考研数学一公式手册大全

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分:

.2〃1-w2x.2du

sinx=------cosx=------------。u=衣一,dx=-------r

1+rr1+w221+w2

一些初等函数:两个重要极限:

sinxi

双曲正弦:shx=----------lim------=1

2•I。X三角函数公式:

双曲余弦:c/u:=伫+elim(1+-Y一e-2.718281828459045...

2r

双曲正切:〃比"四［

chxex+e'

arshx=ln(x+Jx2+1)

archx=±ln(x+vx2-1)

,1.\+x

arthx=—In------

2\-x

'〈诱导公

A

救sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

18C0-asina-cosa-tga-ctga

18C0+a-sina-cosatgactga

27CU-a-cosa-sinactgatga

27C°+a-cosasina-ctga-tga

36C0-a-sinacosa-tga-ctga

36C0+asinacosatgactga

•和差角公式:•和差化积公式:

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-\=\-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin3a

ctg2a-\cos3cr=4cos36r-3costz

ctg2a=

2cfga

，c2iga\-3tg2a

=-------—

•半角公式:

a,1-cosa1-coscrsina

吆一=±J-------=-------=-------

2V1+cosasina1+costz

•正弦定理：•余弦定理：

•反三角函数性质：

高阶导数公式----莱布尼兹(Leibniz)公式:

(依严=£的产幻网

£=0

=〃吗++++9-1)…5—+1)〃〃吗的+…+〃网

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=/'e)S-a)

f(b)—于(a)

柯西中值定理:

F(b)-F(a)尸©

当F(幻=刘寸，柯西中值定理就施格朗Fl中值定理c

曲率:

弧微分公式：ds=J1+其中y'=tga

平均曲率次二四.Aa:从M点到M，点，切线斜率的倾角也量；As：MM弧长。

M点的曲率：^=101!—=—=-=^=

xo&dsJ(l+y'2)3

直线：K=0;

半径为〃的圆：K=-.

定积分的近似计算:

b

矩形法：|n—^(y0+)\+•••+yn_i)

梯形法:J/(x)x[；(尢+y”)+x+…+y„,]]

a

b>

抛物线法Jf(x)«-^[(y0+尤)+2(为+X+…+y„.2)+4(y+&+…+>2)1

定积分应用相关公式:

功：W=F-5

水压力：F=p-A

引力：F=k%,k为引力系数

函数的平均值分=£jf(x)dx

均方根虫三f2sdi

空间解析几何和向量代数:

22

空间2点的距离：d=|M,M2|=yl(x2-x.)+(y2-yl)+(z2-zl)

向量在轴上的投影Pr/“戏二网・coso娓施与〃轴的夹角，

Pr/“（4+&）=Pr/4+P「M

ab=a\-bcos。=axbx+axbv+生/，是一个数量

ah+cib+a.b.

两向量之间的夹角cosO=x

JaLj+r.折+byF：

c=axb=axay生,同二同•很sin8例：线速度：y=wxr.

瓦%bz

a.

可.同为锐角时,

向量的混合积m应］二(dx〃)n=2bxbz=Oxcosa,a

c.

代表平行六面体的体积

平面的方程:

1、点法式:A(x-.%)+〃(y-)，u)+C(z-Zu)=O,其中力={4员。},“。®,%"。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程1+=+三=1

abc

平面外任意一点到该铺的距离：汽"+8%+Cz0+q

7A2+B2+C2

x=x0+mt

空间直线的方程上』=匕1=三分=/,其中8=参数方程：y=y+nt

mn0

Pz二Zo+0

二次由面:

1、椭球面二十2+马=1

a-b~c~

2

vv2

2、抛物面：—+—=z,(p闯同号)

2P2q

3、双曲面：

单叶双曲面£+［一三=1

a~b~c

v222

双叶双曲面二■一二v十=z=1(马鞍面)

erb-c-

多元函数微分法及应用

,du.du.du.

全微分：dz=—dx+—dydu=——ax-\---dy+——dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az=dz=<(X,y)^x+fy(x9)，)△)，

多元复合函数的求导法

dzdzdudzdv

z=/[“«)4«)]_____一十---------

dtdudtdvdt

dzdzdudzdv

z=/[w(x,y),v(x,j)]

dxdudxcvex

当〃="(x,y),y=y(x,y)时,

.cu.du.

du=——dx+—dy

exdydxdy

隐函数的求导公式:

d2y

隐函数F(x,y)=0,dy_£=枭

2

dxdxoxFx

dzdz_尸

隐函数尸(x,y,z)=0,y

dxF=

z¥"Z

因dF

F(x,y,w,v)=O处0」工

隐函数方程组，五TJF、，

G(x,y,w,v)=Oa（«,v）名3GGl(Gv

CWdv

包F

=1O(EG)av-a(9

&-w

J5(x,v)a(,

<arF

§ia(F,G)a-va(

=c-A

¥12)&a(w7

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

函数z=/（x,y）在一点〃（工,y）沿任一方向/的方向导数为图=且式os（p+—sin</>

dldxdy

其中8为x轴到方向/的转角。

函数z=/（X,y）在一点p（x,y）的梯度：grad/（x,y）=冬：+g/

oxdy

它与方向导数的关系是"=gradf（x,y）M其中0=cos"+sin°・1,为/方向上的

cl

单位向量。

g是grad/Xx,y）在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设工（文0,%）=/、.（/，%）=（），令：九（/，）"）=4/“（/，%）=丛fyy（x0,y0）=C

…2〉o时「〈。，（…）邓慧

A>0,（%,%）为极小值

则：（AC—8?<0时，无极值

AC-B1=0W,不确定

重积分及其应用：

||f(x,y)dxdy=jj/(rcos。,rsin夕)rdrdO

曲面z=/（x,y）的面积Adxdy

JJW>,y)dcr\\yp{x^da

平面薄片的重心：天=必D

y=------------

MM^p(x,y)d(y

I)I)

平面薄片的转动惯量：对于x轴/X=jjy"（x,y）dcr,对于y轴/丫=jJx"C'y）db

DD

平面薄片（位于voy平面）对z轴上质点M（0,0,4）,（4〉0）的引力：F={Fx,Fy,F:}f其中:

"J一任必三G=川…叫

D（x2+y2+a2y。(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2)2

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标、y=,sin£,Jjj/(A,z)dxdydz.=|Jj/(/,6\z)/d,da/N,

z=zan

其中:F(r,6,z)=f(rcos6,rsin6,z)

x=rsin^cos^

球面坐标，y=rsin^sin^,dv=rd(prs\n(p-d6-dr=r2sin(pdrd(pdO

z-rcos(p

2KHr(fpfiy

JUf(x,y,z)dxdydz=JjjF(r,(p,O)r2sin(pdrd(pdO=J"可d(p|F(r,(p、O)/sin(pclr

QQ000

重心：元4胆"匕>2%"，"JjJzM，其中=

IV1aIV1nIVIQn

,222222

转动惯量：/v=Jjj(>+z)/xZv,Iy=jjj(x+z)/x/v,I.=jjj(x+^)/x/v

AQC

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧氏的曲线积分）:

设〃”,），）在L上连续，L的参数方程为J'="⑺，（a<t<⑶,则:

y="（/）

J/(X,y)ds=jfl(p⑴，wSl/(pn⑺+⑺力(a<尸)特殊情况］二［

第二类曲线积分(对姗的曲线积分)：

.叫则:

设L的参数方程为

P

a

两类曲线积分之间的颊：JPdx+Qdy=j(Pcosa+Qcos0)ds,其中a和夕分别为

LL

L上积分起止点处切向獭方向角。

格林公式:JJ(&-二)dxdy=，Pdl+Q7)格林公式(孚-^)dxdy="dx+Qdy

当尸=-y,Q=x,即:弦一2=2Hj,得到£)的面积：A==

©xdyJ；2\

・平面上曲线积分与路就关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(.%y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数且丝=一0注意奇点,如(),())，应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在孚=半时，Pdt+Qdy才是二元函数w(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(A>)

〃(x,y)=jP(xyy)dx+Q(x,y)dy,通常设r。=y0=0。

(孙如)

曲面积分：

对面积的曲面积分/(x,y,z)ds=JJf[xyy,z(x,y)]yj1+z](x,y)+zj(x,y)dxdy

对坐标的曲面积分P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z}dxdy>其中：

JJR(x,y,z)dxdy=±\\R[x,y,z(x,y)]dxd)^取曲面的上侧时取踽•；

z%

jjP(x,y,z)dyclz=±JjP[x(y\z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号；

z-

JJ。(尤y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),zM"x,取曲面的右侧时取正。

ZD.t

两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosfl+Rcos/)ds

zi

高斯公式:

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

/8R3Q、.,.dPdR...,dQdP.c.八‘_.

(--------)dydz+(----------)dzdx+(-------)xdxdy=inPdx+Qdy+Rdz

dydz'dzdxdxdy*

dvdzdzdxdxdycosacos夕cosy

上式左端又可写成Uddd=ffddd

jy豕dzy瓦6dz

PQRPQR

空间曲线积分与路径襁的条件臂=普dPdRdQdP

dz~dx"dx-dy

ijk

旋度：rotA二gee

dxdydz

PQR

向量场彳沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=JA-Ids

rr

常数项级数：

等比数歹ija+q+g?4F——

i-q

等差数歹也+2+3+…+〃=如也

2

调和级数4+工+!+…+!是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法一一根植审敛法(柯西为刖法)：

|p<l时，级数收敛

设：0=lim亚'，则,p>l时，级数发散

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

0<1时，级数收敛

设：p=lim^-,则<

夕>1时，级数发散

"-KC(J

夕=1时，不确定

3、定义法：

%=〃]+%+…+存在，则收敛；合则窈5。

交错级数WI-%+〃3-〃4+…(或-"1+〃2-“3+…必1>0)的审敛法莱布尼兹定理:

U,,>"，皿

如果交错级数满同嬴10,那么级数收敛且其和v%,其余项乙的绝对地区3

/fRn

绝对收敛与条件收敛:

⑴%+的+…+”〃+…，其中〃”为任意实数；

(2)同+卬同+…+|〃」+…

如果⑵收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对攵敛级数;

如果⑵发散，而⑴收敛，则秘)为条件收敛级数。

调和级数》:发散，而工整)攵敛;

级数收敛；

P＜1时发散

P级数

时收敛

塞级数：

,3〃/凶＜1时，收敛于L

l+X+厂+JT+…+X+…(\~X

\闪之1时，发散

对于级数(3)即+°/+。2%2+…如果它不是仅在原点|攵敛，也不是在全

/凶＜7?时收敛

数轴_1都收敛，则必存生R,使时发散其中R称为收敛半径。

%=R时不定

pw(Xft,R=—

p=(W,R=+s

(p=+8时,R=0

函数展开成零级数：

函数展开成泰勒级数：/(x)=/(/0)股_犬0)+/('°)(工_犬0)2+…+――支〃工-％)”+…

2!〃！

余项：R.=汇演\犬-/严J(x)可以展开成泰勒级数的^要条件是：limR”=0

(〃+1)!"T6

2

Xo=Ofl寸即为麦克劳林公式:fM=/(0)+/\0)x+x+•••+^^2xn+...

2;〃！

一些函数展开成幕级数：

〃、m.2〃7。〃一1)…。〃一〃+1)„

(1+x)=\+mx+------x+•••+-----------------x+-•(-1<X<1)

2;〃！

5

丫3r产T

sin.r=x---+------+(-1)”“-------+…(一8<x<+co)

3!5!(2n-l)!

欧拉公式：

Lx,-ix

e+e

cosx=-------

jx••2

e=cosx+zsinx

eix-e~ix

sinx=-------

2

三角级数:

/«)=&+£4sin(〃初+外)=今+£(%COSAU-4-bnsinnx)

n=\2"=1

其中，a0=。/\),an=Ansin(p〃,bn=Ancos/n,cot=x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinzzx,cosnx…任意两个不同项的乘积4［一肛乃］

上的积分=0。

傅立叶级数：

a8

/'(X)=—+Z(a”cos〃jv+/?“sinnx\周期=2i

2H=i

I;

%=—J/(X)COS/UY£V0=0,1,2…)

其中-/T

6〃=—Jf(x)sinnxdx(n=1,2,3…)

111+，+1+」+…工(相力口)

1+F+—7+…二—

325282232426

1I1/I111病…3、

—r"!—4—r+…=----一二+…二J(相减)

2242622422324212

正弦级数：an=0,bn=—j/(x)sinnx〃xf(x)=sin是奇函数

余弦级数：2=0，a=—j/(x)cosnxdx

nn=0,1,2--•/(A)=+2。〃cos/u是偶函数

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念:

一阶微分方程：y=/(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程一阶微分方程可以化为8()，)4=八幻公的形式，解法：

Jg(y)dy=J/(x)dx得：G(y)="(幻+。称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成半=/(x»)=e(x,)，)，即写成2的函数，解法：

dxx

设〃=±则半=〃+工半〃+半=9),.心二上J分离变量，积分后将身弋替〃,

xdxaxdxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程生+P(x))：=QCr)

dx

/当Q(x)=(耐,为齐次方程，y=Ce^

、当Q(x)工耐，为非齐次方程，y=(J°(x)J"'"dx+C)e8"'

2、贝努力方程序+P(x)y=Q(x)y\(n*0,1)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：

du(x,v)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中=P(x,y),?=Q(x,y)

dxdy

.・・y)=。应该是该全微分方程的解。

二阶微分方程：

心+P(x)^+Q(x)y=/(x),</(x)三时为齐次

dx2/(x)工00'j为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程。)/+/"+9=(),其中3「的系数及常数项恰好越*)式中乂的系数;

2、求出(△)式的两个根斗弓

3、根据、弓的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

(*)式的通解

小,弓的形式

两个不相等实根(p2—4q>0)rx2X

y=c}e'+c2e'

两个相等实根(p2—4q=0)rx

y=(q+c2x)e'

一对共扼复根(〃

2-41<0)y=*(Gcosfix.+c2sinfix}

r、=a¥甲,r2=a-i/3

T.

二阶常系数非齐次线性微分方程

)，"+py+qy=/(x),p,q为常数

=型,4为常数;

f(x)=e^[/^(x)cosa2x+£(x)sin公]型

概率论与数理统计

1.随机事件及其概率

吸收律：

A-B=AB=A-(AB)

反演律：

UA=C|AQA=UA

I=1t=lr=li=1

2.概率的定义及其计算

P(A)=1-P(A)

若AuB=>P(B-A)=P(B)-P(A)

对任意两个事件4B,有P(B-A)=P(B)-P(AB)

加法公式：对任意两个事件A,B,有

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P（Oa）=fp（A）-ZP（44）+fp（AjA,A）+…+（-I严尸（44…4）

i=\/=112/<j<n\^i<j<k<.n

3.条件概率

乘法公式

P（AB）=P（A）P（B|A）（P（A）>0）

p（A4…A〃）=P（A）P（4|A）…P（A〃|八八…4」）全概率公式

（P（A4..4T）>O）,'一2

P（A）=£P（ABJ=£P⑷）P（A田）

1=1f=l

Bayes公式

F（团A）=曳®=尸（&）P（H&）

P（A）£p（-4）

4.随机变量及其分布

分布函数计算

P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a)

=F(b)-F(a)

5.离散型随机变量

(1)0-1分布

p(X=k)=pk(l—p)i,k=03

(2)二项分布B(n,p)

若〃(力)=P

P(x=k)=C：p“l-p)…,k=0,1,…,〃

*Possion定理

limnplt=/l>0

产

-Hiskl

左二0』,2,…

(3)Poisson分布P(A)

小

p(X=k)=e“一,攵=0,1,2,…

k\

6.连续型随机变量

(1)均匀分布U(a,b)

------,a<x<b

f(x)=\b-a

0,其他

0,

F(x)=

1

(2)指数分布EW

x>0

fM=、

0,其他

0,x<0

x>0

(3)正态分布*(〃，a2)

*一〃)2

-CO<X<4-00

F⑴二短L

*N（0;1）-标准正态分布

(p(x)=—j^^e2-oo<x<4-oo

飞2兀

df-co<x<+oo

7.多维殖机变量及其分布

二维随机变量（X,V）的分布函数

F（x,y）=匚［:/（〃,v）dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

Fx*)=[„〃，v)dvd"

fxM=rf(x9v)dv

J-<o

4（y）=J：匚/（凡v^dudv

fY（y）=^f（u,y）du

8.连续型二维随机变量

（1）区域G上的均匀分布，U（G）

小）=｝（x，）”G

.（）,其他

（2）二维正态分布

9.二维随机变量.条件分布

/*，y）=fxMfy\x（水）fxW＞。

=K（y）/x|KXy）A（y）＞o

fxa）=匚=匚/x|y（小）力,（）岫

A（??）=［：/*，），"=「4|x（）恒力J"

F（、_/*/）_%X（）'k）/x（X）

==

人…TGTA（y）

f八加二/（x，.v）:/X|y（小）力⑴

41x（1AWfxM

io.随机变量的数字特征

数学期望

产

E（X）=£xm

*=1

E（X）=^xf（x）dx

随机变量函数的数学期望

彳的左阶原点矩E（Xa）

才的々阶绝对原点矩E（|X「）

才的左阶中心矩E（（X-E（X））£）

X的方差E（（X-E（X））2）=D（X）

I,y的々/阶混合原点矩E（XkY'）

的左，，阶混合中心矩

M（x-E（x））“y-E（y）），）

x,y的二阶混合原点矩E（XY）

X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差

E（（x-E（x））a-E（y）））

I,Y的相关系数

J（x-E（x））（y-£（y））］

26冈6g厂小

/的方差

〃（*）=£（（X-爪第）2）

D（X）=E（X2）-E2（X）

协方差

cov（x,y）=E（（x-E（x））（y-E（y）））

=£（xr）-E（x）E（r）

=±g（o（x±Y）-D（X）-D（n）

cov（x,y）

相关系数2“=

7b（x57b（r）

简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出

线性代数

行列式

行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

代数余子式的性质：

①、A）和%•的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0：

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为|川；

代数余子式和余子式的关系：

设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘现；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对用元素的乘积：

④、和：副对角元素的乘积：

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

证明的方法：

①、|川=-|川；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解：

④、利用秩，证明；

⑤、证明（）是其特征值；

矩阵

是阶可逆矩阵：

o|川:0（是非奇异矩阵）；

<=>/"（4）=〃（是满秩矩阵）

o4的行（列）向量组线性无关；

O齐次方程组Ar=0有非零解：

,总有唯一解；

。4与£等价；

oA3表示成若干个初等矩阵的乘积；

。A的特征值全不为0；

。MA是正定矩阵；

u>A的行（列）向量组是A"的一组基;

oA是R"中某两组基的过渡矩阵；

对于阶矩阵：无条件恒成立；

（AT）.=（H尸（4。，=（4尸(A了=(A>

（AB）r=（AS）*=BA*

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则；

I、|4|=1阕|4|…⑷;

H、A；，.；

、4',

②、份沪仁图;，角分块）

③、（;X:（副对角分块）

G（AeV）（A-1吐、

④、八n=1；（拉普拉斯）

10列（0B'J

Q（Ak（—o]/………

⑤、cn=n1n1；（拉普拉斯）

（cB）{-H-'CA'1

矩阵的初等变换与线性方程组

一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;

对于同型矩阵、，若；

行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1;

③、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为0;

初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：;

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：：

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：;

⑤、倍加某行或某列，符号，且，如：；

矩阵秩的基本性质：

②、r(Ar)=r(A)；

③、若，则；

④、若、可逆，则；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)

⑤、max(r(y4),r(B))<r(A,B)<r(A)+r(B)；(※)

⑥、r(A+B)<r(A)+r(B)；(X)

⑦、r(AB)<min(r(A),r(B))；(X)

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：(※)

I、笈的列向量全部是齐次方程组

AX=O解(转置运算后的结论)；

II、r(A)+r(B)<H

⑨、若、均为阶方阵，则：

三种特殊矩阵的方哥：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向最)的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

二项展开式：：

注：I、展开后有项:

Ti丁倩〃(〃一1)...(〃一加+1)〃!ro_rn

、”-1.2.3.....W-/〃!(〃-/")!"-"-

III、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

伴随矩阵：

①、伴骑矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、A*=|A|A-\|A*|=|4|"-'

关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)

②、，中有阶子式全部为0;

③、，中有阶子式不为0;

线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程;

线性方程组的求解：

①、对增广矩阵3进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

+•••+%/=4

①、/内+。220+・一+%才“二4.

4内+。也占+•••+〃”"“=2

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、+a2x2+...+atlxH-P（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

向量组的线性相关性

个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

①、向量组的线性相关、无关oAr=0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出oAr=b是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示0Ax=6是否有解；（矩阵方程）

矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；（例14）

r

r(AA)=r(A)；(P|()1例15)

维向量线性相关的几何意义:

①、a线性相关oa=0：

②、a,夕线性相关。a/坐标成比例或共线（平行）；

③、a.6,7线性相关=共面；

线性