高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (20)(含解析)

第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题(20)

1.如图，已知四棱锥P—4BCD的底面A8CZ)为平行四边形，M,N分别是棱AB,PC的中点，平

面CMN与平面PAD交于PE.

A/----一―二少〜

R

(1)求证：MN〃平面PAD；

(2)求证：MN//PE.

2.如图，三棱台ABC—DEF中，ZABC=9O°,AC=2AB=2DF,四边形ACFD为等腰梯形，ZACF=

45°,平面ABED1平面ACFD.

(/)求证：AB1CF；

(〃)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.

3.如下图，正方形ABCO的边长为a,平面4BCC1平面CEO,CEIDE,CE=\AB.

E

(1)证明：AE1EC；

(2)求二面角4-DE-B的余弦值.

4.画图表示下列语句(其中P,M表示点，/,机表示直线，a,0表示平面):

(1)PeI,Pta,/na=M；

(2)an=m,P€a,Peg

(3)/<fa,Iu0：

(4)PGa,PG/?,aC0=m.

5.如图，在四棱锥P—ABCO中，底面ABC。满足AB1BC,

PA1底面ABCD,且PZ=AB=BC=2,AD=1.

(I)证明：P81AD；

(II)求平面PAB与平面PC。所成角的正弦值.

6.在四棱锥P-4BCD中，已知M,N分别是BC,的中点，若ABCD是平行四边形,MAC=90。.

(1)求证：MN〃平面PAB;

(2)若P41平面ABC。，求证：MNLAC.

7.如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分

成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明.

8.如图，在四棱柱中，底面ABCZ)是正方形，平面1平面A8CZZ4D=1,

44=夜.过顶点。，Bi的平面与棱BC,占义分别交于M,N两点.

(1)求证：AD1DB1：

(2)求证：四边形DM/N是平行四边形；

(3)若4D1CD,试判断二面角D—MBi-C的大小能否为45。？说明理由.

9.棱长为1的正方体4BCD-4B1C1D1中，E、F分别为棱BC、的中点.

Cl

AB

(1)若平面4FBi与平面BCGBi的交线为/,/与底面AC的交点为点G,试求AG的长；

(2)求二面角A-FBi—E的余弦值.

10.如图①四边形为矩形,E、F分别为AO,8c边的三等分点，其中4B=AE=CF=1,BF=2,

以EF为折痕把四边形ABFE折起如图②，使面4BFE，面EFCD.

B

图①图②

(1)证明：图②中CD_LB。；

(2)求二面角A-BD-C的余弦值.

11.如图，在斜三棱柱48C-48传1中，侧面441cle是菱形,AC11BiG，AC1与41c交于点0.

(I)求证：AOLArB-,

(口)已知Z84C=30。，2ACr=3ArC,求二面角力一-C的正切值.

4

12.如图，已知E,F,G,，分别是空间四边形A8CO的边A8,BC,CD,D4的中点.

(1)求证：E,F,G,〃四点共面;

(2)若四边形EFG”是矩形，求证：AC1.BD.

13.如图所示，在直角梯形ABCD中，ABVAD,BC//AD,AD=6,BC=4,AB=2近，息E,

尸分别在BC、AD上,EF"AB，并且E为BC中点.现将四边形A8E尸沿所折起，使平面4BEF1

平面EFDC

(1)证明：ACIDE.

(2)在A。上确定一点N,使得过C、E、N的平面将三棱锥4-CD尸分成的两部分体积相等.

14.如图，在正四棱锥P-4BC。中，P4=4B=e,点M,N分别在线段PA和8。上，BN/BD.

(1)若PM=：PA,求证：MN_L4D；

(2)若二面角M—8。-4的大小为%求线段MN的长度.

15.如图，在多面体ABCOEF中，AB//CD,AD1CD,CD=2AB=2AD,四边形AOEF是矩形,

平面BDE1平面ABCD,AF=AAD.

(1)证明：CE1平面ABCC；

(2)若二面角B-CF-D的正弦值为管，求4的值.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面力BC£>为矩形，平面PADJ■平面ABC£>,PA1,PD,PA=PD,

E,F分别为A£>,PB的中点.

(I)求证：PE1BC；

(n)求证：平面PAB1平面PCD；(HI)求证：EF〃平面PCD.

17.在三棱锥中，底面AABC是等腰三角形，月/4BC=90。，侧面4BBi必是菱形,

ZB4&=60°,平面ABB14，平面B4C,点仞是的中点.

(1)求证：BBi1CM；

(2)求直线与平面CBiM所成角的正弦值.

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面4BC。是正方形，侧棱PA1底面"CO,PA=AD,E、尸分别是

棱PD、BC的中点.

E

/八斗……

//*»r\7

/♦t、、\/

B---------T----r

(/)求证：AE1PC；

(II)求直线Pb与平面尸AC所成的角的正切值.

19.如下图，在长方体1G5中，44=1,底面A8CO的周长为4,E为的中点.

4.D,

BC

(1)判断两直线EC1与AO的位置关系，并给予证明；

(2)当长方体，的体积最大时，求直线与平面41C0所成的角。.

20.如图，已知PAJ■平面ABCZ),四边形ABCC为矩形，力4,N分别为AB,PC的中点,

X

(1)求证：MNJ.AB；

(2)若NP/M=45%求证：平面MN。1平面PDC.

【答案与解析】

1.答案：证明：（1）如图，取。C的中点Q,连接MQ,NQ.

•：N,Q分别是PC,0c的中点，

NQ//PD.

■■■NQ仁平面PAD,PDu平面PAD,

：.NQ〃平面PAD.

・••M是AB的中点，四边形ABC。是平行四边形，

MQ//AD.

又MQ仁平面PAD,ADu平面PAD,

：.MQ〃平面PAD.

•：MQCNQ=Q,MQu平面MNQ,NQu平面MNQ,

••・平面MNQ〃平面PAD.

•••MNu平面MNQ,

•••MN〃平面PAD；

(2)•••平面MNQ〃平面PAD,且平面PEC0平面MNQ=MN,

平面PECC平面PAD=PE,

：.MN//PE.

解析：本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理的应用.属

于中档题.

(1)首先根据平面与平面平行的判定定理证明平面MNQ〃平面PAD.再利用平面与平面平行的性质即

可证明MN〃平面PAD.

(2)利用平面与平面平行的性质定理即可证得.

2.答案：(1)证明：延长AO,BE,CF交于点尸，

•••四边形ACFD为等腰梯形，^ACF=45°

•••Z.APC=90°,

•••平面ABEDiTffiACFD,平面4BEDn平面4CFD=AP,

CPLAP,CPc^jBjACFD,

：.CP_L平面ABED,

由4Bu平面ABED,

CF1AB；

(〃)解：AC=2AB=2DF,可知。为月4的中点.

设DF=a,则P4=&a,PB=a,CB=V3a

由CFJ.4B,

乙4BC=90°,可证4B1面P8C,

AB1PB,

BD=—a,

2

过点P作PM_LBC,垂足为M,

又因为4B1PM,

所以PMIffiABC,

而CP1PB,

PM=柒，

则D到面ABC的距离h=5"=4,

26

在r

所以直线BD与平面ABC所成角的正弦值为sin®=&=台=早

DD2__3

2

方法一*：等体积法KD-48C=^C-ABD

1LV3

^AABC=5*1XV3=—

1V2V21

5^BD=2XTXT=4

hc=PC=V2

4xV2V6

-'-hD=~^~=T

T

V2

vBD=—

2

在r

所以直线BD与平面ABC所成角的正弦值为sin。=黑=套=今

DU2LZ..5

2

方法三：建立如图空间直角坐标系，

设。尸=1,则4(0,1,0),C(V3,0,0),

因为力B_L面P8C,所以设PQO,z),

由CP=&&CP，AP

得|(x-百＞+z2=2

[x(x—V3)+z2=0

所以已

因为O为PA的中点，所以D(?W，q)

即前=(北用)，

设平面ABC的法向量为元=(0,0,1),

n>==

则COS<^^，t2T

所以直线BD与平面ABC所成角的正弦值为sin。=cos<n>=—.

3

解析：本题考查线线垂直的判定及直线与平面所成夹角求解，涉及面面垂直的性质定理与线面垂直

的判定定理以及棱锥的体积公式与空间向量的应用，属于中档题目.

(/)由面面垂直的性质定理得出CP_L平面ABED,进而得出证明；

(〃)法一：作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可；

法二：利用等体积法求出点到面的距离，进而求出线面夹角的正弦值；

法三：利用空间向量法求出即可.

3.答案：(1)证明：•••平面4BCDJL平面CDE,平面4BCDn平面COE=CD,AD1CD,ADu面ABCD,

AD1平面CDE,

又ECu平面CDE,

AD1EC,

又•.•CEJ.DE,ADCDE=D,AD,OEu平面AOE,

CE1平面ADE,

又4Eu平面ADE,

CE1AE；

(2)解：如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz,

0(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),

在直角ACDE中，DC=a,C£=|a

求得E(()3a,fa),

：.CE=a).

由(1)知而为平面ADE的法向量,

DB=(a,a,O),DF=(0,汨9)，

设元=(无,y,z)是平面BQE的一个法向量,

ax+ay=0

则3,V3

襦二%即-ay——az=n0

(4/4

令x=1,则y=-1,z=V3,

n=(1,-1,V3)>

T力F严了2v/5

cos<n,CE>=■——"=-

Hl西瓜x'5

•••锐二面角4-DE-B的余弦值是等.

解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系的判定及二面角求解，涉及线面垂直的判定与线面垂

直的性质与利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.

(1)先由线面垂直的判定定理证明出CE平面AZJE,再由线面垂直的性质定理得出CE14E即可;

(2)建立空间直角坐标系求出面AOE与面3OE的法向量，进而得出二面角A-DE-B的余弦值.

4.答案：解：(1)由题意如图所示:

(2)由题意如图所示:

(3)由题意如图所示:

a

(4)由题意如图所示:

解析：由符合语言转化为图形，各个小题如图所示

本题考查符合语言和图形之间的转化，属于基础题.

5.答案：证明：(I)•；P4L平面ABC。，ADu平面ABC。，

PA1AD,

XvAB1.AD,PAu平面PAB,ABu平面PAB,PAnAB=A,

AD1平面PAB,则PB1AD；

解：(n)由已知可得，AD,AB,AP两两垂直，

以A为坐标原点，分别以A。，AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空

间直角坐标系,

则4(0,0,0),8(0,2,0),C(2,2,0),D(l,0,0),P(0,0,2),

由(I)知，451平面PAB,可得平面PAB的一个法向量为而=(1,0,0),

PC=(2,2,-2),PD=(1,0,-2).

设平面PCD的一个法向量为记=(x,y,z),

则+-取Z=1,可得沅=(2,-L,l).

ImPD=x-2z=0

—»m-AD2x1V6

・•・cos<m,AD>=，一—>=-z=-=——,

'\m\\AD\V6X13

设平面PAB与平面PCD所成角为。，

则sin。=Jl一《)2=争

解析：(I)由口平面ABCD,得P41/W,结合4B14D,利用直线与平面垂直的判定可得可得AD1

平面尸4?,进一步得到PBJ.4D；

(II)以A为坐标原点，分别以A。，AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出

平面PC。与平面PA8的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，再由平方关系可得平面PAB

与平面PCD所成角的正弦值.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解

空间角，是中档题.

6.答案：证明：(1)取PA中点E,连结BE,EN,又因为N为尸。的中点，则EN〃4D,且EN=：AD,

岳可=8"且七/7〃8”,.,.四边形£7\“5为平行四边形，二用山冲，

vBEu面PAB,MN0面PAB,

MN"面PAB：

(2)vZ.BAC=90°,

•••AC1AB,

vPA1面ABCD,ACu面ABCD,：.PA1AC,

PAC\AB=A,PAu面PAB，ABu面PAB,：.AC1面PAB,

•••BEu面PAB,：.AC1BE,•••BE//MN,-.MN1AC.

解析：本题考查线面平行、线面垂直，线线垂直的证明，属于基础题.

(1)由M,N分别为棱8C,的中点，取PA中点E,连结BE,EN,可证四边形ENMB为平行四

边形，从而MN//BE,由此能证明MN〃平面P4B.

(2)由P4JL侧面A8CD可得ZC1P4由4C1AB,得到4C1平面PAB,由此能证明ACJ.BE,又

BE〃MN即可得证.

7.答案：解：3个平面把空间分成4部分，则三个平面需要平行，

3个平面把空间分成6部分，则需要三个平面相交于一条直线或两个平行与第三平面相交.

如图,

解析：直接画出三个平面把空间分成四个部分与六个部分的图形，可知3个平面把空间分成4部分,

则三个平面需要平行，3个平面把空间分成6部分，则需要三个平面相交于一条直线或两个平行与第

三平面相交.

本题考查平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.

8.答案：(1)证明：由平面公。8]1平面ABC。，

平面公。丸0平面4BCD=CD,KAD1CD,所以40_L平面

又。&u平面所以4。1。当；

(2)证明：依题意D,M,Bi，N都在平面DMBiN上，因此CM二平面DMBiN,

NBiU平面DM81N,又。平面ABCQ,N/U平面&B1GD1，

平面ABCD与平面41a的。1平行，即两个平面没有交点，

则0M与NS】不相交，又。M与NBi共面，所以DM〃NB「

同理可证CN〃MBi，所以四边形DMBiN是平行四边形；

(3)解：不能.如图，作CEJ.MB1交MB]于点E,延长CE交B当于点F,连接QE,

由41。1CD,AD1CD,AtD1AD=D,所以CD1平面ADOMi，

则CD1平面BCGBI，又CEJ.MB1，

根据三垂线定理，得到DElMBi，

所以NCED是二面角。-MB1一C的平面角，

若4CED=45。，则回CEO是等腰直角三角形，CE=CD=1,

又乙CFB=乙B、EF+乙FB[E=90°+4FB[E>90°,

所以团CFB中，由大角对大边知CF<BC=1,

所以CE<CF<1,这与上面CE=CD=1相矛盾，

所以二面角。-例方-。的大小不能为45°.

解析：本题考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，以及二面角的定义，属于中档题.

(1)由平面AiOBi平面ABCD和4。1C。即可得证；

(2)先由题意D,M,Bi，N都在平面OB】上得至5例U平面NBr£平面。/，

又。平面ABC£>,NBiU平面4/修1。1，平面A8CD与平面&8道1。[平行得到DM//NBI,同理

可证DN〃MB「最后即可得到结论；

(3)先作CE1MB1交MB】于点E,延长CE交于点尸，连接。E,由4。_LCD,AD1CD,A^D1

AD=D得到CDJ■平面4DD14,从而有CO_L平面BCG/,又CE1MB。根据三垂线定理，得到DE1

MB1，从而确认NCED是二面。-MB1-C的平面角，再根据反证法即可得到结论；

9.答案：解：(1)如图，正方体43。。一4&(71。1的棱长为1,E、尸分别为棱BC、的中点,

延长C8到G,使BG=2BC,可求得BG=2,

连接为G,则B】G所在直线为平面AFBi与平面BCGBi的交线，

连接AG,^£Rt^ABG<P,AB=1,BG=2,

即心=BG2+AB2=5,

AG=V5»

(2)分别以D4、DC、DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

4(1,0,0),F(0,0,i),BiQi,1),0),

设平面AFBi的法向量为蔡，平■面FB、E的法向量为K二面角2-尸当-E的平面角为，,

AF=(—1,03),福=(0,1,1),O=(-1,0,-l),FF=(”,一》,

ABt-m=0B1E-n=0

AF-m=0\FE-n=0

所以沆=(l,-2,2),n=(-4,3,2),

即cos。=I哥I=—.

解析：本题考查空间中的点、线、面间的距离，考查空间向量的数量积，空间向量的坐标表示，空

间向量的运算，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用向量法求二面角的平面角的余弦

值方法的应用，属中档题.

(1)过名作尸A的平行线交面A8CD于G,连接AG,在Rt△4BG中求得4G的长；

(2)分别以D4、DC、所在直线为x、＞、z轴建立空间直角坐标系，求出平面&EF的一个法向量

为元=(—4,3,2),平面4尸81的一个法向量为沅=(1,一2,2),二面角4一?当一E的平面角为。，贝I]

cos0=|襦则二面角A-FBi-E的余弦值可求•

10.答案：解：(1)连接BE,vBE=V2，EF=VLBF=2,■-BE2+EF2=BF2,

■■BE1EF.

•••面ABFE1面EFCD,面48FEn面EFCO=EF,BEu面ABFE,

BEL面EFCD,CDu面EFCD,

BE1CD

CD1DE,BEnDE=E,

CD1®BDE,BDu面BDE,

CD1BD;

(2)在平面CDE内垂直于DE方向与反同向为x轴，

以ED,EB为y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

贝加(0,0,V2),尸(1/，0),

0(0,2,0),C(l,2,0),防中点Gd净,

•・,4G=EF，：・乎），

・,.丽=（/*，¥），丽=（0,-2,&）,DC=（1,0,0）,

设平面ABD的法向量为沆=（乙,月2）则有偿.普二,

15.yf2_n

.一尹i一弓yi+^zi=o&B□

••222,令Zi="2,%=1,%1=-3,

-2y+y[2z1=0

・,・m=（-

设平面BDC的法向量为记=（%，2*2）则有慰,弓=°,

-n=0

（%2=。人1—

l-2y2+缶2=0'令Z2=-短必=-以=0,

.-.n=（0,-1,-V2）,

,—>—»-1-21

Acos<m,n>=,=——,

V9+1+2-V0+1+22

易知二面角a-BD-C为钝角,

二面角4-BD-C的余弦值为一：.

解析：本题主要考查线线垂直，用向量法求二面角的余弦值，属于中档题.

(1)由已知得BE2+EF2=BF2,由面4BFEL面EFCD,得BE1面EFCD,

再证CD_L面8。区即得结论；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面AB。的法向量沆，平面BQC的法向量元,

即可求二面角4—BD-C的余弦值，注意二面角4—BD—C为钝角.

11.答案：（1）证明：在A&GC中，

•••4（?1与4（7交于点。，.・.40141（；,

又4cl1BQ,BiQ〃BC,•••AO1BC,

且&C、BCu平面&BC,A^CtBC=C,

•••AOJ"平面4iBC,则4014B；

（口）在平面4BC内作OH1于H,连接AH,

•••4。J■平面4",OHJLaB,

•••AXB1AH,

•••乙4”。为二面角4-ArB-C的平面角，

设41c=2,则4cl=3,

3

・•・4。=1,AO=

i

•・"AiC=30。，・・.OH=a.

3

An-

•••tanzAHO=—=毋=3.

H0I

解析：(I)在441GC中，由已知可得4O14C,又AG，BG，可得4。_LBC,利用线

面垂直的判定可得4。1平面&BC,进一步得到4。1&B；

(II)在平面&BC内作OH12B于4,连接AH,由40J■平面&BC,OHlA^B,可得AiBlAH,即

44”。为二面角A—4B—C的平面角，设41c=2,然后求解三角形得答案.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角的求法，关键是找到二面角的平面角，

是中档题.

12.答案：证明：(1)如题图，在△ABD中，

-E,”分别是A8,A。的中点，

EH〃BD同理FG〃皿则EH〃GF.

故E,F,G,，四点共面.

(2)由(1)知EH〃ED,同理4C〃GH.

又••・四边形EFGH是矩形，

•••EH1GH.故AC1BD.

解析：

本题考查了平面的基本性质及应用和异面直线所成角.

(1)利用两条平行线确定一个平面得结论；

(2)利用两条异面直线垂直的定义得结论.

13.答案：(1)证明：在梯形A8CD中，因为AB〃EF,BC=4,AD=6,E为BC中点、,

所以CE=2,DF=4,

又因为EF=/1B=2vL

又显然NCEF=4EFD,

所以4CEF-AEFD,

故41=Z2,

又因为，1+Z3=90°,所以N2+Z3=90°,

从而得C尸ICE,

又因为48_L40,EF//AB,

所以4F1EF,因为平面4EF8_1_平面EFZJC,4尸匚平面48£：尸，

平面4BEFC平面EFCC=EF,

所以4F1平面EFDC.

因为DEu平面EFCC,所以4FJ.0E,

因为4FCCF=F,AF,CFu平面ACF,所以。E_L平面ACR

因为ACu平面ACF,所以AC_LDE.

(2)解：设过点C、E、7的平面为%40平面力。?=可「，PEAF,

三棱锥4-CFD被平面a分成三棱锥C-ANP,和四棱锥C-NPFO两部分,

若两部分体积相等，则三角形ANP与四边形NPFD面积相等，

故SAANP=2SAAFD'

因为EC〃DF,ECC平面AFZ),DFu平面AF£>,

所以EC〃平面AFD,

又因为ECu平面a,an平面AFC=NP,所以EC〃NP,

故NP//FC,所吟吟若

设AP=tAF,则NP=tFD.

i1

所以SMNP=lAP-NP=^tAF-tFD

2

=\tAF-FD=\S^AFD=\AF-FD,

故户=；,从而t=立，

22

即当4N=^A0时过C、E、N的平面将三棱锥4一CDF分成的两部分体积相等.

2

解析：本题主要考查面和面垂直的性质和判定，以及三棱锥体积的计算，考查学生解立体几何的能

力.

(1)根据DEL平面ACF的性质，建立条件关系即可得到结论.

(2)设4P=tAF,根据三棱锥的体积公式即可得到结论.

14.答案：(1)证明：连接AC,8。交于点0,以0A为x轴正方向，以08为y轴正方向，

y

0P为z轴建立空间直角坐标系.

•••PA=AB=V2.则4(1,0,0),8(0,1,0),

0(0,-1,0),P(0,0,1).

BN=^BD,得N(0,1,0),

由丽对，得|),

即而?=(_工,_|),同=(-1,_1,0),

•：MN-AD=O,

：.MN1.AD.

(2)解：在PA上，设两=2可，得1-A),

=(A,-1,1-A).BD=(0,-2,0).

设平面MBD的法向量诺=(x,y,z),

由俣•前=0得『2y=。

ln-BAf=o,0Ux-y+(l-A)z=O,

取z=4,得元=(2-1,0"),

・•・平面ABD的法向量为赤=(0,0,1)＞二面角”~BD-4的大小为%

「吟=1襦1，喈=忌而解撕T

••M(i0,|),N(0,1,0),

•••\MN\=J(|-0)2+(0-|)2+(i-0)2=尊

解析：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理

运用.

(1)连接AC,BD交于点0,以0A为x轴正方向，以。8为y轴正方向，0P为z轴建立空间直角坐

标系.利用向量法能证明MN1AD.

(2)设丽=2对，得”(尢0,1-A),两=(尢一1,1一;I),前=(0,—2,0),分别求出平面M3。的

法向量和平面A8O的法向量，利用向量法解得;1=a由此能求出线段的长度.

15.答案：(1)证明：因为4B〃CD,AD1DC,所以4。1AB.

因为AB=4D,所以△ABD是等腰直角三角形，所以4BDC=45。.

又由CD=24B=24D,易知々BCD=45。，

所以4DBC=90。，即BCJ.BD.

因为平面BDE1平面A8C，平面BDEn平面4BCD=BD,

所以8C1平面BCE.

因为DEu平面BQE,所以BCJ.DE.

易知CE1AD,AD,8c相交，所以DEJ_平面ABCZ).

(2)解：由(1)知。E,DA,DC两两垂直，以。为坐标原点，以瓦?，DC，屁的方向为x轴、y轴、z

轴的正方向建立空间直角坐标系。一xyz(如图).设4B=1,则8(1,1,0),C(0,2,0),F(l,0U),0(0,0,

0),CF=(1,-2,A)-~BC=(-1,1,0),DC=(0,2,0).

设平面BCF的一个法向量为/=Cq,yi，Zi),

n7.BC=0:宝+；；=0,取与=「

由

n；-CF=0,

则yi=1>Zi=p所以芯=

设平面CF£)的一个法向量为通=(x2,y2lz2-),

山/芯-CF=0,.(X-2y2+%=0,

融.觉=0,吸B22y2=0,

取%2=-1，则丫2=。，Z2=所以通=(-1,0,3.

因为二面角B-CF-。的正弦值为学，

所以二面角B-CF-。的余弦的绝对值为

国词_IT+向二近

则cos〈济，底＞|=

同国一阶X同一5,

解得a=2或u.

3

解析：本题主要考查的是线面垂直的判定，二面角，面面垂直的性质，线线垂直的判定，平面的法

向量等有关知识.

(1)先判断出△4BD是等腰直角三角形，得到NBDC=45°,然后利用CD=2AB=2AD,易知/BCD=

45°,所以NDBC=90°,即BC1BD.再根据平面BDE_L平面ABC。，平面BDEn平面4BCD=BD,

得到BC_L平面BDE.因为DEu平面8OE,所以BC1DE.易知DE1AD,AD,BC相交，所以DE_1_平

面ABCD.

(2)以。为坐标原点，以瓦彳,沈，说的方向为x轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,

设平面BCF的一个法向量为五=(Xpyi.zj,设平面CFD的一个法向量为五=(x2,y2-z2),分别求

出声底=(-1,03).然后再根据二面角B-CF—0的正弦值为等，二面角8-CF-D的

余弦的绝对值为g,再进行求解即可.

16.答案：证明：(I)PA=PD,E为A。的中点，可得PEJ.4D,

底面A8CD为矩形，可得BC〃4D,

则PE1BC.

(!!)•.•底面ABC£＞为矩形，

ABX.AD.

•.•平面PAD，平面ABCD,平面PA。A平面从BCD-AD,

ABJL平面PAD.

,/PDC平面PAO

•••AB1PD.

又,：AP1PD,且ABU平面PAB,.4PU平面P.AB.ABC4P=A,

PDJ■平面PAB,

又•：PDu平面PCD,

平面PAB1平面PCD.

(DI)如图，取尸C中点G,连接尸G,GD.

F,G分别为P8,PC的中点，

FG//BC,且尸G=：BC,

••・四边形ABC。为矩形，且E为A。的中点,

.-.ED//BC,DE=^BC,

DE//FG,且ED=FG,.•.四边形EFG。为平行四边形，

•••E/7/GD又EF不在平面PCD内，GD在平面PCD内，

EF〃平面PCD.

解析：本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断

和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题.

(I)由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；

(n)由面面垂直的性质即可得证；

(m)取PC的中点G,连接/G,GD,运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的

判定定理，即可得证.

17.答案：(1)证明:在RtZMBC中，4B是直角，即BC1AB,平面4BC平面

平面ABCn平面A&BiB=AB,BCu平面ABC,

所以BC1平面所以BCIBiB.

在菱形441/8中，AAiAB60",连接BM,A±B,

则4A遇8是正三角形，

因为点M是44]的中点，所以IBM,

又因为=所以8&1平面BMC,

所以BBi_LCM；

(2)解：方法一:

作BG1M/于G,连接CG,由(1)知BC1平面Z41B1B,得到BC1MB,

又BG工MB],且BCCBG=B,所以MB】_L平面BCG,又因为MB】u平面CM/,

所以平面CM/J_平面BCG,又平面CMBin平面BCG=CG,

作1CG于点H,则BH_L平面AM%则4BMH就是所求的线面角.

设AB=BC=2,由已知得BBi=2,BM=W，

A/30

2v/2l„两.BH2V>/W,

15(i------,BnH=----,sinZz>A//l=——=-4=r-=------

75BMy/35

所以直线BM与平面CBiM所成角的正弦值为唱.

方法二：以4为原点，近为x轴正方向，荏为y轴正方向，垂直平面ABC向上为z轴正方向建立平

面直角坐标系，不妨设48=2,设所求线面角为氏由题可知，4(0,1,75),^(0,3,73).C(2,2,0),

B(0,2,0)又；M是的中点，二”(。，//'设面当时^的一个法向量为元⑶丫*%：南二(-2,1,75)，

___.弓G~2x+y+V3z=0(c

MB.=A5+出z=o，令丫=_百得］：］；0,二元=(28,一6.5)又,；

BM=(0,—sin。=cos(n,BM)—+2——=,则BM与平面81MC所成角的正弦值为42

22''/6,12+3+2555

解析：本题考查线面垂直的判定和性质以及线面角，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属

于中档题.

(1)通过求证J■平面BMC,从而求证B8i_LCM;

(2)方法一：判断出4BMH就是所求的线面角是解决本题的关键；

方法二：求出平面CB】M的法向量，利用向量法能求出直线8M与平面CB］M所成角的正弦值.

18.答案：(I)证明：因为PA1底面ABCD,

所以PA1DC,因为底面ABCD是正方形,

所以4。1DCADnPA=A,

因为A。、PAu平面PAD,

故0cl平面PAD,AEu平面PAD,

所以AE1DC,

又因为24=4D,

点E是棱PD的中点，

所以AE1PD,PDCDC=D,

因为P。、DCPDC,

故AE_L平面PDC,

PCu平面PDC,

所以ZE1PC.

（口）解：以AB,AD,AP分别为x轴，y轴，