第一次月考重难点特训（三）之勾股定理与特殊三角形相关的压轴题（附答案解析）

A

第一次月考重难点特训（三）之勾股定理与特殊三角形结合的压轴题

国【重难点题型】

1.（2021春.湖北荆门•八年级校考阶段练习〉在RtAABC中，AB=AC,N34c=90。，。、E为BC上两点、,

ZDAE=45°,F为工ABC外•点，且尸8_LBC,E4_LAE,则下列结论：①CE=BF；②助厅+CE?=£>炉：③

S^^^DEF；④CE?+BE2=2AE2,其中正确的是（）

A.2+2』B.2+73C.4+6D.4+2-J3

5.（2023秋・浙江杭州•八年级校联考期末）如图，，,ABC中，AB=AC,ADJ.BC于点D,0E平分NADC,交

AC与点£于点八且交4r于点G,若AG=2,8C=12,则A尸=_____.

2.（2022春•湖北武汉•八年级武汉市粮道街中学校联考期中）如图，在中，ZA=60°,8。为AC边上的高,

E为BC边的中点，点尸在AB边上，ZEDF=60°,若AF=2,=y,则3c边的长为（）

6.（2022秋•广东深圳•八年级深圳市海湾中学校考期中）如图，如果四边形A8CD中，AB=AD,

ZBA£>=ZBCD=90°,ZE4F=45°,且BC=5,DC=I3,FC=9,则BE=.

A.与B.|V3C.|x/13D.g而

3.（2022秋•八年级课时练习）如图，Z4QA=3（T,点M、N分别在边04、OB且QM=3,QN=5,点P、Q

7.（2022秋・江苏泰州•八年级统考期中）如图，在长方形ABC。中，点E是。。上的•点，过点E作EF_L的，

分别在边。&QA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）

交AO于点凡作点。关于EF■的对称点G,依次连接BG、EG、FG.已知A8=I6,BC=12,且当反;是

以BE为腰的等腰三角形时，则CE的值为.

A.V34B.屈C.734-2D.735-2

4.（2023秋•江苏宿迁•九年级南师附中宿迁分校校考期末）一A8C是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD

上的•个动点，连接BP,将BP绕点8顺时针旋转60。得到BE,连接PE、DE、CE,则△BDE周长的最小值是8.（2023春•八年级课时练习）如图，已知RtZXABC,?B90?,NA=30°,AC=2,AB=6若点尸是48上

的•个动点，则。户+]4。的最小值为.于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，.

(2)小试牛刀：如图2所示，RL^ABC中，AB=5,AC=4,则点尸为48边上一动点，则CP的最小值为.

(3)尝试应用：如图3所示,A3c是边长为4的等边三角形，其中点尸为高A。上的一个动点，连接WL将8。绕

点B顺时针旋转60。得到BE,连接PE、DE、CE

①求出。石的最小值.

②在①的条件下求..BPE的面积.

9.(2023秋・河南洛阳•八年级统考期末)【问题发现】(1)如图I,ABC和VAOE均为等边三角形，点5,D,E

在同一直线上，连接CE,容易发现：①NBEC的度数为；②线段80、CE之间的数量关系

为;

【类比探究】

(2)如图2,jABC和VAOE均为等腰宜角三角形，NBA。=N1ME=90°,点艮D,E在同一直线上，连接CE,

试判断/4EC的度数以及线段迎、CE、OE之间的数量关系，并说明理由：

【问题解决】

(3)如图3,ZAOB=ZACB=90°,OA=4,08=8,AC=BC,则OC?的值为.

11.(2023秋・浙江宁波•八年级统考期末)定义：在任意出6。中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的

和为90。，那么称此一：角形为“倍角互余三角形

图1图2

⑴【基础巩固】若zuABC是“倍角互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,则NB=。：

(2)【尝试应用】如图1,在RIA4BC中，ZAC8=90。，点。为线段BC上一点，若NC4D与“43互余.求证:

△ABO是“倍角互余三角形”；

(3)【拓展提高】如图2,在RLAMC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,试问在边8C上是否存在点E，使得二ABE

是“倍角互余三角形”？若存在，请求出防的长；若不存在，请说明理由.

12.(2023秋・湖南衡阳•八年级校考期末)如图I,在'C中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,点尸从点A出发，

以每秒I个单位长度的速度沿路线AfCf8fA运动.设点尸的运动时间为I秒.

10.(2023秋•江西南昌・九年级校联考期末)(1)回归教材：如图1所示，点P是直线机外一点，POlm,点O

是垂足，点A、B、C在直线机上，比较线段PO,PA,PR，PC的长短，你发现了什么？最短线段是

(3)如图3,四边形A8CQ中，NA=90。，ND=120。，E为AD中点，尸、G分别边A3、8上，且EFLEG,

ABBB

图1图2图3

(l)4C=:当点。在AC上时，CP=(用含/的代数式表示):

(2)如图2,若点户在/A8C的角平分线上，求，的值；

(3)在整个运动过程中，当BCP是等腰三角形时，求/的值.

13.(2023春・全国•八年级专•题练习)阅读下面材料:

某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

15.(2023秋•广东广州•八年级广东华侨中学校考期末)在边长为2的等边三角形A3C中，点E在AB上，点。

在ABC中，ZBAC=9O°,AB=AC,ZB=ZBC4=45°,。是的中点,

在C3的延长线上，且

图3

(1)问题发现：如图1,若点E、F分别在线段A4、AC上，RAE=CF,连接m、DE、DF.A。，此时小明

(I)当点E为A8的中点时，如图1,求证：EC=EDx

发现440=。，ADDC(填"＞、＜、=")：接下来小明和同学们继续探究，发现一个结

(2)当点E不是AS的中点时，如图2,也与瓦)还相等吗？请说明理由；

论：线段E尸与OE长的比值是•个固定值，即£F=DE.

(3)当点E为45的中点时，如图3,若旗=e，点M在线段CE上，8MN为等边一:角形，且点M沿着线段CE从

(2)变式探究：如图2,E、尸分别在线段以、AC的延长线上，EAE=CF,若所=4,求。E的长并写出过程.

点C运动到点E,点N随之运动，求8硒周长的最小值.

(3)拓展应用：如图3,A8=AC=6,动点M在从。的延长线上，点〃在直线AC上,且满足NBM”=90°,C”=2,

请直接写出DM的长为.

16.(2022秋・辽宁抚顺・九年级校考阶段练习)如图I,在△ACH"ZACB=90°,CA=CB,点、D,£分别在边

C4,CB上，CD=CE,连接。£,AE,BD,过点。作。/1.八£,垂足为，，C尸与8。交于点凡

14.(2022秋•浙江宁波八年级校考期中)(1)如图1,在一ABC中，AB=5,AC=3,AD为5c边上的中线.求

中线A0的取值范围；(提示：延长AD到点E,使。£=AD，连接6E)

(2)如图2,在ABC中，ZA=90°,。是BC边的中点，Z£DF=90°,DE交AB千点E,DF交AC于点尸，

连接石尸，求证：BE-+CF2=EF-x

D

(1)如图1,若N84C=90。，AF=\,AC=43,求6到AE的距离;

⑵如图2,若E为8。中点,连接产D田平分乙VC,G为CF上一点，且NGDC=NGa>,求证：DG+AF=FC；

(2)将图1中的..SW绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2,(1)的结论是否成立？如果成立，请证明；如

(3)如图3,若N8AC=120°,8c=12,将△A8D沿着A3翻折得△AB。，点”为8。的中点，连接“4、HC,

果不成立，请说明理由:

求△H4C周长的最小值.

(3)若6=2,8=4,将.CDE绕点C逆时针旋转一周，当A,E,。三点共线时，直接写出CF的长.

17.(2022秋・江苏扬州•八年级校联考期中)(1)如图1,把一块三角板(AB=8C,ZAfiC=90°)放入一个“U”

形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知/。=/£=90°,在滑动过程中，你

发现线段AD与班有什么关系？试说明你的结论；

19.(2023春•八年级课时练习)康康同学在研究等边三角形，如图1,己知..A4。是等边三角形，。为3C边的中

点，E为中线AO上一点(£不可取A点，可取。点)，点E关于直线AC的对称点是点F.连接AF,EF,BF.

图4

【变式探究】(2)如图2,在/8C中，点。、E、尸分别在边3C、A3、AC上，若NB=/FDE=«,那么"ED

与NCDF有何关系，并加以说理；

【拓展应用】(3)如图3,在.ABC中，"=8。，NB=45°,点D、F分别是边BC、AB上的动点，且AF=23。.以图1图2备用图

。尸为腰向右作等腰使得DE二DF，@尸=45。，连接CE.

(1)①在图I中补全图形；

①试判断线段OC、BD、BF之间的数量关系,并说明理由；

②他发现E点在中线AD上运动时，△河产是一种特殊三角形.

②如图4,已知AC=4,点G是AC的中点，连接£4、EG,直接写出£4+EG的最小值.

请你回答&AEF是三角形；

18.(2022秋.重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)在血中，AB=AC,。是边4c上一点，F是边

③利用图1证明这个结论.

A3上点，连接30、C尸交于点E,连接4E,且AE_LCF.

(2)康康同学发现当E点在中线4。上运动时，所的长度也有规律的变化.当8尸为最大值时，在图2中画出点尸,

并连接AF,BF,BF与AC交于点P.

①按要求画出图形；

②在河上存在一点。，使PQ+QC的值最小，猜想这最小值____________BP(填>,<,=)：

③证明②的结论.

(3)在边AC上存在•点M,同时满足BM-ME的值最大且8M+ME的值最小，则此时MC与AC的数量关系是

如图1,若力为ZXACB内部一点，AE与8。的数量关系是；

(2)【探索证明】

如图2,若。为A8边上一点，AD=5,BD=12,求DE的长.

(3)【学于致用】

20.(2023春•八年级课时练习)在二ABC中，N5AC=45。，CD_LAB于点。，AE_L3C'于点E,连接OE.

A运用(I)(2)解答中所积累的经验和知识，完成卜题：如图3,已知N5CE=900,AC=AB,ABAC=45°,

AB=AC=\,求AE的长.

图2

(I)如图1,当二A4C为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想28/场与N8CD之间的数量关系并证明；

22.(2022秋•浙江•八年级期中)如图1,在&MC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,AE为BC边上的中线.

②用等式表示线段AE，CE,。石的数量关系，并证明.

(2)如图2,当为钝角时，直接写出线段AE,CE,的数量关系.

21.(2022秋•广东深圳•八年级深圳市海湾中学校考期中)已知zMCB和二日7)都是等腰直角三角形,

ZACB=/£CD=90P.

(1)求AE的长；

(2)动点P的速度为2cm/s,运动时间为/秒.

①如图2,当点P从点S开始沿BC边向点C移动时，若二AAP是以8P为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条

件的，的值.

②如图3,当点P从点C开始沿AC边向点A移动时，将△CPE沿直线也对折，点C的对称点为C',当ACPE

与AAEP重叠部分为直角三角形时，请直接写出，的值为

⑴如图1.点E为AC中点，点。为A8三等分点且BOvAD,若5“加=1，求5枷：

23.（2022秋・上海虹口•八年级校考期中）小刘同学在•次课外活动中，用硬纸片做了两个宜角三角形，见图1、⑵如图2.已知2DFB=60°,点//为8C中点,连接DH交见于点Q,连接CQ并延长交AD于点M,若DM=MQ,

图2.探究CQ、CE之间的数量关系并说明理由：

图1中，?B90?,ZA=30°,BC=5cm：图2中，'?D90?,ZE=45°,DE=3cm.（3）如图3.已知3c=86,点七在AC上，点〃在班延长线上且C£=AD，连接口）并以ED为边向左侧作等边

图3是小刘同学所做的一个实验：他将ADE厂的直角边。月与AABC的斜边AC重合在一起，并将乂归尸的直角

△£>£”，点M为AC上一点且AC=44M,当取最小值时请直接写出的面积.

边DE与AA6C的斜边AC重:合在一起，并将』）即沿AC方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在AC边上

（移动开始时点。与点A重合）.

⑴在川耳、沿AC方向移动的过程中，小刘同学发现：F、C两点间的距离逐渐—：（填“不变”、“变大或'变

小”）

（2）小刘同学经过进•步研窕，编制了如下问题：

问题①：当山斯移动至什么位置，即AO的长为多少时，尸、。的连线与A8平行？

25.（2022秋•江苏盐城•八年级景山中学校考期中）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在“

问题②：当.。£下移动至什么位置，即AO的长为多少时，以线段AD、FC、8c的长度为三边长的三角形是直

中，AB>AC（如图1）,怎样证明/C>NB呢？

角三角形？

把AC沿NA的平分线AD翻折，因为AO>AC,所以点。落在AB上的点。'处（如图2）.于是，由Z4CD=ZC,

请你分别完成上述两个问题的解答过程.

ZACD>^B,可得NC>ZB.

24.（2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆八中校考期中）如图1.已知为等边三角形，点D和E分别是直线A8

和4C边上的动点，连接CD和班:相交于点F.

(1)如图1,点。是A〃的中点，点E与点C重合，连接4尸.若A3=6,求质的长：

⑵如图2,点G在AC上且NAGO=60°+NPC8,求证：CF=DG：

⑶如图3,AB=6,BD=2CE,且点E与点C不重合，连接AF.过点F作瓶的垂线交AC于点P,连接8尸、

DP.将沿着利翻折得到岫"，连接QC.当AWP的周长最小时，直接写出ACPQ的面积.

图3图4

【感知】

⑴①如图2,在八中，若N8=35。，ZC=70°,则=

②如图2,在中，若NC=2/B,求证：AB-AC=CD；

【探究】

27.(2023春•全国•八年级专题练习)己知：如图，在等腰RtZXABC中，NAAC=90。，AB=BC,将线段BC绕

(2)若将图2中A£＞是角平分线的条件改成AO是高线，其他条件不变(图3),即在中，NC=2NBAD1BC,

点B顺时针旋转一定角度得到线段BO,连接A。交3C于点E,过点C作线段AO的垂线，垂足为点尸，交BD

请探索线段AC、BC、8之间的等量关系，并说明理由.

于点G

【拓展】

(3)如图4,在RS4BC中，NACB=90°,BC=4,AC=5,点尸是8。边上的一个动点(不与8、。重合)，将△APC

沿AP翻折，点C的对应点是点C'.若以B、C、C为顶点的三角形是直角三角形，直接写出5尸的长度—

(1)如图1,若NCBO=45。

①求NBCG的度数；

②求证：CE=DG；

(2)如图2,若NC8D=60°,当AC-DE=6时，求CE的值

28.(2022秋・浙江宁波•八年级慈溪市上林初级中学校考期中)定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段

能把该三角形分成•个等腰三角形和•个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智

26.(2022秋•羽庆沙坪坝•九年级重庆一中校考开学考试)在等边AAZ?。中，点。在边48上，点E在边BC上,

慧三角形.

将线段OE绕点。逆时针旋转60。得到线段0F,连接CF.

A

A

(1)如图1,在智慧三角形A8C中，AD1BC,4。为该三角形的智慧线，8=1,AC=2,则8D长为，

23的度数为.

(2)如图2,为等腰直角三角形，ZBAC=90°,厂是斜边8C延长线上一点，连结4尸，以从尸为直角边作等

腰直角三角形AFE(点AF,£按顺时针排列)，ZE4F=90°,AE交8c于点。，连结EC,EB,当

NBDE=2NBCE时,求证：E。是,E8C的智慧线.30.(2022・全国•八年级专题练习)如图①，在四边形ABCD中，ZB=ZC=9(F,点E是边上一点，AB=EC,

(3)如图3,"C中，AB=AC=5,8c=80,若八BCD是智慧三角形,且AC为智慧线，求△8C0的面积.BE=CD,连接AE,DE,可知，此时是等腰直角三角形;

【问题提出】

⑴如图②，在长方形A8CD中，点尸是边8上一点，在边8cAD上分别作出点E、F,使得点尸、E、P是一个

等腰直角三角形的三个顶点，且PE=PF,/EPF=90。

要求：用尺规作图，保招作图痕迹，不写作法；

29.(2022秋•湖北咸宁•九年级校考阶段练习)问题背景

【问题探究】

如图1,在等腰Rtz^ABC和等腰中，AC=BC,CE=CD,NACB=NDCE=90°,求证：AE=BD.

尝试应用(2)如图③，在平面直角坐标系xQy中，已知点A(20),点8(4.1),点C在第一象限内，若是等腰直角三

如图2,在等腰RtZXA3c中，AC=BC,NACB=90。，点E是AC边上一点，点F是BE上一点,若NCPE=45。，角形，求点C的坐标：

EF=3,面积为14,求防的长.【问题解决】

拓展创新(3)如图④，在平面直角坐标系立为中，已知点AQ0),点C是y轴上的动点，ABC是以点C为直角顶点的等腰

例是等腰RtZSABC外一点，ZACB=90°,AC=BC,若ZAMC=75°,/W=4,CM=20，通过旋转“可

直角三角形，连接80,求8。+班的最小值.［注：在平面直角坐标系内，A(a,c)tB也d),则

以求出的长，请你直接写出MB的长____.

第一次月考重难点特训（三）之勾股定理与特殊三角形结合的压轴题

旨【重难点题型】

1.（2021春•湖北荆门•八年级校考阶段练习）在中，AB=AC,N54C=90。，D、

E为8C上两点，/D4E=45。，F为,"C外一点，且必_L8C,FAVAE,则下列结论：

21222

①CE=BF；©BD+CE=DE-®S^DE=^AD-EF.@CE+BE=2AE,其中正确

的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出,