+Z?=-1.

故答案为：-1.

11.（2019•全国•高三竞赛）已知过点（0,2）的直线/与曲线C:y=x+g（x>0）交于两不

同的点M、N.则曲线C在M、N处切线交点的轨迹为.

【答案】x=i,i<y<2.

【详解】设N（w，%）,点M、N处的切线为《、12,交点坐标为网年,3）,

直线/的方程为，=丘+2.

y=X__1

由，/=>（4一1）工2+2x—1=0=A=4+4（Z—1）>0=A>0.

y=kx+2

21

而X[+々=--->0,=--->00<左<1.

\—kl—k

1.112

易知4的方程为y-y=12XH--,

2

同理，仁》1-Xd---.

i%

故占*々，牛=jg-=1.

又"=；<2-11

+2+-kxp+2=2-k=>\<yp<2.

1％X〉

故所求交点的轨迹为x=i,i<y<2.

故答案为x=l,l<y<2.

12.（2019•全国•高三竞赛）设a>l.则当）>="与y=】Og〃X两个函数图像相切时,

InIna=

【答案】-1

【详解】因为两个函数互为反函数，且关于直线y=x对称,

所以，相切时切点在y=x上.

设切点为（％,%）.则

X。3，①

a"Ina=1.②

将式①代入式②得=即In*=l.③

再将式①代入式③得1叫=1=%=e.

故Ina=—=>Inlntz=-1.

e

13.（2019•全国•高三竞赛）设函数〃力=月唱］+（"小唱（。-力的图像关于直线

144

X=：对称.则对满足=1的任意实数X,.6（0,1）（14i<4）,s=>0崎玉的最小值为

21=1J=I

【答案】-2

【详解】由题意，知定义区间（0,。）的中点为于是，«=1.

则/（x）=xlog2x+（l-x）log2（l-x）

n/'（x）=log2

令尸（x）=0,得x=

由对任意的Xd0，』有尸（X）<o,及对任意的Xe弓，1）有了'（X）>o

知/（5„=旧）=-1

记％+W=XG（0,l）

则七+匕=1-X€(O,1)①

由五+区=1,得21。82三+二10g,2=/(五)2一1

XXXXXX\x)

即x1log2^I+x2log2x2>-x+xlog2x.

类似地，由式①I*巾Og2$+X4log2x4>-(1-X)+(1-x)log2(1-X).

两式相加得fxJogM>-l+/(x)>-2.

i=l

当X|=占=w=匕=；时，上式等号成立.

故Smin=-2-

故答案为-2

14.(2019•全国•高三竞赛)满足。+!厂=。+—!一『4的整数n=__________

II2014；

【答案】-2015

【详解】注意到，对任意的有441n(l+x)4x

则/(x)=h+ij(x>0)与g(x)=(l+；|(x>0)的导函数分别为

故〃x)在区间(0,”)上递减，g(x)在区间(0,y)上递增.

且对任意的xw(0,+°o)有〃x)>e>g(x)-

n/有(1+*'

从而,对任意的m、>e>\1+—

Im

因此，满足(1+：J,=(1+”的整数n必为负数.

记〃=-%(Z:GZ+),

故1=2014,»=-A:=-2015.

故答案为-2015

15.(2018•全国•高三竞赛)已知函数/(x)的导函数f'(x)连续，且/(0)=0,/(0)=。.记

曲线y=f(x)与尸。,0)最近的点为。(5,“$)).则limy=.

1

【答案】

【详解】记y=PQ2=（x-y+f⑺.则/=2（x-?）+2/（x）/'（x）.

由已知得2（sT）+2〃s）/（s）=0.

则［=i_f（s）［（s）=/，（，）①

记lim-=A.而lim£^=/"（O）=a,故旧/'（s）=".

10tSTOsJ'/sf

1q1

对式①两边取极限得A=1-"A=A=^—-=>lim-=—

1+矿20f1+（7

16.（2022•江苏南京•高三强基计划）已知直线y=or+2与三次曲线y=*3-以有三个不

同交点，则。的取值范围为.

【答案】（|收）

【详解】依题意得：如+2=》3一仪,即*3=2以+2有三个不同解，

考虑y=2ax+2与y=d相切于尸（知儿）.

结合图象可知：”你引，

故答案为：（|，+8）.

17.（2021•浙江•高三竞赛）若xJnX|,x,<x2,上=^|（西+々+2喜号），kwZ,

贝lj左二.

【答案】3

【详解】解析:由题意知设£=&=>「=产,>=产111/=2产hu,

问题转化为:若片加乙=fjm々,求k=g（1+ti+2串2）=|&+%f，

即？=产Inf与y=a的图象的两个公共点的横坐标设为求4+：2的范围;

，所以上=3.

故答案为：3.

三、解答题

18.(2021•全国•高三竞赛)已知三次函数/(xlM-x'+a^+^+cm.^ceR),满足对任

意x«-2,2］都有|/(x)区2,求久b、c的所有可能值.

【答案】a=c=O,b=3.

【详解】由题意得：

-24/(2)=-8+4a+26+c42,①

-2</(-2)=8+4«-2&+c<2,0

-2</(I)=-1+a+h+c<2,(3)

-2</(-I)=\+a-h+c<2,④

由①—②,③-④得：

I14--16+40“44,咋f3<*-<5,3所以

将6=3代入①，②，③，④得：

0<4t7+c<4,

-4<4a+c<0,f4。+c=0,

<=><n〃=c=0.

-4<«+c<0,+c=0,

0<«+c<4,

下面证明/(x)=r'+3x符合题意，

由f\x)=-3x2+3=-3(X4-1)(X-1),

令r(x)>0=—l<x<"(x)<0=x<-1或X>1,

所以/（X）在卜2,—1],[1,2]单调递减;在[-1,1]单调递增,

且2）=2,/（-1）=一2,/（1）=2，〃2）=-2,

所以/（X）=-x3+3x符合题意，

a、b、c的所有可能值为a=c=0,/2=3.

19.（2023•全国•高三专题练习）求下列极限：

（l）limx2ln[1+~|-x；

XT81IXJ

⑵触击eJ

⑶limW+x+xAWi+x）

5secx-cosx

【答案】（1）-；

⑵。

（3）1

【分析】（1）先将题给代数式转化为苧型分式，再利用洛必达法则即可求得其值;

（2）先将题给代数式转化为艺型分式，再利用洛必达法则即可求得其值；

00

（3）利用已知重要极限和洛必达法则即可求得其值.

【详解】（1）令/=1,则

X

limx2ln|1+—|-x=lim+

r—k-v,IvIJ''*

由洛必达法则可得,

lim她上£_L_i

=lim_Ltl_二iiT=Hm7、

/->0广m

一()2t2r(l+r)-。20+，)2

则limx2Inf1+—=--

x)J2

(2)令,=*，

则lim—、'=limr50e-/=lim二

XTOx/->+oo/->+<»e'

产SO产

由洛必达法则可得，lim二=lim”.

SO/49501

继续用洛必达法则可得，lim=—=L=Iim券=0.

则lim^-e>=0

DX(M)

(、)In(l+x+x2)+ln(l-x+x2)ln^l+x2)-x2ln(l+x2+x4

zsecx-cosx―黑a”丫…secx-cosx

oW人LU〉人

又〃.0时，ln(l+〃)〜〃,

则lim"""")=11m炉+d

z°secx-cosxsecx-cosx

由洛必达法则可得,

x24-%4i.2x+4x3x2+4x~

lim—=hm-------------------；~；=lim-----------彳——=1.

i->°secx-cosxsecxtanx-1-sinx)sinxsec-x+l

.In(l+x4-x2)4-ln(l-x4-x21

则nlim」-------』—-------1=1

XT°secx-cosx

20.(2019•全国•高三竞赛)已知/(x)=">/+l),g(x)=S求最大的正整数％,使得

XAil

对任意的正数C,存在实数a、％满足一1<a<b<C,且/(c)=/(a)=g(6).

【答案】3

【详解】对于正整数h显然,g(x)==1在区间(L+8)上为减函数.

于是，对任意的正数c,〃c)=g㈤>g(c).

当x>0时,不等式f(x)>g(x)o1<(x+l)[l[n(x+l)】①

令Mx)=(x+l)[l+ln(x+l)[q>o)，则//(%)=l,(x+l).

Xx

令9(x)=x_l_ln(x+l)(x>0)^lJd(x)=^-j'>0.

故夕（x）在x>0时为增函数.

又°⑵=1-ln3<0,9⑶=2-ln4>0.

因此,存在唯一的正实数吨，有?（题）=毛T-In（题+1）=0.②

于是“（动=0，且%〃（2,3）.

故当XG（0,$）时,〃（x）为减函数：当xe（M，+oo）时,〃'（x）>0,%（x）为增函

数.

因此当x>0时，结合式②有"（X）的最小值为力小）=为+1«3,4）.

结合式①有正整数,/M3.③

下面证明：当无=3时，对1<XVO,有〃x)<g(x).④

当l<x<0时，f(x)(g(x)ol-2x+(x+l)ln(x+l》0.

令4%)=1-2》+(%+1)皿_¥+1),其中,1<》<0.则?''("=111(_¥+1)-1<0.

故T(X)(-l<X<0)为减函数.于是,T(X)>T(O)>0.

因此，式④成立.

注意到,g(x)=-^y(xe(l,+oo))的值域为(0,+co),

/(x)=l+，"(x+l)(x©(0,+8))的值域也为(0,+oo),

f(x)=l+加,±1)卜€(一1,0))的值域为R.

结合函数的图像，知对任意的正数C,存在实数a、b满足<匕<c,且

/©=/(a)=g(b).

综上，正整数人的最大值为3.

21.(2022糊北武汉•高三统考强基计划)已知函数/(x)=2d+3加+6(3-a)x+2022a.

若/(x)是区间［-2,2］上的单调增函数，求实数。的取值范围.

【答案】［-7,2］

【详解】由/(》)=/+3.2+6(3-。)工+2022。，

则f(x)=6(x?+or+3-a),

又/(x)在区间［-2,2］上是单调递增，所以f(x)“，

即X"+ax+3—ci>0<=>a(x—1)+3>—X2在区间［—2,2］上恒成立.

如图所示，考虑过定点P(1.3)的直线y=a(x-1)+3和抛物线y=*在［-2,2］上的两个

临界位置:

当直线、=。（》-1）+3与抛物线丫=-》2相切于人点时,

有-4（3-。）=0=a=2（舍去负值）.

当），=a（x-l）+3与抛物线y=-Y相交于B（2T）点时,

有a=*=［；）=-7

综上可得，实数。的取值范围是[-7,2].

22.（2019•全国•高三竞赛）在锐角△ABC中，证明:

（sinA+sinB+sinC）------+--------F------„n\—+—I—

\\s\nAsin3sinCjBC

【答案】见解析

【详解】不妨设A2B2C.

由A+B+C=7T.知式①等价于

呜

sinn/sinC

^inC-

sinCsinA

sinAsinC

将这三式相加，便证明了原不等式.

23.(2018•全国•高三竞赛)已知实数x、2满足2*+x'=4"+4>.试求U=8*+8,的取值

范围.

【答案】(1,2]

【详解】令”=2*,6=2，.则己知条件化为。+6=/+廿(仄b>0).

配方得用・①

观察满足式①的(。,力)在直角坐标系43中的图像，易知r=a+be(l,2].

又注意到，(。+步-(♦+〃)=注

22

故U=8*+8V力+〃=(4+城一3吹4+h=户-3x4上/=.

记/(，)=-1/+了.

则当时,f'(t)=~t2+3t=~t(t-2)>0

于是，/⑺在飞(1,2]上单调递增，易得当%(1,2]时，/(/)e(l,2].

综上，。=8'+8、的取值范围为(1,2].

24.(2019•全国•高三竞赛)已知函数/(x)=d-2ov与g(x)=-d—l,的图像有两条公

切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.

【答案】a=±-^-

2

【详解】设函数「(X)与驱)的一条公切线分别过切点伍,.“现)),仁心(々)).则公切线方

程为

y=〃玉)+/'(%)(x-xj三g(%)+g'(X2)(x—电)•

故尸(xj=g'(w)，且/㈤-尸<)%=g(&)-g'U)七.

注意到，f\^=2x-2a,g\x)=-2x

=>xi+x2=a9x：+x；=[

a2-l

=>XjX2=--—•

两于是，为、当是方程/-公+竺」=0的两实根.

2

由f（x）与g（x）有两条公切线，知f（x）与g（x）不相交.

因此，工尸马.

21

由A=〃2_4^--->=>。2<

2

设四个切点坐标为"（芭，/（百）），火值,/伍））,尸卜2公（々））,。（西超（5））.

则|尸。f=（为FJ+（g（芭）-g（巧丫

=（x；+¥一2%工2）［1+（工［+%2）［

=（2一储乂1+6）,

二忖-20rl+X；+“=2_Q2

同理，眼讨=（2_/）（［+々2）,加刊=2-/.

故四边形MNPQ为平行四边形，且2,（2-。2）0+%+2_〃2卜6.

解得〃=土也即为所求.

2

25.（2023•全国•高三专题练习）实数〃,b,c和正数4使得“力二丁+/+桁+^:有三个

实数根%,七,七.且满足：（1）（2）x>|（x+x）,求2〃+力的最

X2-X,=A;312

大值.

【答案】空

2

【分析】解法一：设为=机-（,w=m+g,x,=m+r（r>o）,利用韦达定理可化简所

求式子为患y胆储-4产）8产,结合基本不等式可求得最大值'验证取等条件即可确

定结果；

解法二：由+27。-+&-2%）（芯+毛-2/）（芯+%2-2&）可令々=石+%,

』=玉+4+〃（〃>0）,由此可化简所求式子为22一2（21,令:="0,

22AIA7

g（f）=|"2/”0）,利用导数可求得g（%，即为所求式子的最大值.

【详解】解法一：由题意可设：X2=m+^,

用>小+々）=

〃2,可令曰=m+r(r>0),

a=一(再+x2+刍)=一(3"，+f)

2

2A

由韦达定理得：,b=xxx2+x2x3+x3Xj=3〃z~+2mt一—

32222

c——不占七=-m—m2tm+1

27Q

则2a3-9ab=a(2/-99=27m3+21m2t——mA2--A2t-2t\

2727

27c=-27加一21m2t+—mA2+—22r,

44

贝I2/+竺-9ab=9A7-4/3要取得最大值，则922f一4->。，

万2万

型1吴…）K舸F

_1J2（92--4r）+8r=主叵（当且仅当“2—4/=8»,

即”且2时取等号）,

4&3北3J22

又1满足9九。一4/>0,

2

，取m=0,A=2)则/=有，此时%=-1,*2=1，％3=6，a=—>/3>b=-1,c=6

2a、27c-9ab3石

时,

r二F

空我的最大值为当

=27

又一a=X+%+玉，

3

「.2a+27c—93=(匹+x3—2xja+&-2々)(工1+%—2毛),

/.2〃3+27c-9〃〃=弓2+〃)仁义-〃卜〃=2〃(；方-〃21,

32n|-A2-/12|/、3

.24+27c-9岫_(4J_2K_2⑶；

3

An.2a+27c-9ab9.

令:二/〉。，则-------：------=-f-2/3，

2万2

Qn

令g(/)=]r_2/3Q>o),则g，«)=]_6/，令g'(f)=0,解得:

2

g'”)<0;

・•・g(。在0,上单调递增,

2:1/I=2,〃=6时，即X1=-1,x,=1,x3=5/3,a=<b=-\,c=6时，

2/+27c-9岫3百

r--T'

,2d+27c-9M的最大值为转

232

26.(2023•全国•高三专题练习)设函数/(》)=/-。+%-⑪2,

⑴若"0)=0,”-1)=\(。为常数)，求“X)的解析式;

e

⑵在(1)条件下，若当xNO时，/(x)>0,求。的取值范围.

【答案】(l)/(x)=e*-1一%-加

(2)a4；

【分析】(1)根据"0)=0,求解；

(2)由(1)知x=0时，/(0)=0>0,此时，fleR,将问题转化为a4々对工〉。

X

恒成立求解.

【详解】(1)解：因为"0)=0,/(-1)=|-«,

所以/(0)=1—6=0,f(—\)=——b—c—a=——a,

解得。=l,c=-l,

所以/(同=炉-1-加；

(2)由(1)可知，x=0时，/(0)=0>0,此时，aeR：

故xNO时,/(x)NO成立ox>0时，f(x)20成立,

<=>ex—1—x-ax~N0对％>0恒成U,

即吐M对x>0恒成立；

X

、-j〃\e'—x—\.i./、xex—2eA+x+2

记入(x)=d，则m〃z(x)=-------p----------

记夕(x)=xe"—2e"+x+2,则夕'(x)=xe"—e”+1

idr(x)-xev-e'+1,贝!|/(x)=xe”,

.•.当x>0时，/(x)>0,"(x)在(0,+向上单调递增；

d(x)>d(o)=o,

所以。(X)在(o,+8)上单调递增；月(x)>>(0)=0；

二xe(0,+oo)时,"(x)>0,即〃(x)在(0,+8)上单调递增：

记0(x)=e*-x-l,q^x)=JC,

当x.0时，p(x)fO,q(x)f0符合洛必达法则条件，

.,,\_re-x—\_e'—1e'_1

••lrimh(^x)=lim-------=lrim-----=lim—=一，

XT。XTOXZXT。2xXT。22

.,.X>0时、

一・Q4—.

2

【点睛】方法点睛：不等式〃x)NO恒成立问题，往往通过〃力.之0求解或转化为

。＜8(^^或々之8(同2求解・

27.(2019•江苏•高三校联考竞赛)证明：对任意工£(-8,0)U(0,+oo),

fr,..I】y/5—11.I?ilIi^5+1

max{O,ln\x\}...——-f=~InIxI+—Inr-1+—In-----,且等号成立的充要条件是

2A/525/522

2

【答案】证明见解析

1

I%"X——

【详解】设令,、X

28式%)=,XG(-oO,0)U(0,4W)'

max{l,|x|}

则gaga(X)=g“(—X).

因此，对任意xG(—8,0)U(0,+oo),有:

11

|x|2-x--

X

一=g“(X),,叫ixg“(y)=jpaxg“(y)

max(l,|x|}.veR'ioio<><i

2

当。勺<1时,ga(y)=y—y

y

令g；(y)=。，得户\上号

Y1+2。

、I-2a

1_2.]/1_2〃)丁(4aY

由函数的单调性，得

maxg.(y)=gaT+2a)\J+2a)11+2〃J

由①②知，对任意xe(—8,0)U(0,+8)及任意0<a<g,有：

(1%।।.I2J1—2。[1—2。,4ci.一

—aIn|x|+aln厂一1,,-------In--------+a\n--------+max{O,lnx}.

U)114l+2a1+2〃

在③式中，令。=崇，化简得：

max{0,In|x|}..In|x|+-^7=ln|x2-1I+—In75+1

2V52V51122

此时’当“居1=与时’则「年T=一与^一「一年

从而，等号成立的