陕西省西安市高新一中创新班2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

2023~2024学年度第二学期期末考试试题七年级创新班数学一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.轴对称的汉字在中国文化中有着深远的影响．它们体现了中国人对平衡、对称、和谐美的追求，也反映了古代哲学中的“天人合一”思想，下列具有轴对称的汉字图案是（）A.中 B.国 C.制 D.造【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称的概念，结合选项进行判断即可．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误，故选：A．2.下列说法正确的是（）A.所有无限小数都是无理数 B.平方根等于它本身的数是0和1C.没有立方根 D.面积为10的正方形边长是无理数【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了无理数的定义以及平方根和立方根的定义，注意：带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数的定义、平方根和立方根的定义逐一判断即可．A．所有无限不循环小数都是无理数，故本选项不合题意；B．平方根等于它本身的数是0，故本选项不合题意；C．的立方根为，故本选项不合题意；D．面积为10的正方形边长是无理数，正确．故本选项符合题意．故选D．3.下列事件中，属于必然事件的是（）A.内错角相等 B.成语“水中捞月”所描述的事件C.三角形内角和为 D.三角形三条高交于一点【答案】C【解析】【分析】本题考查了必然事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件特点是解题的关键．根据一定会发生的事件称为必然事件逐项判断即可．解：A、内错角有可能相等，也有可能不相等，故为随机事件，故不符合题意；B、成语“水中捞月”所描述的事件，为不可能事件，故不符合题意；C、在一个三角形中，三角形内角和一定为，故为必然事件，故符合题意；D、三角形三条高所在的直线交于一点，为随机事件，故不符合题意．故选：C．4.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可．解：在和中，，，故选：D．5.小明一家自驾车到离家的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据：行驶路程…油箱余油量…下列说法不正确的是（）A.该车的油箱容量为B.该车每行驶耗油C.油箱余油量与行驶路程之间的关系式为D.当小明一家到达景点时，油箱中剩余油【答案】C【解析】【分析】根据表格中信息逐一判断即可．解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意；B、0——100km时，耗油量为；100——200km时，耗油量为；故B正确，不符合题意；C、有表格知：该车每行驶耗油，则∴，故C错误，符合题意；D、当时，，故D正确，不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意，弄懂表格中的信息是解题的关键．6.如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可.解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８,勾股定理得ＡＢ＝１０,∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４,∴Ｓ正方形GHEF＝４,四个直角三角形的面积＝９６,∴针扎在小正方形GHEF部分的概率是=故选Ｄ.【点睛】本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键.7.如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A.在边两条高的交点处 B.在边两条中线的交点处C.在边两条垂直平分线的交点处 D.在两条角平分线的交点处【答案】C【解析】【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键．解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在两边垂直平分线的交点处．故选：C．8.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．解：如图，由图可知：，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．9.如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的应用等知识点，掌握等腰三角形的判定和性质成为解题的关键．根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形，进而求得，，，从而求得、，在中，由勾股定理即可求得的长即可．解：根据折叠的性质可知，，，，，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选B．10.如图，中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有（）①若，则；②；③；④.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求，故①正确；由可证，可得，由直角三角形的性质可得，故②错误；由可证，可得，由可证，可得，即，故③正确；由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，可得，故⑤正确，即可求解．解：①∵，，∴，∵平分交于点，平分交于点，∴，，∴，∵，∴，∴，故①正确；②如图，延长交于点H，∵，∴，∴，∵，∴，故②错误；③如图，在上截取，连接，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故③正确；④如图，过点N作于P，于Q，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故④正确；综上，正确的为①③④，共3个故选：B．【点睛】本题主要了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题（共7小题，每题3分，计21分）11.计算的结果是_________．【答案】2【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．解：．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．12.以下各数：①；②，③；④；⑤（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有_________________．（只填序号）【答案】②③⑤【解析】【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键．根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可．解：①是有理数；②是无理数；③是无理数；④是有理数；⑤（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数．故答案为：②③⑤．13.已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为_________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．依据立方根和算术平方根的定义得到和，然后再求得代数式的值，最后再求得的平方根即可．解：因为的立方根是，所以．因为的算术平方根是5，所以，所以．所以的平方根是．故答案为：．14.如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为_________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的性质、折叠的性质以及平行线的性质是解题的关键．如图：连接，由平行线的性质可得，再轴对称的性质可得，再根据角的和差及三角形外角的性质可得，即，再结合三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答．解：如图：连接，∵，∴，∵点关于直线的对称点为，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：15.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处所走的最短路程为_________________．（杯壁厚度不计，结果保留根号）【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当时点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，由题意可得：，∵．∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故答案为．16.利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．【答案】30【解析】【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．解：设小正方形的边长为，矩形的长为，宽为，由图1可得：，整理得：，，，，，矩形的面积为．故答案为：30．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键．17.在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，在中，，∴，∴，∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，∵，，，∴∵，∴，在中，，∴，∴，故答案为：．三、解答题（共8小题，计69分）18.如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．（1）求证：．（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；（2）由三角形的外角的性质可得，进而得到，然后在中，利用三角形内角和定理即可解答．【小问1】证明：连接，∵的垂直平分线交于点，∴，∵，∴，∵为线段的中点，∴．【小问2】解：∵，，∴，，，在中，，∴．19.如图，已知，，．请用尺规作图法在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，先作出的垂直平分线，则可得出，根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质求解即可．解∶如图，点P即为所求，理由：由作图知：垂直平分，∴，∴，∴．20.如图，一个均匀的转盘被平均分成了等份，分别标有这个数字．自由转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转动转盘）．两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方式可从下面三种中选一种：．猜“是的倍数”；．猜“是大于等于的数”；．猜“是偶数”．如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方式？请说明理由．【答案】应选择方式，理由见解析【解析】【分析】本题考查了游戏的公平性，分别求出每一种方式获胜的概率即可判断求解，掌握概率的计算公式是解题的关键．解：应选择方式，理由如下：由题意可得，，，，∵，∴方式获胜的可能性更大，∴应选择方式．21.如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且（1）求的度数；（2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过68米，已知摄像头能监控的最大范围为周围的50米（包含50米），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．【答案】（1）（2）符合要求，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的知识、勾股定理逆定理、勾股定理等知识点，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）如图：连接，根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据角的和差即可解答；（2）过点D作于点E；作A点关于的对称点，连接，由可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出即可解答．【小问1】解：如图：连接，∵，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，即；∴．【小问2】解：符合要求，理由如下：如图：过点D作于点E；作A点关于的对称点，连接，∴，∵，∴，∴，∴在中,，∴，∴，∴，∵，∴该监控装置符合要求．22.周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：（1）图中自变量是______，因变量是______；（2）小明书城停留的时间为______，小明从家出发到达文化公园的平均速度为______；（3）爸爸驾车经过多久追上小明?．此时距离文华公园多远？【答案】（1）小明离家的时间，他们离家的路程（2），（3）爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园．【解析】【分析】（1）根据图像进行判断，即可得出自变量与因变量；（2）根据图像中数据进行计算，即可得到时间、平均速度；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追及问题关系式即可解答．【小问1】解：解：由图像可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程．故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程【小问2】解：由图像可得，小明在书城逗留的时间为，小明从家出发到达文华公园的平均速度为：．故答案为：，；【小问3】解：由图像可得，小明从书城到公园的平均速度为，小明爸爸驾车的平均速度为，爸爸驾车经过h追上小明，；即爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园．【点睛】本题考查了函数的图像，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图像的意义．23.如图，中，，为中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接．（1）如图，当点与点重合时，线段与的数量关系为

；（2）如图，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析．【解析】【分析】（）当点与点重合时，由为中点，可得为的垂直平分线，即可得到；（）如图，过点作交的延长线于，连接，证明，得到，，根据勾股定理进而由即可求解；本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【小问1】解：当点与点重合时，∵为中点，，∴为的垂直平分线，∴，故答案为：；【小问2】解：结论：，理由如下：如图，过点作交的延长线于，连接，∵，，∴，∴，和中，，∴，∴，，∵，∴，∵,∴，∴．24.如图，在中，，，，点从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．（1）若点在的角平分线上，求的值；（2）在整个运动中，求出是等腰三角形时的值．【答案】（1）（2）t的值为或5或8．【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键（1）如图：过点P作于点M，先利用勾股定理求出，证明得到、，则，设，则，由勾股定理得，然后解方程以及并计算时间即可；（2）分作为底和腰两种情况讨论即可．【小问1】解：如图：过点P作于点M，∵在中，，，，∴由勾股定理得：，∵点在的角平分线上，，∵，，，又，，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，解得：，∴，