高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (65)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（65）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.己知正三角形A3C的边长为2,那么A4BC的平面直观图AAB'C'的面积为（）

A.V3B.3C.在D.军

224

2.如图，正方体4BCD-4道传山1的顶点C在平面a上，若和4。与平面a都成60。角，则&C与

平面a所成角的余弦值为（）

从

L

A*B.iC-1DT

3.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三・

视图则该几何体的外接球的表面积为■Ak

A.297r111111t111

N1Li,#•i1逑•1•

B.34兀

C.41兀1」.L.1ji.jJ.」.1

D.507r

4.如图所示，正方体4BCD-A'B'C'D'的棱长为2,E、尸分别是棱44',CC'的中点，过直线EF的

平面分别与棱BB'、OD'交于M、N,设BM=x,%e(0,2),给出以下四个命题：

D'C

4B

①记四边形M£WF的面积S=/(x),x6(0,2),则/'(x)有最小值；

②四棱锥4-MENF的体积为定值；

③记A到平面MENF的距离d=p(x),xG(0,1],则p(x)的最大值为1；

④记多面体4BCD-MENF的体积U=h(x),xG(0,1),则/i(x)为单调函数.

其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

5.已知在AABC中，AM1BC,垂足是M,AM=2,BM=巾,△4MC沿AM折起至△AMO,若

coszBDM=p则三棱锥O的外接球的表面积是

4

6.已知在团力BC中，AM1BC,垂足是M,AM=2,BM=小,124MC沿AM折起至团AMO,若

COSABDM=则三棱锥。一力MB的外接球表面积是()

A.327rB.—C.20兀D.—

99

7.在正方体4BCD-48停1。1中，点O为线段的中点，设点尸在直线CG上，直线0尸与平面

41B。所成的角为a,则sina的取值范围是()

A.停1]B.母1]C.惇甯D.停用

8.AABC是边长为2国的等边三角形，E,尸分别为AB,AC的中点，EF//BC,沿EF把△/!胡折

起，使点A翻折到点P的位置，连接P8,PC,当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时，

四棱锥P-BCFE的体积为()

AsV3B36c瓜D3n

・4444

9.在四面体ABC。中，AD=AC=BD=BC=V31则四面体的体积最大时，它的外接球的表面

积为()

A.57rB.67rC.207rD.24兀

二、多项选择题(本大题共1小题，共4.0分)

10.下列说法中正确的有()

A.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为遮，那么它的体积为8

B.用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为“的正三角形，则△ABC面积为在a?

4

C.三个平面可以将空间分成4,6,7或者8个部分

D.已知四点不共面，则其中任意三点不共线.

三、填空题（本大题共U小题，共55.0分）

11.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形4BCD（如图）,

12.已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切.若该球的体积为?，则该三棱柱的体

积是.

13.用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,

则该圆柱与圆锥的体积之比为一.

14.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为aU的正四棱锥中，

大球。】内切于该四棱锥，小球。2与大球。1及四棱锥的四个侧面相切,

则小球。2的体积为.

15.在《九章算术J)中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌

(biernzo).已知在鳖嚅M-ABC中，MA，平面ABC,MA=AB=BC=2,

则该鳖席的外接球的表面积为.

16.已知等边三角形ABC的边长为8,D为BC边的中点，沿AD将A4BC折成直二面角B-AD-C,则

三棱链A-DCB的外接球的表面积为

17.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直,

把这个机械零件打解成球形，该球的半径最大为1,设这两个圆锥的高分别为儿，出，则儿+九2的

最小值为.

18.已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2a.若球心

到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为.

19.三棱锥P-4BC中，AB=PA=PB=2,/.ACB=30°,当三棱锥P-4BC体积最大时，其外接

球半径为.

20.如图，在直三棱柱48C-4181cl中，AB=1,BC=2,BB1=3,

LABC=90°,点力为侧棱BBi上的动点，当4D+DG最小时，三

棱锥。-ABG的体积为.

21.一个正四面体的展开图是边长为2或的正三角形，则该正四面体外接球的表面积为

四、多空题(本大题共1小题，共4.()分)

22.已知正方形ABCD的边长为2,将^ADC沿对角线AC折起，使二面角8-AC-。的大小为60。，

则4B与平面AC。所成角的正弦值为_(1)_；此时四面体A-BCD的体积为_(2)_.

五、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

23.如图，在三棱柱ABC-中，侧面4BB/1J_底面ABC,CA=CB,D,E,F分别为AB,4£1,41c

的中点，点G在上，且&OJ.EG.

(1)求证：CD〃平面E『G；

(2)求证：A1D1平面EFG.

24.如图，楔形几何体EF-ABC。由一个三棱柱截去部分后所得，底面ADE1侧面A8C。，

LAED=90。.楔面8CF是边长为2的正三角形，点尸在侧面A8C。的射影是矩形A8CD的中

心O,点M在CC上，且CM=DM.

(1)证明：BFJL平面AMR

(2)求楔形几何体EF-4BCD的体积.

25.如图所示，在边长为8的正三角形A8C中，E、F依次是A3、AC的中点，ADIBC,EH1BC,

FG1BC,D、H、G为垂足，若将44BC绕A。旋转180。,

HDGc

(1)求阴影部分形成的几何体的表面积.

(2)求阴影部分形成的几何体的体积.

26.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面A8C。是矩形，PA=PD=陋,PB=PC=屉,

^APB=乙CPD=90。，点M,N分别是棱BC,PD的中点.

(1)求证：MN〃平面P4B；

(2)若平面P4B，平面PCD,求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.

27.如图所示的几何体ABC-中，四边形ZBB1&是正方形，四边形BCG/是梯形，B£〃BC,

且BiG=：BC,AB=AC,平面1平面ABC.

(I)求证:平面4CG1平面BCC1当；

(11)若48=2,NBAC=90°,求几何体ABC-AiBiCi的体积.

28.已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形=60°,

SA=SO=低SB=夕，点£是棱AO的中点，点F在棱SC上，且

募=九SA〃平面BEF.

(I)求实数；l的值；

(n)求三棱锥F-EBC的体积.

29.如图，正方形ABC。，ABEF的边长都是1,且平面ABC。，48EF互相垂直.点M在AC上移

动，点W在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<

(1)当。为何值时，MN的长最小;

(2)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB所成的二面角a的余弦值.

30.如图所示，在正四棱柱ABCD—A$IGDI中，48=2,/4=3,点P是棱上一点，设

CP=m(m6(0,3)).

(1)设点当在平面4PA上的正投影为点。，证明：对任意的胆，都有。1QL4P.

(2)当平面401P和平面A8CZ)所成锐二面角的余弦值为当时，求m的值.

【答案与解析】

1.答案：。

解析：

本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题.

作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积.

解：如图所示，

直观图△AB'C的高为

讥

h=C'D'sin45°=-2CDsin450=-2x2xsi4n60°xs45°=

底边长为&B'=4B=2；

所以△4'B'C’的面积为：

S=-AB-h=-x2x—=—■

2244

故选：D.

解析：

本题考查直线与平面所成的角，考查余弦定理的运用，考查空间想象能力，属于难题.

由题意知&C与直线《直线&E）的余弦值恰为4C与平面a所成角的正弦，利用余弦定理求解即可.

解：设直线/过点&且垂直于a,则与&D都与直线/夹角为30。，连接8。，

由题意得△&BZ）是等边三角形，取BO中点E,

由题意得4E可以承担直线/的角色，但同时与直线&D夹角为相等的直线，最小也要30。,

••・此时直线/是唯一的，由题意知&C与直线《直线&E）的余弦值恰为4C与平面a所成角的正弦，

设正方体ABCO-的棱长为2,

则&C=V22+22+22=2<3>CE=^V22+22=V2,斗住=J(2A/2)2-(V2)2=倔

二设4C与平面a所成角为。,

41c2+」i£2-Cf2

贝ijsin。=cos乙4]CE=12+6-2_2V2

2x2V3xV6-3'

2xA1CxA1E

&C与平面a所成角的余弦值为：cos。=Jl_聋）2=

故选A.

3.答案：B

解析：

本题主要考察三视图，外接球，属于立体几何常见题，用补体法解题即可.

解：根据题目可知，三棱锥的顶点在如图所示长方体上，

A

球心在上下底面中心的连线上，设距离下底面X,

则+(|)2=(4—%)2+(|)=R2,

解得：X=l，

c995

S=4TTR~=4TTx('+~)=347r,

11

故选：B.

4.答案：C

解析：

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，函数的最值，函数的单调性，棱

锥的体积等知识点，难度中档.根据已知，逐一分析四个结论的真假，可得答案.

解:①♦.•平面〃平面BCC'B',平面MENFn平面AOD'4=EN,平面MENFn平面BCC'B'=MF,

•••ENI/MF,同理：EM11NF,.•.四边形MENF为平行四边形，

■■■AC1平面DBB'。'，EF11AC,:.EF_L平面DBB'D',MNu平面。BB'D',二EF1MN,.•.四边形MENF

的面积S=^EF||MN|,为定值，.•.当N分别为BB',DD'的中点时有最小值，.•.①正确；

②%-MENF=九-曲+九-的，因为，曲为定值，M,N到平面4EF的距离为定值，所以四棱锥

4一MENF的体积为定值，.♦.②正确；

③四棱锥A-MENF的体积为定值，SAMNE=]]|EF|•|MN|,当xG（0,1]且x增大时，|MN|减小，

SAMNE减小，所以PQ）增大，所以p（x）在（0国上单调递增，且在x=l时，取得最大值1,.••③正确；

④过M作平面MF'N'E'〃平面A8CQ,分别交CC',DD',44'于F',N',E',则多面体力BCD-MENF的体

积=^ABCD~MFiNiEi+^M-EiNiNE+^M-FiFNNi'而以BCD-MF，N，E，=2X2x=4x.

x22x1xx2x2

^M-E'N=|1(-+-)=2(1-%),VM_p'FNN»=|x|(2-2x+l-x)x

2x2=2(1—%),

所以h(x)=4x+2(1-x)+2(1-％)=4,所以h(x)为常数函数，，④错误.

故选C.

5.答案：C

解析:

本题考查球的表面积，涉及正弦定理，属中档题.求得底面外接圆的半径，然后再求球的半径.

解：底面外接圆的半径为々

/ccwZBDA/

1

/.siiiZBDA/=，

1

BA/币,

根据正弦定理-sinZBDA/一m,

T

Ar=2.

又4M_L底面8DM,且AM=2,

外接球的半径R=b+(争2=yj22+I2-花，

二外接球的表面积为S=4兀肥=207r.

故选C.

6.答案：C

解析：

本题考查球的表面积，涉及正弦定理，属中档题，求得底面外接圆的半径，然后再求球的半径

解：底面外接圆的半径为，，

VCOSZBDM=|,sill/=7，

BMy/7

根据正弦定理—sinZBDA/一々一，•••r=2.

T

又AM1底面BOM,且4M=2,

外接球的半径R=卜+咨）2=V22+I2=V5>

二外接球的表面积为S=4兀胆=20TT,

故选C.

7.答案：A

解析：

本题考查了正方体的性质、直角三角形的边角关系以及线面角的求法，考查

了推理能力，属于中档题.

由题意可得：直线0尸于平面4BD所成的角a的取值范围是［乙4。4卷］U

再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.

解：由题意可得：直线0P于平面4BD所成的角a的取值范围是［乙4。①苧“46。41勺.

不妨取48=2.

在山△404】中，sinz/10>l1=^=-j=2==^

sin/CiOAi=sin(?r-2AA0A1')=sin2^A0A1=2sin^AOA1cos^AOA1=2x曰x?=W>白,

s呜=1.

・•.sina的取值范围是俘,1].

故选A.

8.答案：D

解析：解：如图，由题意，8c的中点。为等腰梯形BCFE的外接圆的圆心,

则四棱锥P-BCFE的外接球的球心在过。且垂直于平面8CFE的直线上，

要使四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要。为四棱锥P-BCFE的外接球

的球心，

99

此时。P=0B=g,PG=OG=：OA=W则COSNPOG==在，

222XV3X-3

P到平面BCFE的距离为d=OP-sinZPOG=V2.

又SBCFE=\(V3+2>/3)x|=竽.

••・四棱锥P-BCFE的体积为V=三x随X在=也.

344

故选:D.

由题意画出图形，BC的中点。为等腰梯形BCFE的外接圆的圆心，可知要使四棱锥P-BCFE的外

接球的表面积最小，则半径最小，即需要。为四棱锥P-BCFE的外接球的球心，由此可得。P,求

解三角形得到P到平面8CFE的距离，再求出等腰梯形8CFE的体积，代入棱锥体积公式求解.

本题考查多面体的外接球，考查数学转化思想方法，训练了多面体体积的求法，是中档题.

9.答案：A

解析：

本题考查棱锥的外接球的表面积、体积的计算，属于较难题.

当平面2CD_L平面BC。时，四面体的体积最大，令CD=2x,则△4CD,△BCD的高为，3-

则U=|(|-2x-V3—x2)V3—x2=x—1x3(0<x<V3)

可得当x=1即CO=2时，V(x)有最大值，此时4B=2.则以四面体的顶点构造长方体(长宽高分别为

a,b,c)；

令四面体的外接球(即长方体的外接球)的半径为R,贝IJ4R2=a2+b2+c2=5；即可求解；

解：当平面4CD,平面时，四面体的体积最大，令CD=2x,则AaCD,△BCD的高为后三区

则U-2x-V3—x2)V3—x2=x—1x3(0<%<V3)

则片(乃=1-尤2,当0<x<l,X(x)>0;当1<%<遍时V'(x)<0,

.♦.当x=1即CO=2时,V(x)有最大值，此时4B=2.

a2+b2=4

则以四面体的顶点构造长方体(长宽高分别为a,b,c)则b2+c2=3.

-a2+c2=3

令四面体的外接球(即长方体的外接球)的半径为R,贝I4R2=a2+b2+(：2=S.

四面体ABC。的外接球的表面积为4TTR2=5兀

故选A;

10.答案：ACD

解析：

本题考查命题的真假判断，涉及棱锥的体积，斜二测画法，平面的基本性质，考查逻辑推理和空间

想象能力，属于中档题.

根据选项逐一判断即可.

解：对于A,正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为遥，

则棱锥的高八=J(遍/_1=2,底面积S=fx12x6=苧，

它的体积为型X2=V5,故A正确；

32

对于8,如图是△ABC的直观图,

C

在CB的延长线上去一点。，连接4。，使4/08=45。,

4。_力8

在△中，由正弦定理得,

A8Dsinl20°sin45o>

解得4。=渔a，

2

・・・原448c的边3c上的高为24。=巫a，

・•・原△48C面积为工x乃。xa=渔小，故3错误；

22

对于C,当三个平面互相平行时，可以将空间分成4个部分,

当两个平面平行被第三个平面所截，或三个平面交于--条直线时，可以将空间分成6个部分,

当三个平面两两相交于三条不同的直线且三条交线互相平行时，可以将空间分成7个部分，

当三个平面两两相交于三条不同的直线且三条交线交于一点，（如空间直角坐标平面），可以将空间

分成8个部分，

故C正确；

对于。，已知四点不共面，则其中任意三点不共线，（若有三点共线，则四点共面与已知矛盾），故。

正确.

故选ACD.

11.答案：10兀+38

解析：解：由题意可知圆柱被截去剩余部分的底面面积为：

-X22-TT+-X2X2Xsin-=—+V3,

6233

所以剩余部分的体积为：（等+75）x3=10兀+3后

故答案为：10TT+3V

利用已知条件求出圆柱的被截去，剩余部分的底面的面积,

然后求解儿何体的体积即可.

本题综合考查了空间几何体的性质，面积，体积公式，属于计算题，求解底面面积是解题的关键,

是中档题.

12.答案：6v5

解析：

本题考查球的体积与棱柱体积的求法，难度较易.

先根据内切球求出三棱柱的高，然后根据三棱柱的体积求出结论.

解：由体积得球半径R=l,

因为球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切

所以，三棱柱的高为2,底面边长为2遮.

1lr-

V=-x2V3x3x2=6V3

故答案为6V5.

13.答案：哗

7T2

解析:

本题考查圆锥、圆柱的体积公式，属于基础题.

根据题意，进行求解即可.

解：设圆锥底面圆的半径为r,高为h,贝127n"=兀心

R

■■r=-,

2

vR2=r24-ft2,h=—Ry

2

・•.V]用锥=iX7TX(巴)X-/?=史TTR3；

圆锥3\2j224

用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，

则该圆柱的体积为：([)-XTrxZRu；"3.

则该圆柱与圆锥的体积之比为：尹=臂.

故答案为：耳.

7T2

14.答案：务

解析：解：设。为正方形ABCQ的中心,AB的中点为M,连接PM,OM,P0,则0M=1,

,_________,_____,____4

PM=\/PA2-AM2=V10-1=3.PO=V9-1=2^2.如图，在截面PMO中，设N

'/CT

为球01与平面PAB的切点，

则N在PM上，且01N1PM,设球01的半径为R,则O1N=R,

因为sin/MP。=警=：,所以鬻=g则P01=3R,

rlvl5rUiD

PO=POi+001=4R=2VL所以R=当，

设球Oi与球。2相切与点Q,则PQ=P。-2R=2R,设球。2的半径为r,

同理可得PQ=4r,所以r=g=乎，

故小球。2的体积V=；兀73=^|TT>

故答案为：立兀.

24

设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M,连接PM,OM,PO,则0M=1PM=y/PA2-AM2=

710^1=3,PO=V9^1=2V2,如图，分别可求得大球Oi与小球。2半径分别为弓和手，进而可

得小球的体积.

本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题.

15.答案：127r

解析:

本题考查了勾股定理的运用，考查了等腰三角形的高线及中线的性质，解本题的关键是掌握等腰三

角形底边的高线，中线，角平分线三线合一的性质.

根据M-4BC四个面都为直角三角形，MA1平面ABC,MA=AB=BC=2,求解三角形的4c=2VL

从而可得MC=2V3,即可求解该鳖席的半径，由此能求出该鳖膈的外接球的表面积.

解:M—4BC四个面都为直角三角形,MA_L平面ABC,MA=AB=BC=

2,

.♦.在RM4BC中：AC=2V2>

从而可得MC=\!MA2+AC2=2百，

•••△ABC是等腰直角三角形，

•••△力BC外接圆的半径为“C=V2,

•••外接球的球心到平面ABC的距离为，=1.

可得外接球的半径R=V2T1=V3，

故得外接球表面积S=4兀x3=127r.

故答案为127r.

16.答案:807r

解析：

本题考查棱锥外接球表面积的求法，先证明AD1平面BC£>,利用二面角的定义得知14BCC=90。,

利用勾股定理可得出△BCD的外接圆直径为8C,设R为三棱锥/-BCD的外接球的半径，得

R=娉尸+（第2,再利用球的表面积公式可得出答案.

【详解】

如图所示，

折叠前，由于△力BC是等边三角形，。为8C的中点，则AD1BC,

折叠后，则有4D1CD,AD1BD,•：BDdCD=D,且都在平面BCD中，.•.力D_L平面BCD,

•.,二面角B-4D-C为直二面角，•••4D1BD,AD1CD,则二面角B-4。一C的平面角为

乙BDC=90°,

且BD=CD=|x8=4,AD=ABsin60"=4V3,

RtABCD的夕卜接圆直径为BC=yjBD2+CD2=4>/2

所以，三棱锥4-BCD的外接球半径为R=J谭尸+(刍2=2V5,

因此，三棱锥4-BCD的外接球的表面积为4兀/?2=807r.

故答案为：8071

17.答案：2V2

解析：解：由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成

组合体的内切球，

内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面的示意图，

圆。为内切球的轴截面，E、F、G、，分别为切点，

连接。A,OB,OC,OD,OE,OF,OG,OH,

由题意可知，AB1BC,AD1DC,AC=hr+h2,

R=OE=OF=OG=OH=1,贝!1$四边筋BCD=SAAOB+S^BOC+^ACOD+^C^AOD,

即ABBC=-RAB+-RBC+-R-CD+-RAD=-R-(2AB+2BC)

=R•(AB+BC),

・•・AB+BC=AB,BC,

由基本不等式可得：AB-BC=AB+BC>2y/AB-BC,则4B•BCN4,

当且仅当4B=BC时"=”成立.

(hi+生产=AC2=AB2+BC2>2ABBC>8.

当且仅当AB=BC时”=”成立，故既+殳的最小值为2&.

故答案为2夜.

由题意画出图形，圆O为内切球的轴截面,E、F、G、4分别为切点，由题意可知,481BC,AD1DC,

AC=hr+殳，再由等面积法可得力B+BC=AB-BC,然后利用基本不等式求最值，得到力B-BC>4,

当且仅当AB=BC时”=”成立，则(回+电)2=4。2=AB2+BC222AB28,由此可得

4+电的最小值.

本题考查旋转体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等面积法求解最值问题，是

中档题.

18.答案：6

解析：

本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查.解决本题的关键在于得

到。0止。2为正方形.

可以从三个圆心上找关系，利用勾股定理即可求解出答案.

解：设两圆的圆心分别为01、02,球心为O,公共弦为其中点为E,如下图，

由于球心到这两个平面的距离相等，

则。0把。2为正方形，

rr

设。14其中为一个截面的半径「1，另外。2人为另外一个截面圆的半径「2,i=2-「，。。1=0rE-x,

且4E==V2,

：,△0。通和4。北4都是直角三角形，

于是由勾股定理。。」+01屁=。42,力石2+。1盾=。〃2,

即/+r2=16,2+x2=r2

x=V7,r=3，

•••这两个圆的半径之和为2r=6.

故答案为6.

19.答案：叵

3

解析：

本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题.

因为△P4B是边长为2的等边三角形所以APAB面积确定，要使三棱锥P-4BC体积最大，既要使点

C到平面PA3的距离最大，只有当平面48cL平面时，体积最大，即点C到边A8的距离最大，

三棱锥的体积最大，即可求出结果.

解：当点C满足C4=CB时，点C到边AB的距离最大，三棱锥的体积最大，

取A8的中点。，连接CD,

设三角形ABC的外接圆的圆心为E,三角形PAB的外接圆的圆心为尸，所以APHB面积确定，要使

三棱锥P-4BC体积最大，即要使点C到平面PA8的距离最大，只有当平面ABC1平面PAB时，体

积最大，即点C到边AB的距离最大，三棱锥的体积最大，因为〃8。=30°,且48=2,△4BC外

接圆E的半径CE=：Xf=2,所以。在44BC外接圆上运动，如图所示,当点C满足C4=CB时，

2sin30

点C到边AB的距离最大，三棱锥的体积最大，

此时三棱锥的高为CD的长，此时△ABC外接圆E的圆心E在C。上，根据球的性质可知，0E1CE,

OFIDF,OF//ED,故四边形EOF。为矩形，

故=DF=-x—x2=—

0E323

在Rt△CEO中，球的半径为CO=y/CE2+OE2=)4+-=—.

\33

故答案为理.

3

20.答案：

解析:

本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论

证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，

是中档题.

将侧面488出和侧面BCC/i展开成矩形ACCJA，如图，连结交于D,此时4D+。加最小，

当最小时，BD=1,此时三棱锥。一ABG的体积：VD_ABC1=VC1-ABD,由此能求出结果.

解：将侧面4BB14和侧面8CC$i展开成矩形4CG4，如图，

4BiG

连结4C1，交BB1于D,此时4D+DC1最小，

vAB=1,BC=2,BB[=3,AABC=90°,点。为侧棱BB1上的动点,

•••当40+DC1最小时，BD=1,

此时三棱锥D-ABC1的体积：

__1

VD-ABCI=WXS&ABDXBjC]

11

=-x-xABxBDxBG

=-x-xlxlx2=-.

323

故答案为：

21.答案:3n

解析：

本题考查正三棱锥的展开图以及外接球，根据展开图求出棱长，将正四面体补形成一个以棱长为面

对角线的正方体，求出体对角线即为直径，求出表面积即可.

解：由展开图可知，正四面体的棱长为企，

将正四面体补形成一个以棱长为面对角线的正方体，则正方体的棱长为1,

外接球的直径2R=V3.则表面积S=4nR2=TT(2/?)2=37r.

故答案为37r.

22.答案：,

V6

T

解析：

本题考查空间直线与平面所成的角，二面角以及空间几何体体积的计算，难度较大.

设正方形ABCZ）中AC与2。交于0,可得480。为二面角B-AC-D的平面角，结合平面正方形的

性质求得空间B在平面AC£＞上的射影H,得到为AB与平面AC。所成角，

BOD-

由Kl-BC。=K1-B0D+^C-BOD=1szi-"。+'^^ABOD'。。=^ABODAC可求得四面体4—BCD的体

积.

解：设正方形ABCQ中AC与8。交于。，则B014C,DO1AC,

折起后NBOO为二面角B-AC-。的平面角，所以48。。=60。，且4cl平面800,

因为ACu平面ACD,所以平面ACD，平面BOD,

所以8在平面AC£＞上的射影H在。。上，BO=V2＞=/x遮=遗，

22

为4B与平面AC。所成角，sinNBAH=处=叵

BA4

__11_1

YA-BCD=^A-BOD+^C-BOD='人。+^ABOD'。。=^ABOD,%。

=海〉（⑨2x2近=争

故答案为由；虫.

43

23.答案：证明：(1);E,F分别为&D,41c的中点,

EF//CD,

■：CDC平面EFG,EFu平面EFG,

CD〃平面EFG；

(2)vCA=CB,。为A8的中点，

•••CDLAB,

•••侧面488遇11底面ABC,侧面4BB1&n底面4BC=AB,CDc面ABC,

•••CDJ■侧面4BB14,而A、Du面ABB、A\,

CD1AXD,

•••EF//CD,

ArD±EF,

ArD1EG,EFC\EG=E,EF,EGu面EFG,

：.A^D1平面EFG.

解析：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的性质，属于中档题.

(1)利用中位线的性质可证EF〃CD,又CD仁平面EFG,EFu平面EFG,由此可证得结论；

(2)易证CD1.AB,再利用面面垂直的性质可证CD_L侧面AB814，可得CD14D,可证为。1EF,

由此可证得结论.

24.答案:

(1)证明：如图所示，连接M。交AB于N,连接FN,MB.

则N是AB的中点，AD=NM=BC=2.

因为FO_L平面A8CC,所以平面FMNL平面4BCD.又平面40E_L平面A8CD,所以平面40E〃平面

FMN,

根据题意，四边形48FE和OCFE是全等的直角梯形，

三角形AQE和NMF是全等的等腰直角三角形，

所以NF=MF=&,OF=1,

在直角三角形BFN中，NB=yjBF2-NF2=企，

所以AB=2&,AF=2,MB=遍.

于是4尸2+Bf2=AB2,MF2+BF2=MB2,所以BF14"，BF1MF.

因为AF,MFu平面AMF,AFC\MF=F,

所以BF1平面AMF.

(2)解：据(1)可知，楔形几何体EF—ABCD由直三棱柱ADE-NMF和四棱锥F-BCMN组成，

NMF

直三棱柱4DE-NMF的体积为匕0-=SSADE-7!/V=jxV2xV2xV2=V2,

四棱锥尸—BCMN的体积为/_BCMN=^SBCMN•F0=1x2xV2x1=

所以楔形儿何体EF-ABCD的体积为匕DANMF+VR-BCMN=誓.

解析：本题主要考查线面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，考查学生的空

间想象能力及抽象思维和逻辑推理能力，属于中档题.

(1)欲证明BF_L平面4MF,只需证明B尸垂直平面AMF两条相交直线4凡即可；

(2)楔形几何体EF-4BCD由直三棱柱4DE-NMF和四棱锥F-BCMN组成，转化为VEFTBCD=

^ADE-NMF+/-BCMN即可求解。

25.答案：解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，在中间挖去一个圆柱，

且圆锥的底面半径为4,高为46，圆柱的底面半径为2,高为2疗.

(1)所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.

S圆锥的底面='6it,S圆锥厕=32n,S圆柱的侧=8a口.

故所求几何体的表面积为：16兀+327r+8V37T=487r+8百兀.

(2)阴影部分形成的几何体的体积：

v~v圆锥-V圆柱

1厂L

=-x7Tx16x4V3-7Tx4x2V3

40V3

解析：本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中

档题.

旋转后几何体是一个圆锥，中间挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式公式，可求其表面积与体积.

(1)根据旋转体的结构知是圆锥挖去一个圆柱，所以阴影部分形成的几何体表面积为圆锥底面积、圆

锥侧面积、圆柱侧面积之和，分别计算相加即可；

(2)阴影部分形成的几何体为圆锥挖去一个圆柱，所以体积为圆锥体积减去圆柱体积即可.

26.答案：解：(1)取PA的中点为。，连接NQ,BQ,

又点N是尸。的中点，则NQ〃A。且NQ

又点例是8c的中点，底面4BCD是矩形，

则BM=^ADS.BM//AD,

•••NQ"BM&NQ=BM,

•••四边形MNQB是平行四边形，

•••MN//BQ,

乂MNC平面PAB,BQu平面PAB,

MN〃平面PAB.

(2)过点P作PE14B交AB于点E,作PF1CD交CO于点F,连接EF,

则PF14B,PECPF=P,

ABJ•平面PEF,又ABu平面ABCD,

二平面PEF1平面ABCD,

PA=PD=V3>PB=PC=V6，/-APB=Z.CPD=90。，

AB=CD=3,PE=PF=V2，BE=CF=2,AE=DF=1

••・平面P4B1平面PC。，•••4EPF=90。，••.EF=2.

取EF的中点为。，连接。P,则OP1EF,OP=1.

以O为坐标原点，分别以OM,OF,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。-xyz,

如图所示,P(0,0,1),C(2,l,0),D(-l,1,0),M(2,0,0),

所以^?=(2,1，—1)，PD=(—1,1>—I),MN=(一］,：,今,

设平面PCD的一个法向量为元=(%,>■,z),

则由严艺="+y.z=°,

{n-PD=-2x+y—z=0

可取元=(0/，1),

设直线MN与平面PC。所成角为仇则

.八In-MNI1V6

2

所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为渔.

9

解析：本题考查线面平行的证明以及直线与平面所成角的正弦值，属于中档题.

(1)取PA的中点为。，连接NQ,BQ,由题意可得四边形MNQB是平行四边形，根据线面平行的判

定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面PCD的一个法向量，即可求出直线

与平面PCD所成角的正弦值.

27.答案：(I)证明：取8c的中点E,连接AE,C】E,

AB=AC,AE1BC,

•••4BB14是正方形，BB]1AB,

又平面1平面ABC,平面力BBi/lin平面ABC=AB,

BB]u平面ABBiAi，

BB]平面ABC,

XvAEu平面ABC,：.AE1BBr,

又BC,BBiu平面BCCiBi，BCCBB1=B,

•••AE，平面BCC/i，

•••B^f/BC,且

BiCigsE，・',四边形为平行四边形，

...QE=BiB=4遇，」•四边形441QE为平行四边形，

:.4E〃/1£,

力传1_1平面BCG%,又AiGu平面4CG，

平面4CG■!•平面BCGa.

（口）由（I）知所求几何体为四棱锥C-441GE和直三棱柱4BE-&B1G的组合体

5，

CE1AE,CE±AAr,AA1,AEcPffi/li41C1E,AA1nAE=A,

CE_L平面44QE,

••・四棱锥C-441GE的体积

—A”=衿AGE,CE=.AE.CE=gx夜x2x&=g

直三棱柱ABE-4遇传1的体积匕BE-AB©=5.£•44I=?BE•AE•=：x&x&x2=2

二所求几何体ABC-&B1C1的体积U=Vc_AAiCiE+〃BE-ABC=g+2=g

解析：本题考查了面面垂直的判定、求空间几何体的体积，是中档题.

（1）先证明4£，平面8。。止1，再证明AE〃&C「则41Gl平面BCC/i，由面面垂直的判定即可得

证；

（11）由（1）知所求几何体为四棱锥C-44GE和直三棱柱4BE-4B1C1的组合体，求证出CE_L平面

AA^E,可得四棱锥C一a&GE的体积，然后由三棱柱体积公式求得直三棱柱ABE-ZiBiC］的体

积，即可求解.

28.答案：解：（I）连接AC,设ACnBE=G,则平面SACCl平面EFB=FG,

•••S4〃平面EFB,SA//FG,

八一八c八4GAE1

*'-△GEA〜△GBC，bCDLZ

.-.—=—=-^SF=-SC,

FCGC2