高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (13)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（13）

一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）

1.已知A,B,C是球。的球面上的三点，/.AOB=AAOC=60°,若三棱锥0-4BC体积的最大值

为1,则球。的表面积为（）

A.47rB.97rC.167rD.20兀

2.在底面是边长为2的正方形的四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面的射影〃为正方形ABC。的中

心，异面直线P8与所成角的正切值为2,若四棱锥P-4BCD的内切球半径为r,外接球的

半径为R,则（值等于（）

A.1B.|C.|D.|

2353

3.在长方体4BCO-48停1。1中，AB=AD=6,4公=2,M为棱BC的中点，动点P在面。CGA

内，满足NAP。=“PM,则点尸的轨迹与长方体的面的交线长等于

A.B.nC.D.V2TT

4.如图，圆形纸片的圆心为。，半径为6,该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E,F,G,H为

圆。上的点，AABE,△BCF,ACDG,^ADH分别是以A8,BC,CD,D4为底边的等腰三角

形.沿虚线剪开后，分别以A8,BC,CD,D4为折痕折起AABE,△BCF,ACDG,AADH,使

E,F,G,”重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接

球的表面积为（）

E

.16n-647rC1007T

A-VB.等c-VD--

5.在直四棱柱48CD-&B1GD1中，底面ABC。是边长为6的正方形，点E在线段AO上，且满

足4E=2ED,过点E作直四棱柱4BCD-&B1GD1外接球的截面，所得的截面面积的最大值与

最小值之差为19兀，则直四棱柱4BC0-4当6。1外接球的半径为

A.V3B.2V3C.3V3D.4V3

6.在棱长为1的正方体4BCD-4B1QD1中，点E,尸分别是棱加久，BiG的中点，P是上底面

41当6历内一点，若4P〃平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是（）

A.修闾B.降等C.晤孚D.恰闾

7.设四面体的六条棱的长分别为2,2,2,2,a和企，且长为式的两条棱是异面直线，则该四

面体的外接球的表面积为（）

A.57rB.207rC.127rD.37r

8.如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：

①AF与BM成60。角.②4F与CE是异面直线.

③BN1DE.④平面4CN〃平面BEM.

以上四个命题中，正确命题的个数是（）

D.1----F

9.一个棱长为5c机的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为1。”的小正方体，则两面涂

色的小正方体的个数为（）

A.12B.24C.36D.48

10.已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一

个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2乃，则三棱锥P-48C的内切球的体积为（）

AbID乃「瓜n5/3

A.—nD.—nC.—71U.—n

2323

11.下列说法正确的个数是

①利用斜二测画法得到的三角形的直观图是三角形;

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;

③各个面都是三角形的几何体是三棱锥;

二、多项选择题（本大题共5小题，共20.0分）

12.已知四棱台4BC0-418165的上下底面均为正方形，其中4B=

2&，A]B[=&,44]=BBi=CC[=2,则下述正确的是（）.

A.该四棱台的高为我

B.AA11CCj

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的表面积为167r

13.如图，已知圆锥的顶点为S,底面圆。的两条直径分别为4B和CZ）,且1

ABLCD,若平面54。n平面SBC=/.以下四个结论中正确的是（）

A.平面SBC/\：\\

B.1//AD//外八；

C.若E是底面圆周上的动点，则4SAE的最大面积等于力8的面积乎:

D./与平面SCD所成的角为45。

14.正方体43。。-4/1的。1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CCrBB1的中点.则（）

A.直线与直线AF垂直

B,直线4G与平面AE尸平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为：

D.点C与点G到平面AE尸的距离相等

15.已知圆锥的顶点为尸，母线长为2,底面半径为遥，A,B为底面圆周上两个动点，则下列说法

正确的是（）

A.圆锥的高为1

B.三角形PAB为等腰三角形

C.三角形P48面积的最大值为百

D.直线月4与圆锥底面所成角的大小为g

O

16.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-内灌进一些水，固定容器底面一边8c于地

面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是（）.

A.有水的部分始终呈棱柱形；

B.水面EFGH所在四边形的面积为定值；

C.棱&Di始终与水面所在平面平行；

D.当容器倾斜如图（3）所示时，BE-BF是定值.

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

17.在三棱锥P-ABC中，二面角P-4B-C、/3-4。-8和「一8。-4的大小均等于争

90,点P到平面ABC的距离为3,设三棱锥P-4BC的外接球球心为。，则三棱锥

P-4BC的外接球的表面积为.

18.已知半径为V7的球面上有三点4、B、C，4B=2次,球心为O,二面角C一AB-。的大小为60°,

当直线OC与平面OAB所成角最大时，三棱锥。-4BC的体积为.

19.表面积为16兀的球面上有四个点P,4B,C,且AZBC是边长为2百的等边三角形，若平面P4B±平

面ABC,则棱锥P-4BC体积的最大值为.

20.有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料4BC-&BiC「其各棱长都为2.已知Qi，Q2分别

为上，下底面的中心，M为Q1Q2的中点，N为AB中点，过A,B,M三点的截面把该木料截成

两部分，则=；截面面积为.

21.在44BC中，AB=2V5.4C=遍，^BAC=902,则A4BC绕BC所在直线旋转一周所形成的几

何体的表面积为.

22.在四棱锥P-ABC。中，底面A8C。为正方形，AB=2,△P40为等边三角形，线段BC的中点

为E,若PE=1,则此四棱锥的外接球的表面积为.

23.(1)若“x£[2,5]或xe[x\x<1或>4卜”是假命题，则x的范围是_____.

(2)若抛物线y2=2Px的焦点与椭圆兰+g=1的右焦点重合，则p的值为_______.

62

(3)在正四棱锥S-ABCD中，E.M.N分别是BC.CD.SC的中点，动点P的线段MN上运动时，四

个结论①EP1AC;②EP〃BD;③EP〃平面S8D;④EP_L平面SAC恒成立的是

(4)设椭圆C：9+5=l(a>b>0)的左右焦点为a,尸2,过尸2作x轴的垂线与C相交于4B两点,

与)，轴相交于D,若AD1&B,则椭圆C的离心率等于.

24.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=V3.PA=1,PB=2,二面角P-4B-C的平面角的

大小为壬则此三棱锥的外接球表面积为.

25.在四面体ABC。中，三组对棱长分别相等且依次为b、V10>713，则此四面体4BC。的外接

球表面积为.

四、多空题(本大题共3小题，共12.0分)

26.已知正方体力BCD-AiBiGDi的棱长为1,动点尸在正方体的表面上运动,且与点A的距离为竽,

动点P的集合形成一条曲线，这条曲线在平面CDD】G上部分的形状是_(1)一；整条曲线的长度

是_(2)一

Dy

G

27.尸表示一个多面体的面数,E表示棱数，丫表示顶点数，则F+V=E+2,

这是多面体的欧拉公式，已知如图的多面体各面均为正六边形或正方形,

每个正方形相邻四个正六边形，每个正六边形相邻三个正方形和三个正

六边形，则该几何体的顶点个数为棱的个数为_(2)_.

28.设三棱锥S-ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，尸是棱S4的中点.记直线P8与直线AC

所成角为a，直线尸8与平面ABC所成角为夕，二面角P-4C-B的平面角为y,则a,/?,y中最

大的是最小的是_(2)_.

五、解答题(本大题共2小题，共24.0分)

29.仇章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年。例如堑堵指底面

为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，侧棱垂直于底面的四棱锥，

鳖膈指四个面均为直角三角形的四面体。如图，在堑堵ABC-AB/G中，ACLBC.

(1)求证：四棱锥B-4/1CG为阳马，并判断四面体&CBC1是否为鳖席，若是写出各个面的直

角(只写出结论)；

(2)若4〃=48=2,当阳马B-AiACCi体积最大时；求平面C&B与平面4遇的夹角的余弦值。

30.如图，在三棱柱4BC-4祖6中,4B14C,顶点占在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=

(1)证明：平面J•平面4B】B；

(2)求棱44与8c所成的角的大小;

(3)若点P为&G的中点，并求出二面角P-AB的平面角的余弦值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查三棱锥的体积的最值问题以及其外接球的表面积，属于中档题.

确定当平面AOC与面垂直时，三棱锥。-4BC的体积最大是解题关键，再结合三棱锥的体积公

式求出球的半径，则球的表面积可求.

解：如图，

设球0的半径为R,^AOB=60°,SpoB=y/?2-

'1'yO-ABC=^C-AOB,HTJA40B面积为定值，

••・当点C到平面A08的距离最大时，最大，

.•.当平面4OC与面AOB垂直时，体积%TBC最大，

•••4Aoe=60°,OA=OC=R,

.•.△AOC为等边三角形，

此时三棱锥C-40B的高为渔R,

2

三棱锥0-4BC体积最大值为工x组R2X更R=1,

342

••・R=2,

二球0的表面积为4兀/?2=4TTX22=16n,

故选C.

2.答案：C

解析：

此题考查了正四棱锥内切球与外接球，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，难度适中.

易知P-ABCD为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通

过方程解得，求解过程不难.

解：如图，E,F为AB,CZ）的中点，

由题意，P—4BCD为正四棱锥，底边长为2,

BC//AD,

NPBC即为尸2与AO所成角，

可得斜高为2,

••.△PEF为正三角形，

正四棱锥P-4BCD的内切球半径即为△PEF的内切圆半径，可得r=隹,

3

设。为外接球球心，

在RtZiO/M中，R2=2+（遮一R）2,

解得R=也,

6

r_2

.#•———，

R5

故选C.

3.答案：A

解析：

本题考查了长方体的结构特征、轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，考查了学生的空间想象能力

和思维能力，是中档题.

由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，建系后由求轨迹方程的方法求得P的轨迹.进而求出

点尸的轨迹与长方体的面DCQDi的交线长.

解：因为是求点P的轨迹与长方体的面DCC15的交线，所以不妨设P在平面CCC15内，

如图，Z.APD=/.MPC,

^.Rt△PDA^jRt△PCMrf,设4。=6,贝=3,

•••tanAPD,则2=—,PD=2PC.

PDPCPDPC

在平面DCCiD］中，以。C所在直线为x轴，以DC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

则£)(-3,0),C(3,0),

设尸(x,y),

由PC=2PC,得：J(x+3)2+产=2，(久一3尸+川,

整理得：x2+y2-10x+9=0,即(x-5)2+y2=16,

•••点尸的轨迹是圆，圆心为(5,0),半径为4,如图所示，

点P的轨迹与长方体的面DCC15的交线为弧而，

因为sin4OQH=^=^,则NOQ":,

所以交线长为：X4二

6«5

故选A.

4.答案：D

解析：

本题考查空间几何体外接球的表面积，属于中档题.

连接。E交AB于点/，设E,F,G,修重合于点P,正方形A8C。的边长为％(尤＞0),则。/=|,历=6-|,

根据四棱锥P-4BCD的侧面积是底面积的2倍，可求得x=4,进而可求得外接球的半径R=逋，

3

即可求得外接球的表面枳.

解：如图，连接OE交A8于点/,设E,F,G,〃重合于点P,

正方形ABC。的边长为％(尤＞0),则0/皂，化=6—；.

因为四棱锥P—ABCD的侧面积是底面积的2倍，所以4x|(6-今=2/,解得久=4.

设四棱锥P—4BCD的外接球的球心为。，半径为R,连接PO,OC,CQ,

则有OC=2V2-因为PC=EA=V42+22=2遥，所以OP=V20-8=2我，

则R2=(2V3-R)2+(2烟2,解得R=,=竽，

所以四棱锥P-4BCD外接球的表面积S=4兀x("＞=警，故选D.

5.答案：C

解析：

本题考查空间中球的截面问题，属于难题.

依题意得，所得的截面面积的最大时，此时点E在大圆的直径上，所得的截面面积的最小时，此时

截面过E点且垂直于大圆，即可求解.

解：如图所示：

p

过点E作直四棱柱4BC。-&B1C1D1外接球的截面，

所得的截面面积的最大时，此时点E在大圆的直径上，

所得的截面面积的最小时，此时截面过E点且垂直于大圆.

因为底面ABCQ是边长为6的正方形，且满足4E=2ED,

则4H=3,HE=1,ED=2,

设直四棱柱4BCD-48164外接球的半径为〃

则。H—Vr2-32=7T2—9,

0E=VOW2+HE2=Vr2-8.

得EN=y/ON2-OE2=yjr2-(r2-8)=2&，

由截面面积的最大值与最小值之差为19兀得

2

nr2-7F(2A/2)=197r

解得r=3^3.

故选C.

6.答案：B

解析：

本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过

构造平行平面寻找P点位置，属于较难题.

分别取棱为Bi、45的中点M、N,连接可证平面AMN〃平面5DEF,得P点在线段MN上，

由此可判断当P在何N的中点时，AP最小；当P与例或N重合时，AP最大，然后求解直角三角形

得答案.

解：如下图所示:

分别取棱A/1、久久的中点M、N,连接连接当。1，

M,N、E、F为所在棱的中点,

:.MN“BiD\,EF〃BM，

MN//EF,乂MNC平面BDEF,EFu平面BOE凡

•••MN〃平面BDEF;

连接NF,由NF//41B1，NF=A$i，A1B1//AB,AxBr=AB,

可得NF〃4B,NF=AB,则四边形4NFB为平行四边形，

则4N//FB,而AN<t平面BDEF,FBu平面BDEF,则AN//平面BDEF.

又ANnNM=N,AN,NMC平面月4/N,

二平面AMN〃平面BDEF.

又P是上底面4道16。1内一点，且AP〃平面BDEF,

•1.P点在线段MN上.

在中，AM=y/AAl+A^2=小+；=争

同理，在RtM&N中，求得⑷7=争则MMN为等腰三角形.

当P在MN的中点时，AP最小为Ji2+（f）2=乎

当P与M或N重合时，AP最大为5+（》2=当.

故选:B.

7.答案：A

解析：

本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算处球体的半径，考查计算能

力，属于中等题.

将四面体放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为X、y、Z,根据题中条件列勾股定理，可得出

长方体的体对角线长，即为四面体的外接球直径，再利用球体表面积公式可得出答案.

解：如下图所示，

四面体480)中，AB=CD=近,AC=AD=BC=BD=2,

可将四面体ABC。放在长方体AEDF-GBHC,设BG=x,CG=y,AG=z,

(AB2=x2+z2=2

则(AD2=x2+y2=4,

{AC2=y2+z2=4

将上述三个等式相加得2(X2+y2+z2)=10,则产+y2+z2=5,

设四面体ABC。的外接球直径为2R,则(2R)2=x2+y2+z2=5,

因此，该四面体外接球的表面积为4兀/?2=7rx(2R)2=57r.

故选A.

8.答案：A

解析：

本题考查了折叠问题，恢复到正方体，运用几何体中的性质，判断位置关系，难度不大.

将展开图复原为儿何体，根据正方体的几何性质，分别判断四个命题的真假，容易判断选项的正误,

求出结果.

解：根据展开图，画出立体图形,

①VAN]IBM，则A尸与BM所成角为NN4F=60°,

故AF与B例成60。角，正确;

②4F与CE是异面直线，正确；

（3）vDEA.AN,DE1AB,二DE1平面A8N,

BNIDE,正确；

④根据两平面平行的判定定理可得平面4CN〃平面BEM,正确.

故选A.

9.答案：C

解析：

本题将表面涂为红色的正方体分割成若干个小正方体，求只有二面是红色的小正方体个数.着重考

查了棱柱的结构特征和分类计数原理等知识，属于基础题.

位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，

问题得以解决.

解：位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，

其它的小正方体有2面涂有红色，总共有3x12=36个.

故选C.

10.答案：A

解析：

本题考查三棱锥内切球的的体积，属于中档题.

可知三棱锥P-4BC展开后为一等边三角形，先求其边长，然后利用等体积法求内切球的半径，即

可求解.

解：三棱锥P-ABC展开后为一等边三角形，

设边长为m则=所以a=6立，

二三棱锥P-ABC棱长为3&,则三棱锥P-ABC的高为2百，

设内切球的半径为，，则4X“XSA4BC=；SAABCX2V5,所以「=今

•••三棱锥P-4BC的内切球的体积为士兀/=立兀，

32

故选A.

11.答案：B

解析：略

12.答案：AD

解析：

本题考查立体几何中位置关系，表面积，外接球的问题，属于难题.

根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断.

解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，

由于/6=2逝，44=血，可知AS4与与儿％8相似比为1:2；

贝IJS/=244=4，40=2,则so=2ji，则百，该四棱台的高为4对；

因为"=SC=4C=4,则44与CG夹角为60°，不垂直，6错;

该四棱台的表面积为S=Sr底+s.碇+s例=2+8+4x豆等幺x?=10+6救，C错;

由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在OQ上，

在平面48OQ上中，由于。。=百，8'=1,则0旦=2=08,

即点O到点B与点片的距离相等，则r=OB=2,

该四棱台外接球的表面积为16万，。对，

故选：AD.

13.答案：A3。

解析：

本题考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查.利用直线与平面

的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角

判断选项的正误即可.

解：已知圆锥的顶点为S,底面圆。的两条直径分别为AB和CD,且ABICO,

若平面$4。n平面SBC=所以ABC。是正方形.

所以AD〃BC,BCu平面SBC,所以4D〃平面SBC,故4正确；

因为/,ADu平面SAD,I,BCu平面SBC,4D//平面SBC,

所以故8正确；

若E是底面圆周上的动点，当乙4SBW90。时，则ASAE的最大面积等于ASAS的面积；

当乙4sB>90。时，aSAE的最大面积等于两条母线的夹角为90。的截面三角形的面积，故C不正确;

因为/与平面SC。所成的角就是AO与平面所成角，就是N4DB=45。.故。正确.

故选：ABD.

14.答案：BC

解析：

本题考查正方体的结构特征，属于较难题.

利用向量法判断A;利用面面平行判断B；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可判断C；利

用等体积法判断D

解：对选项A：以。点为坐标原点，DA,DC、所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐

标系，

则。(0,0,0)、4(1。0)、4(1,0,1)、E&L0)、“0,1》G(l,l,|)-。式0,0,1).

从而西=(0,0,1),AF=(-1,1,^).

从而而，而=[#(),

所以直线。01与直线AF不垂直，选项A错误;

取BiG的中点为连接公“、GM,

则易知〃力E,

5

又41M仁平面AEF,AEu平面AEF,

故41M〃平面AE凡

又GM“EF,同理可得GM〃平面4EF,

又4iMnGM=M,&M、GMu平面&GM,

故平面A\MG[I平面AEF,

又A]Gu平面力iMG,

乐而A[G”平面AEF,选项B正确；

对于选项C,连接D.F,如图所示，

•••正方体中ADJ/BCJ/EF,

.•.4、E、F、5四点共面，

•••四边形4EF5为平面AEF截正方体所得的截面四边形，且截面四边形4EF%为梯形,

又由勾股定理可得名尸=4E=彳，AD、=五,EF=号

•••梯形AEFDi为等腰梯形，高为（均2_（竺|）2=越,

所以S懒的IEF01=]X(\/2+1)X，从而选项C正确；

对于选项D：由于SAGEF=S梯形BEFG-S&EBG

八，、

=-1(14--1)X-1---1X-1X-1=1

2、2，22224

1、111

而S^EC尸=7ZXZ?XZ2=oR，

_11

而匕-GEF=wS^EFGMB,匕-ECF=MB,

所以5-GEF=^A-ECF,即％-4EF=^C-AEF'

点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍，从而£＞错误.

故选BC.

15.答案:ABD

解析：

本题考查了圆锥的结构特征和直线与平面所成角，属于中档题.

求出圆锥的高可知A正确，由P4=PB可知B正确，对于C,圆锥轴截面为顶角为钝角的三角形，

所以轴截面的面积不是最大值，当三角形/MB为直角三角形时面积最大，故C错误，由圆锥的高为

1,母线长为2,可得直线PA与圆锥底面所成角，可判断D

解：由圆锥的高为122-(遮＞=1，故A正确；

住|P4=PB可得三角形PA8为等腰三角形，故B正确；

9TT

圆锥的轴截面三角形的顶角为N8P3;，

所以三角形PAB面积的最大值为；x2x2xsin：2,故C错误；

由圆锥的高为1,母线长为2,则直线PA与圆锥底面所成角的大小为士故。正确，

故选ABD.

16.答案：ACD

解析：

本题考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判定，棱柱的体积等基础知识，考查逻辑推理能力，

属中档题.

结合棱柱的结构特征，直线与平面平行的判定，棱柱的体积等知识，逐项分析即可.

解：对于A,有水的部分符合棱柱的特征，故A正确；

对于8,EF是可以变化的，E”是不变的，所以面积是改变的，故8不正确；

对于C,因为由直线与平面平行的判断定理，棱45始终与水面所在平面平行，故C

正确；

对于。中，水的体积是不变的，高始终是BC不变，所以底面积也不会变，即BE-BF是定值，故。

正确.

故选ACD.

12321

.答案:

171447r

解析：略

18.答案：3

解析：

本题考查求三棱锥的体积公式，考查球的结构特征，二面角的平面角及线面夹角.

设△4BC的外心为A8的中点为。，连接0。'，OD,O'D,O'B,O'A,则00'_L平面AB为由题

意可得N。'。。是二面角C-AB-0的平面角，/.O'DO=60°,

解Rt^OO'D,可得。'D及。0',解RtAO'DA中，可得。%,根据直线OC与平面Q4B所成角最大时，

CQ过点O',CDLAB,求出SMBC，结合三棱锥体积公式即可求出三棱锥。-ABC的体积.

解：如图，

设△ABC的外心为O',A8的中点为。,

连接0。'，OD,O'D,O'B,O'A,

则00'_L平面ABC,O'Du平面ABC,

所以。。'_LO'D,

由题意，OB=0A=0C=巾，O'A=O'B,

则。DIAB,O'DA.AB,

O'Ou平面ABC,ODu平面AB。，平面ABCn平面4B。=4B,

所以NO'。。是二面角C一4B-。的平面角，

则40'。。=60°,

在RtAOZM中，OD=J（⑺之_网2=2,

在RtAOO'。中，0D=2,407）0=60。，

所以O'D=1,00'=V3，

在Rt△O'DA中，0%=Jl2+（V3）2=2，

当直线0C与平面OAB所成角最大时，CZ）过点0',

此时CD1AB,CD=CO'+O'D=O'A+O'D=3,

S-BC=^ABIICDI=1x2kx3=38，

三棱锥0-4BC的体积为：1SM8c,。。'=gx3百xb=3.

故答案为3.

19.答案：3

解析：

本题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，属于中档题,棱锥的底面积为定值，欲使棱锥体积体积最

大，应有P到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥P-ABC体积的最大值.

解：•••表面积为167r的球，球的半径为2,

设△ABC的中心为O,贝IJOA=2,可知球心为O,

欲使其体积最大，应有P到平面ABC的距离取最大值，

又平面P4B_L平面ABC,

・•.P在平面ABC上的射影落在直线AB上，而。P=2,点O到直线AB的距离为1,

则P到平面ABC的距离的最大值为旧工！=百,

y=Ixyx(2V3)2xV3=3.

故答案为3.

20.答案：|V3,

解析:

本题考查了三棱柱的结构特征与应用问题，是中档题.

根据题意知过三点的截面为等腰梯形，画出图形结合图形求出的长度和该梯形的面积.

解：根据题意画出图形，如图所示；

正三棱柱ABC-41B1C1中，各棱长都为2,M为Q1Q2的中点,

则MQz=1,NQ2==圣

则MN=J12+gj=9；

过A,B,M三点的截面为等腰梯形ABEF,

则EF=[4当=|,

则截面面积为S=：*(|+2)*竽=呼

故答案为|V5,^V3.

21.答案：6西兀

解析：

本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式.

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S=兀RL计算公式可得.

解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中母线长分别为2遍,有，

BC=y/AB2+AC2=5，

故底面圆半径R=丝生=迺班=2,

BC5

所以S=yrx2x(2A/5+A/5)=6V5TT.

故答案为

22.答案：等

解析：

本题考查四棱锥与球的组合体的计算问题，属于较难题.

由四棱锥的结构特征找出外接球我球心和半径，再利用球的面积计算公式求解即可.

解：如图：

取A。的中点为F,正方形A8C。的中心为。口正三角形A。尸的中心为。2，设球心为。,

则。。11。1吃。。2102F,所以。。1。2尸四点共圆，

因为EF=2,PF=V3.PE=1.

所以4FPE=90。,APFE=30°,

又因为FO2=g,O\F=1,

所以01。2=Jl+1-2XlXyXy==

OF=2=也,

sin3003

因为EF1AD,PF1AD,EFCPF=F,

EF,PFu平面尸EF,所以力DI平面PEF,OFu平面PEF,

易证。F1AF,所以外接球的半径为R=7AF2+。/2=Jl+f=

所以此四棱锥的外接球的表面积为4兀/?2兀，

OQ—.

故答案为一7.

<>

23.答案：(1)［1,2).

⑵4.

⑶①③•

(4)三.

解析：

(1)本题考查四种命题的真假及元素与集合的关系的判断，根据题意原命题是假命题可转化成它的否

命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可.

解：若“KG［2,5］或xG{x}x<1或工>4}”是假命题，

则它的否命题为真命题即{对％<2或%>5}且卜|1<x<4}是真命题，

所以x的取值范围是［1,2).

故答案为［1,2).

(2)本题考查椭圆的简单性质及抛物线的性质，根据题意通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结

果.

解：由a?=6、b2-2,可得=a2—£>2=4,

•••椭圆的右焦点为(2,0),

••・抛物线y2=2Px的焦点(2,0),

p—4.

故答案为4.

(3)本题考查命题真假的判断，在①中：由已知得S0L4C.,4。_1_平面58。，从而平面EMN〃平面

SBD,由此得到AC1EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与是异面直线；在③中：由平

面EMN〃平面58力，从而得到EP〃平面SBD；在④中：由已知得EM1平面SAC,从而得到EP与

平面S4c不垂直.

解：如图所示，

连接AC、3。相交于点。，连接EM,EN.

在①中：由正四棱锥S-ABCZ),可得SO_L底面A8C£),ACA.BD,

ASO1AC.

■■SOQBD=0,AC_L平面SBD,

E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，

•••EM//BD,MN//SD,而EMCMN=N,

••・平面EMN〃平面SB。，AC_L平面EMM4CJ.EP.故正确.

在②中：由异面直线的定义可知：EP与BO是异面直线，

不可能EP〃BD,因此不正确；

在③中：由①可知平面EMN〃平面S8O,

•••EP〃平面S8D,因此正确.

在④中：由①同理可得：EM1平面SAC,

若EPL平面SAC,则EP〃EM,与后「。七”=£相矛盾，

因此当尸与M不重合时，EP与平面SAC不垂直.即不正确.

故答案为①③.

(4)本题考查椭圆离心率的求解，根据题意连接AR,可得恒居|=2|4尸2|,进而可得6=£2c

2a

,从而即可求得结果.

Mfil+MF2I

解：连接A&,

•­•OD//AB,。为F/2的中点，

。为B&的中点，

又AD1B&,|伤|=|48|.

MFil=2|同

设IAF2I=n,则|4&|=2n,尸/?]=V3n,

因此e=-=—=―色且一=受=正.

a2a\AF±\+\AF2\3n3

故答案喈.

137T

24.答案:

解析：

本题考查三棱锥的结构特征及二面角与球的表面积公式，考查空间思维能力，属于较难题目.

先得出PA_L4B,作出二面角P-48-C的平面角，取。H=HF=FC=a过点”作OHJ.CD交EF

于点O,连接EF,由NEDC=£DE==；可得NOFE:,则OH争再由勾股定理求出

322b

外接球的半径得出外接球的表面积即可.

解：VAB=BC=CA=V3.PA=1,PB=2,

PA2+AB2=PB2,

・•・PA1ABf

取A。的中点£),P8的中点E,连接CD,DE,

可得CE14B,CDLAB,

NCDE即为二面角P-4B-C的平面角，WZ.CDE='；,

<5

DE=\PA=i,CD=—AB=-,

2222

取DH=HF=FC=去过点”作。H_LCD交EF于点。，连接EF,

••乙EDC=g,DE==:可得NDFE:,则。”=立,

322()6

•••外接球的半径R=J曲2+12=萼，

•••外接球的表面积为』尔4TTX^坐.

363

故答案为中.

25.答案：14亓

解析：

本题考查的知识点是球的表面积，其中利用割补法，补充四面体成长方体,进而求出其外接球的半

径是解答本题的关键，属于基础题.

由已知中四面体ABC。中，三组对棱棱长分别相等，且其长分别为花，“U，V13,故可将其补充

为一个长方体，根据外接球的直径等于长方体的对角线，求出球的半径，代入球的表面积公式，即

可求出答案.

解：因为四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，

故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为遮，尺,g,的长方体，

则其外接球的直径2R=R(5+10+13)=V14,

所以R=包，

2

所以四面体外接球的表面积SITTR2147T.

故答案为UTT.

26.答案：小圆弧

5V3

——7T

解析:

本题考查简单多面体及其结构特征，属于较难题.

这条曲线在面ADD1&上的一段是以A为圆心，手为半径，，为圆心角的一段圆弧；在面上

的一段是以&为圆心，苧为半径，三为圆心角的一段圆弧，结合正方体的对称性，计算这条曲线的长

度.

解：由题意，此问题的实质是以A为球心、巫

3

为半径的球在正方体ABC。-&B1GD1各个面上交线的长度计算，

正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD.AA^D.D.4久当8为过球心的截面，截痕为

大圆弧,各弧圆心角％半径为季

4道传1。1、B1BCG、5CCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧,

由于截面圆半径为r=3，故各段弧圆心角为？

32

・•.这条曲线长度为3X2X2+3X2X^=&J

63236

故答案为小圆弧；壁兀

6

27.答案:24

36

解析:

本题考查空间几何体的结构特征，考查空间想象能力，属基础题.

设该几何体有x个正六边形，y个正方形，根据空间几何体的结构特征，得3x=4y,棱数，顶点数,

由产+V=E+2,列方程求解即可.

解：设该几何体有x个正六边形，y个正方形，则3x=4y,面数为x+y,

6x+4y

棱数丝罗，顶点数空，故x+y+失”+2=>x=8,y=6.

2

顶点数为24,棱数为36.

故答案为24；36.

28.答案：a

解析：

本题考查空间几何体中线线角、线面角以及面面角的求解问题，属于中档题.

不妨设三棱锥S-ABC的棱长为2.取棱SC的中点为Q,连PQ,BQ.容易得到PQ〃/1C,所以直线尸8

与直线AC所成的角a即为直线P8与直线PQ所成的角NBPQ.在ZPQB中可求得cosa=在；取等边三

6

角形A8C的中心为0,取等边三角形4BC的中心为0,容易得到PE1面A8C,所以NPBE即为直线

PB与平面42c所成的角仇在RMPBE中可求得cos/?=，；取棱AC的中点为F,容易得到SF_L

AC,BF1AC,所以NS尸8即为二面角P-AC-B的平面角为y,在RMSO尸中可求出cosy=黑=[.继

而可得到COSQ<cosy<cos/?,进而判断出结果.

解：由题意知三棱锥S-ABC为正四面体，不妨设三棱锥S-ABC的棱长为2.

s

取棱SC的中点为Q,连PQ,BQ.由于P是棱SA的中点，所以PQ〃/IC,

所以直线P8与直线4c所成的角a即为直线PB与直线PQ所成的角NBPQ.

在4PQB中，容易计算出PB=BQ=VI,PQ=1，

KChl,DDn12+(A)2-(A)2V3

历以cosa=cos乙BP0=----~~——=—

72x1x66

取等边三角形ABC的中心为。，连接SO,则S01面ABC.

易得0B=—,OF=—,

33

取OA的中点为E,连PE,则PE」二SO，所以PEL面ABC,

2

所以NPBE即为直线P8与平面ABC所成的角夕.

因为SO=VSB2-OB2=J22_呼『=乎，

所以PE=―,而PB=V3，

3

所以在RMPBE中，EBJ®'管)V7.

C°SB=3=—后—=T

取棱AC的中点为凡连SF,BF.

在正四面体S-4BC中，容易得到：SFA.AC,BFLAC,

所以4SFB即为二面角P-AC-B的平面角为y,且为锐二面角.

在RMS。尸中，SO=^-,SF=\f3,OF=

所以cosy=^=1.

所以cosa<cosy<cos/?,又a,0,y皆为锐角,

所以a>y>/?.

所以a,0,y中最大的角是a,最小的角是口.

故答案为：a：0.

29.答案：(I)证明：由堑堵ABC-&BiG的性质得：四边形为