2023-2024学年上海市浦东新区上南中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区上南中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知椭圆y225+x216=1的焦点为F1、F2，P为该椭圆上任意一点A.10 B.13 C.14 D.163.现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是(

)A.A与B互斥 B.A与B相互独立 C.A与B∪C互斥 D.A与B∩C独立4.若x=−2是函数f(x)=(x2+ax−1)ex−1的极值点，则A.−1 B.−2e−3 C.5e二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.直线l：2x−y+1=0的一个法向量是______．6.等差数列{an}中，a7+a7.直线x=1与直线3x−y+1=0的夹角大小为______．8.已知(x−1)4=a0+9.已知圆锥的底面周长为4π，母线长为3，则该圆锥的侧面积为______．10.若双曲线x2a2−y11.某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛，且每位学生的竞赛成绩均不低于90分.将这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为______．

12.与圆x2+y13.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是______．14.已知函数f(x)=1+x−sinx，x∈(0,2π)，则该函数的严格增区间是______．15.F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左右焦点，过F16.已知点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上，P到三个平面ABCD、ADD1A1

三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记18.(本小题10分)

如图，点P为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的上底面的中心，底面ABCD的边长为2，点P到平面ABCD的距离为2.试求：

(1)二面角P−BC−A的平面角的大小(用反三角函数表示角的大小19.(本小题10分)

随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A−B−C−A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段，BC是以BC为直径的半圆，AB=23km，AC=4km，∠BAC=π6．

(1)求BC的长度；

(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A−D−C(B,D在AC两侧)，其中AD，CD为线段．若∠ADC=π3，求新建的健康步道20.(本小题12分)

已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±33x，左焦点为F，过A(a,0)，B(0,−b)的直线为l，原点到直线l的距离是32．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y=x+m21.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R)．

(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间和最值；

(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．

参考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.(2,−1)

6.2

7.π68.6

9.6π

10.y=±x

11.220

12.x213.1914.(0,2π)

15.716.6

17.解：(1)∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．

∴1×q4=4×(1×q2)，

解得q=±2，

当q=2时，an=2n−1，

当q=−2时，an=(−2)n−1，

∴{an}的通项公式为，an=2n−1，或an=(−2)n−1．

(2)记Sn为{an}的前n18.解：(1)连接AC、BD相交于点O，过O作OM⊥BC，交BC于M，连接PM，则PM⊥BC，

所以∠PMO是二面角P−BC−A的平面角的大小，

因为在Rt△PMO中，PM=3，AM=1，PO=2，

所以cos∠PMO=33，

则∠PMO=arccos33，

即二面角P−BC−A的平面角的大小为arccos33；

(2)设点A到平面PBC的距离为ℎ，

由VA−PBC=VP−ABC，

得119.解：(1)连接BC，△ABC中，由余弦定理得BC=AC2+AB2−2AC⋅ABcos∠BAC=16+12−2×4×23×32=2，

BC=12×2×π×1=π，即π(km)；

(2)设AD=a，CD=b，

△ACD中，由余弦定理得16=a2+b2−ab20.解：(1)∵ba=33，

原点到直线AB：xa−yb=1的距离，d=aba2+b2=abc=32．

∴b=1,a=3.故所求双曲线方程为

x23−y2=1．

(2)把y=x+m代入x2−3y2=3中消去y，整理得

2x2+6mx+3m2+3=0．

21.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

求导函数可得f′(x)=1x−1，

①由f′(x)>0，x>0，得0<x<1，

②由f′(x)<0，x>0，得x>1，

故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调减区间是(1,+∞)，

所以x=1时，函数取得最大值f(1)=−1，没有最小值；

(2)①当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，

∴f(x)的最小值是f(2)=ln2−2a．

②当1a≥2，即a≤12