高中数学教学案例设计使用

《正弦定理》教学案例

高平二中公素玲

［案例背景］

本节内容安排在《高中数学必修5》（人教A版）第一

章（解三角形），正弦定理第一课时，是在高二学生学习了

三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三

角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延

伸，因而定理本身的应用又十分广泛.为什么要研究正弦定

理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？

还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生

所关心的问题学生在初中已经学习了解直角三角形的内

容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量

的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成

初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时

又是突破定理证明障碍的强有力的工具.正弦定理是关于任

意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教

学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问

题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发

学生学习数学的兴趣，培养学生独立思考和勇于探索的创新

精神。

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在

教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以

问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为

基本探究内容，指导学生掌握“观察-猜想-证明-应用这一思

维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能

力和创造性思维的能力。

［案例描述］

（一）设置情境

教师：展示情景图如图L船从港口B航行到港口C,测得

BC的距离为600m,船在港口C卸货后继续向港口A航行，由

于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否

计算出A、B的距离？

学生：思考提出测量角A,C.

教师：若已知测得NBAC=75°,ZACB=45°,如何计算A、

B两地距离?

学生：（思考交流）得出过A作AD_LBC于D（如图2）,把AABC

分为两个直角三角形.解题过程，学生阐

述，教师板书.

教师继续引导：在上述问题中，若AC=b,AB=c,能否用B、

b、C表示c呢?

.n_AD.D_AD

学生：发现T'丁

AD=bsinC=csinB.

bsinC

c=--------

sinB.

教师引导:在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什

么？

_bsinC_asinC_bsinA

学生：发现即然有“宝百，那么也有，二百，"飞百.

_bsinC_asinC_bsinA

教师：引导"宝百，"玄，"W面，我们习惯写成对称形

式

c_bc_aa_b

sinCsinB,sinCsinA,sinAainB,

a_b_c

因此我们可以发现百二,二标.是否任意三角形都有这种

边角关系

（二）数学实验，验证猜想

教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验

a_b_c&N

sinAainBstnC是否成立，举出特例.|、\c

bL_\

教师：对于RtZ\ABC呢？学生：思考交流得出，caB

（图4）

a_b_c

从而在直角三角形ABC中，sinAainBsinC.

abc

教师：那么任意三角形是否有sinAainBsinC呢？

借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教

学课件.边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的

变化情况.

a_b_c

结论：sinAainBsinC对于任意三角形都成立.

设计意图：通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的

认识从感性逐步上升到理性.

（三）证明猜想，得出定理

教师：前面我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，但

对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程

a_b_c

中对我们有没有启发.二=翁=嬴云下面分组讨论，然后每组派

一个代表总结.（展示证明过程）

教师：还有其它证明方法吗?

比如：谷、\、白都等于同一个比值"那么它们也相

sinAsinBsmC

等，这个女到底有没有什么特殊几何意义

呢？

学生：在前面的检验中，RfzVLBC中,

ab_c

c恰为外接接圆的直

sinAsinBsinC

径，即c=Z=2R,所以作ZVU3C的外接圆。，。

为圆心，连接8。并延长交圆。于夕，把一般

三角形转化为直角三角形。

教师：从刚才的证明过程中，

abc

——二——=——=2R,显示正弦定理的比值等于三角

sinAsinBsinC

形外接圆的直径2R。

（四）利用定理，解决引例

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题.

学生：马上得出，在aABC中，ZB=

c_b

180°-ZA-ZC=60°,蔡廿盛而，

bsin£=600sin4T=200^m

smBsin60°

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知

识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新

知识的欲望.

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题.

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型:

1、如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和

bsinA

a=--------

另两边，如sinb.

2、如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另

a

两角,如sinA=bsinB.

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生

体验到成功的愉悦主动学习.

（五）尝试小结

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容.

学生：思考交流，归纳总结.

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

a_b_c

⑴正弦定理的内容（嬴葭蕊=麻=2R）及其证明思想方法.

（2）正弦定理的应用范围：

［案例反思］

优点：

1、本节课，学生在教师预设的思路中积极主动参与一个个

相关联的探究活动过程，通过“观察一一实验一一归纳一一猜想

―证明”的方法发现并证明定理,使学生经历了知识形成的过

程，感受到创新的快乐，激发了学生学习数学的兴趣.让学生在

参与问题解决的过程中不仅掌握了知识，而且培养了他们的思维

方式和思维能力。在整个教学过程中，教师只是学生学习的指导

者和评价者，学生才是学习的主人，学生的学习兴趣高，主动性

强，教学效果明显提高。

2、以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现

问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合

作”中增知，在“探究”中创新.观察-猜想-证明-应用这一思

维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力

和创造性思维的能力。

不足：

1、使用计算器处理复杂、烦琐的数字是新教材的一个特点，教

学时要注意着一点。

2、由教师设计和提供一些问题，引导学生进行分析解答，这必

然会导致学生只是按教师设计的步骤进行思维