高中数学复数复习(知识点、例题、习题附解析)

高中数学复数专题复习佚口识点、例题、习题附解析）

运算常用结论

一、复数的概念

1.定义

形如z=a+历（a,6eR）的数叫做复数.复数常用字母z表示，其中a与6分别叫做复

数z的实部与虚部，i叫做虚数单位，规定i2=-l.全体复数所成的集合叫做复数集，用C

表示.

注意：复数不能比较大小，只有相等和不相等，当对应的实部和虚部相同时，我们说复

数相等.

例如：3+2i=3+2iw2+3i.

复数2+3i的实部是______,虚部是_______；复数-2-i的实部是______,虚部是

例1

解析：注意i前面的数字才是虚部，包含正负号.

答案：23-2-1

已知2x-l+i=y-(3-y)i,求x与y.

解析：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等.

由题意，得产一了，解得卜=5.

例2

11=一（3-》["4

答案：x=—=4

2

2.i的周期性

i'=ii2--li，=—ii,=l,以此类推，可得：

i4n+l=ii4B+2=-li4n+3--ii4,,-l(neZ)

i4n+l+i4n+2+i4,,+3+*=0(〃eZ)

例如：产87=[3=7,j2O2O=i4=1(指数除以巴只保留余数，如果整除，即为/).

3.复数的分类

对于复数a+例，当6=0时，它是实数；当6Ho

时，它是虚数；当a=0且Z?w0时，叫做纯虚数.

'实数S=o）

z=a+b\<\一般虚数（AWOMWO）

[纯虚数彷H0,a=0）

例如：2（实数），3i（纯虚数），2+3i（一般虚数）.

设meR,z=(2+i>2-3(1+i)/M-2(1-i).

(1)若z为实数，求皿的值；(2)若z为纯虚数，求〃?的值.

解析：化简得z=(2相2-3m-2)+(m2-3m+2)i

例3(1)由题意得济一3机+2=0,解得机=1或机=2.

(2)由题意得[2"一一3初一2=°,解得加=」.

〃厂―3m+2工02

答案：(1)m=1或>n=2,(2)m=--

2

4.复数的几何意义

•y（虚轴）

在平面直角坐标系中，复数z=a+/可用点Z(a,。)表示，

b-------♦Z:a+bi

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫।

।

।

।

做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数，除原点外，虚轴।

।

।

上的点表示纯虚数.---------------!--------►

oax（实轴）

复数z=a+Z?i(a,Z?eR)<_二""->复平面内的点Z(a,。)

复平面内，连接0Z,向量无由点Z唯一确定，因此，复[y(虚轴)

数与复平面内的向量也是一一对应的.b\/Z：a+bi

复数z=a+历(a,方eR)<>平面向量成/

例如：复数2+3i在复平面内对应的点和向量的坐标为一或a―x一轴)

(2,3).

实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

例4

解析：由复数和点的一一对应关系，可知点的坐标为(-2,1),位于第二象限.

答案：B

5.复数的模

向量应的模(长度)叫做复数2=。+历的模，记作|z|,|z|=|a+&i|=>Ja2+b2.

例如：12+3i|=j22+32=岳•

|z|的几何意义：复数z的点到原点的距离.

|Z1-Z2|的集合意义：Z,,Z2对应的两点之间的距离.

性质：|z,z2|=|Z|l|z21,I—1=7^7

22।Z2I

已知复数Iz|=1,求复数3+4i+z的模的最大值及最小值.

解析：复数3+4i+z在复平面内对应点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的

例5圆，则复数模的最大值和最小值即为从圆上到原点距离的最大和最小值，故最大

值为，3?+4?+1=6,最小值为43?+4?-1=4.

答案：6,4

练习题:

己知：z=(/n+l)+(m-l)i,mGR,求z为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数

时，求"7的值.

解析：(1)当相一1=0,相=1时，为实数；

1

(2)当m—lw(),相wl时，为虚数；

(3)当m+1=0且加一1工0,即机=一1时，为纯虚数.

答案：(1)m=1(2)m^\(3)m=—\

已知W+9__2i=6+(y-x)i,求实数x,y的值.

解析：复数相等，则对应的实部和虚部相等，即[厂+厂=6,解得]"二1一(

-2=y-x[y=-V2-l

2

fx=l+>/2

,)=亚-1'

答案：x=l-x/2,"-夜-1或x=l+"y=y[2-\

方程/+伏+2i)x+2+氏i=0有实根,求此根根及实数上的值.

解析：因为有实根如所以方程化简为⑺2+也7+2)+(2m+%)i=0,所以

3nr+A???+2=0&刀组m=>j2m=-y/2

《，解得〈/-或《r-9

〔2加+左=0[k=-2y/2[k=2y]2

答案：m=5/2,k=—2&或m=->/2,k=2及

已知x是实数，y是虚数，且满足(2%一1)+(3-y)i=y-i,求x和y的值.

解析：由y是纯虚数，可设y=Z?i,原式变为(2x-l)+(3-y)i=8i-i,整理得

(2x—l+b)+3i=(/?—l)i,所以〔2*-1+6=0,解得]”=-5.

4

匕T=3,4

i[b=4

答案：x=--,y=4i

2

2

已知复数Z[=T〃z+l+(24+3m)i,z2=2m+(m+ni)\,问m为何值时，

>z2.

2nr+=0

5

解析：两个复数可以比较大小，说明两个数都是实数，则应满足,m2+/w=0,

-4m+1>2m

解得m=0.

答案：0

m2—2+(m2-l)i是纯虚数,则m=_______.

m2+zw-2=0f-

6解析：由复数为纯虚数的条件可得，c，解得"2=—2.

加一1H0

答案：-2

若z=4+3i,则一=()

|z|

4343

A.1B.-1C.iD.----i

75555

解析：z—43i,|z|—J4+3—5,则——i.

|z|555

答案：D

二、复数的四则运算

1.加法

•i殳Z]=a+Z>i,z2-c+di,则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

例如：(2+4i)+(-5+i)=(2-5)+(4+l)i=-3+5i.

2.减法

设Z1=a+6i,z2-c+di,则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

例如：(2+4i)-(-5+i)=(2+5)+(4-l)i=7+3i.

满足条件lz+1-i|=|4-3i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是()

A.一条直线B.两条直线C.一个圆D.一个椭圆

解析：|z+l-i|表示复平面内复数z对应的点Z到点(-1,1)的距离，|4-3i|表

例1

示模，等于5,故满足|z+l-i|=5的复数z对应点的轨迹是以(-1,1)为圆心，

5为半径的圆.

答案：C

在复平面内，。是原点，OA,OC,通对应的复数分别为—2+i,3+2i,l+5i,

那么比对应的复数为()

例2A.4+7iB.l+3iC.4-4iD.-l+6i

解析：BC=OC-(OA+AB),对应的复数为3+2i-(—2+i+l+5i)=4—4i.

答案：C

3.乘法

"i殳Z1=a+hi,z,=c+di,则z,z,=ac+hci+adi+bdv=(ac-bd)+{ad+hc)i.

例如：(2+4i)-(-5+i)=-10+2i-20i+4i2=-14-18i.

设复数z?在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=2+i,则Z]Z2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

例3解析：Z1对应的点为(2,1),则z2对应的点为(-2,1),即Z2=—2+i,则

Z,=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.

答案：A

例4已知复数z=(5+2i)。则z的实部为_______.

解析:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=21+20i,实部为21.

答案：21

4.除法

共朝复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共机复数,

通常记复数z=a+也的共貌复数为5=a—历.

性质：|z|=|21==\/a2+b2

例如：2+3i的共机复数为2—3i.

若a—i与2+bi互为共辗复数，则(o+bi)2=()

A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i

例5

解析：由题意知，a=2b=l,贝ij(“+/?i)2=(2+i)2=3+4i.

答案：D

若z+5=2,(z-z)i=2,贝(jz=()

A.1+iB.T—iC.-1+iD.1-i

例6解析：z=a+hi,则5=。一人i,z+z=2a=2,.\a=l；

(z-z)i=2bi2=-2b=2.*./?=-1；/.z=l—i.

答案：D

a+bi(a+bi)(c-Ji)(ac+bd)+(be-ad)\

设Z1=。+hi,z=c+di,则

2c+d\(c+di)(c-di)c2+d2

例如：(2+4i)+(—5+i)=-2+4i(2+4i)(-5-i)-6-22i_-3-lli

-5+i(-5+i)(-5-i)"26—-—13-

复数z满足(3+4i)z=25,则2=()

A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i

例7解析：由题意知z=^=25(3-旬=25(3-旬=3_-

3+4i(3+4i)(3—4i)9+16

答案：D

满足5=i的复数z=()

例8

z

、11.„11.11.11.

A.—1—iB.----1C.---1—1D.-----i

22222222

解析：由出=i变形为z+i=zi,

z

可得Z='=i(T—i)=匕1=，.匕.

-1+i(-l+i)(-l-i)222

答案：B

结论：复数的四则运算可把i看作是普通字母带入运算，如遇i?则变为-1；除法运算时

分子分母同乘以分母的共相复数，基本思路就是把分母的复数变为实数.

5.复数运算常用结论：

(1±i)2=±2i-=-i匕^=i-_-=-i

i1-i1+i

记°=_,+4li,则口2=_J__Y!i则有：

2222

疗=5|co1=1ar|=11+。+苏=0

驾=()

(l-i)2

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

解析：方法一：孚£■=(士)2(l+i)=i2(l+i)=-l-i.

例9

(l-l)21-1

(1-i)2(1-i)2-2i

答案：D

设复数则1+/=()

22

11

A.~coB.co9C.---D.——

例10CDCO~

解析：1+。='+走i,由常用结论可迅速排除AB,C带入运算可知符合题意.

22

答案：C

练习题:

1设复数4和Z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且4=3-2i,则Z|Z2=

解析：由题意知，z,=-3+2i,所以Z|Z2=(3-2i)(—3+2i)=—5+12i.

答案：-5+12i

已知复数聚在复平面内对应的点在直线x-2y+m=0上，则机=—.

解析：z=±W=±也=在%=1-23对应的点为（1,-2）,带入直线方

2

程，得加=—5.

答案：-5

F”的共辄复数为_______.

3解析：¥7=[3=一，共辗复数为i.

答案：i

复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为_______.

解析：|4+3升=，42+32=5,所以z=-^-=5(3+4i)=1+：i,虚部为2.

43-4i25555

4

答案：-

5

若复数幺是纯虚数，则/.

2+i

匕心(")(2-