2023-2024学年高二数学2019选择性试题5.1导数的概念

5.1导数的概念一、单选题1．已知函数在处的导数为2，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据极限与导数的关系直接求解.【详解】根据极限与导数的关系可知，故选:D.2．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先求导，令，求出，再结合导数的几何意义即可求解.【详解】依题意，，令，故，解得，故，故．故选：D．3．极限存在是函数在点处连续的（

）A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【答案】B【分析】根据函数的连续性与函数极限的关系即可求解.【详解】极限存在，函数在点处不一定连续，比如，在处，极限值为0，但在处不连续，但在点处连续，可得极限存在，故极限存在是函数在点处连续的必要不充分条件，故选：B4．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出导函数后计算导数值，再求得后，由斜截点斜式得直线方程【详解】，所以，又，所以切线方程为，即．故选：A．5．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据式子几何意义，可得出斜率恒大于1，根据导数的几何意义，可得出在内恒成立，分离参数求解即可.【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，∵实数，在区间内，不等式恒成立，∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递减函数，故，∴，∴．故选：A.6．设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故选：B.7．曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（

）A．1，1 B．1，1 C．1，1 D．1，1【答案】C【分析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】依题意，切点为，斜率为，，所以，解得.故选：C8．若，则常数a，b的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】求极限的代数式通分得，时极限存在且极限为1，则，由恒等式知识可得．【详解】，则，解得，，故选：C．二、多选题9．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（

）A．曲线C上的点与定点距离的最小值是B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【分析】A选项，设出曲线任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴来进行判断；D选项，通过求切线方程来进行判断.【详解】曲线C的方程是，则，所以曲线是反比例函数对应的图象，即曲线是双曲线.A选项，设是曲线上的任意一点，，令，则，当时，，当且仅当时，等号成立，当时，，当且仅当时，等号成立，所以.所以，，所以当时，取得最小值为，A选项正确.B选项，到直线的距离为，所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是，B选项正确.C选项，由上述分析可知曲线是双曲线，由于曲线的图象关于对称，所以是双曲线实轴所在直线，由解得或，点与点的距离是，所以双曲线的实轴长，而双曲线的实半轴，所以C选项错误.D选项，，所以在曲线上任意一点处的切线方程为，令得；令得，所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D选项正确.故选：ABD10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.现有一杯的热红荼置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（

）（参考数值）A．若，则.B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多【答案】ABC【分析】由题知，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知，A：若，即，所以，则，A正确；B：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；C;表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确；D;，设红茶温度从下降到所需的时间为，则，设红茶温度从下降到所需的时间为，则，则红茶温度从下降到所需的时间为；由于所以，故可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．故选：ABC．11．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点【详解】切线的斜率，设切点为，则，又，所以，所以或，所以切点坐标为或．故选：AB．12．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．【详解】A，，，时，，取得最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；B，，，时，，，，此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；C，，，时，，，过点的切线方程是，即，因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；D，，，令，则，所以即是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．故选：ABC．三、填空题13．已知函数的图象在点的处的切线过点，则______.【答案】1【分析】利用导数的几何意义求出点处的切线方程，再根据点在切线上，求解即可.【详解】由，得，∴，又，∴函数的图象在点的处的切线方程为，代入，得，解得.故答案为：1.14．若直线是曲线在处的切线，则实数______．【答案】##【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，把代入中，得，于是有，由可知，切线的斜率为，所以有，因此有，故答案为：15．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.【答案】【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.【详解】函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为，故答案为：.16．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的值_______．【答案】2【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】把点代入中，得，把代入中，得，即，故答案为：2四、解答题17．已知函数．(1)证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切；(2)记（1）中两条切线为，，设，与曲线异于原点的公共点分别为．若，求的值．【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.【详解】（1）证明：，设过原点的直线与曲线相切于点，则，整理得，即或；所以有且仅有两条经过原点的直线与曲线相切.（2）当时，，由（1）知切点为，；两条切线方程分别为：，即；联立方程，得和（舍），可得；同理可求，，，，所以.18．已知函数，求的解析式.【答案】.【分析】先对函数求导，再利用条件解得参数，从而得到的解析式.【详解】，，又，则有由①②解得：所以的解析式是19．已知函数，求这个函数的图像在点处的切线方程．【答案】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由得，则当时，切线斜率，又当时，，所以切点为，切线方程为，即.20．已知函数，求曲线的斜率等于的切线方程．【答案】【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得切线方程.【详解】因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.21．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.【答案】（1）；（2）或【分析】根据导数的几何意义即得.【详解】（1）由可得，所以在点处的切线的斜率为，切线方程为，即；（2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为，因为，所以，又点在切线上，所以，解得或，则或，所以直线方程为或，即或.22．已知函数，.(1)求曲线在处切线的方程；(2)若直线l过坐标原点且与曲线相