高中数学人教A版2019必修第一册4.5函 数 的 应 用 (二 )4.5.1函数的零点与方程的解

4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解

一、选择题(共10小题)

1.函数y=4%-2的零点是()

A.2B.(-2,0)C.&。■

2.下列图象表示的函数中没有零点的是()

X—2

的零点,则&所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

4.方程2工=2—x的根所在区间是()

A.(-1,0)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

5.方程/一万一1=o在［1,1.5］上实数解有()

A.3个B.2个C.至少一个D.0个

6.对于函数f(x),若f(—1)"(3)<0,则()

A.方程f。)=0一定有实数解B.方程/(x)=0一定无实数解

C.方程f(%)=0一定有两实根D.方程-为)=0可能无实数解

7.函数f(x)=2--3%+1的零点是()

A「，—1B.”%，TD.-”

8.函数f(%)=In%+/+。_1有唯一的零点在区间(l,e)内，则实数a的取值范围是()

A.(—e^,0)B.(—e^,1)D.(l,e2)

9.函数〃乃=3工+为2一2的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

10.已知函数f(x)是奇函数，且满足f(2-x)=f(x)(x£R),当0<xVl时，=Vx-1»

则函数f(%)在(-2,2］上零点的个数是()

A.5B.6C.7D.8

二、选择题(共1小题)

11.下列说法中正确的是()

A.函数/(x)=%+l,xG[-2,0]的零点为(-1,0)

B.函数/(%)=%+1,%6[-2,0]的零点为一1

C.函数f。)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点

D.函数/'(X)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标

三、填空题(共5小题)

12.已知函数/(%)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(%)=bx2-ax-1的零点

是.

13.已知函数f(%)=2工-：-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是.

14.方程Inx=8-2%的实数根工C(k,k+1),kCZ,则上=.

15.若函数f(%)=\2x-2\-b有两个零点，则实数b的取值范围是.

16.已知函数/(%)=x2—bx+3.

(1)若f(0)=/(4),则函数f(x)的零点为；

(2)若函数f(%)的一个零点大于1,另一个零点小于1,则b的取值范围为.

四、解答题(共4小题)

17.求函数f(x)=log2x-x+2的零点的个数.

18.已知函数f(x)=x2—2x—3,xG[—1,4].

(1)画出函数丫=f。)的图象，并写出其值域；

(2)当m为何值时，函数g(x)=fO)+ni在上有两个零点？

19.已知函数f。)=二八，).

IVx+a—1,x>1

(1)若a=0,x6[0,4],求f(x)的值域；

(2)若f(%)恰有三个零点，求实数a的取值范围.

20.若函数f(%)=/一2%+a的一个零点在区间(—2,0)内，另一个在区间(1,3)内，求实数a的

取值范围.

答案

1.D

【解析】令y=4%-2=0,得%=去

所以函数y=4%-2的零点为p

故选D.

2.A

【解析】因为B,C,D项函数的图象均与％轴有交点，

所以函数均有零点，A项的图象与无轴没有交点，故函数没有零点，

故选A.

3.C

%-2

©在(0,+8)上是增函数，

且f⑴=-2<0,f(2)=ln2-1<0,/(3)=ln3-|>0,

所以久o6(2,3).

4.D

(解析］令/(无)=2"-2+x

因为/(%)在R上是增函数，

且/(0)=-1<o,f(i)=1>o.

所以f(x)的零点在(0,1)内，

即方程2、=2—x的根在(0,1)内.

5.C

【解析】令/(无)-x3-x-1,

则/(1)=-1<0,/(1.5)=1.53—1.5—1=1.53-2.5>0.

6.D

【解析】因为函数/(x)的图象在(-1,3)上未必连续，

故尽管f(—l)"(3)<0,

方程/(久)=0在(-1,3)上也未必有实数解.

7.B

2

【解析】方程2x-3%+1=0的两根分别为/=1,x2=

所以函数f(%)=2%2-3%+1的零点是点1.

8.A

【解析】因为/(%)在其定义域(0,+8)上是增函数，且f(%)有唯一的零点在(Le)内,

所以隽二:0

解得—e%<a<0.

9.C

【解析】函数/(x)=3x+x2-2的零点，就是方程3天+为2—2=0的根，即方程3X=-X2+2的根,

也就是y=3"与y=-x2+2的图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出y=3欠与y=

一如+2的图象，如图所示，

由图可知，它们有两个交点，所以函数人%)有2个零点.

10.B

【解析】解法一：由《―；=0,解得x=；,

所以f(1)=o-

因为f(2—x)=f(x),

所以八3=八2—3=八9=。・

因为fO)是奇函数，

所以f(一:)=-f(;)=

0=-黑)=。，

/(0)=0,

f⑵=f(0)=0,

所以/(%)在(―2,2］上的零点为—：，—：，0,pp2.

4444

解法二：依题意，作出函数/(%)的图象，如图所示.

由图象可知，f(x)的图象在(-2,2］内与光轴的交点有6个.所以八%)在(-2,2］上的零点有6个.故

选B.

11.B,D

【解析】根据函数零点的定义，可知/'(%)=尤+l,xC［-2,0］的零点为一1,即函数f(x)的图象与无

轴的交点的横坐标.因此，说法B,D正确，故选BD.

12.--

23

【解析】由题意知，方程一一。％-力=0两根为2,3,

所以fl”；—"'〃即0=5,b=—6,

12x3=—b,

所以方程bx2—ax—1=-6x2—5%—1=0的根为一之，一1

即为函数g(%)的零点.

答案：-p—

13.(0,3)

【解析】因为f(%)在(0,+8)上是增函数，且/(%)的一个零点在区间。2)内,

=21—2—a<0,

所以

=2?—1—a>0,

解得0<a<3.

14.3

【解析】令/(%)=In%+2%—8,

贝U/O)在(0,+8)上单调递增.

因为f(3)=ln3—2<0,f(4)二ln4>0,

所以零点在(3,4)上，

所以k=3.

15.(0,2)

【解析】由以x)=|2x-2|-6=0,

得12%—2|=从

在同一平面直角坐标系中画出y=12%-2|与y=b的图象，如图所示,

则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数/(无)=|2欠—2|b有两个零点.

16.1和3,(4,+oo)

【解析】(1)由/'(0)=f(4),得3=16—4b+3,即6=4,

所以f(x)=/-4x+3,令/'(x)=0,

即小—4%+3=0,得％]=3,x2=1.

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.

故b的取值范围为(4,+oo).

17.令f(x)=0,即log2》—x+2=0,

即log2M=x—2.

令乃=log2x,y2=^-2.

在同一平面直角坐标系中画出两个函数的大致图象，如图所示.

由图可知，两个函数有两个不同的交点.

所以函数f(x)=log2x-x+2有两个零点.

18.(1)依题意，f(x)=(x-1)2-4,xe[-1,4]，其图象如图所示.

由图可知，函数/(%)的值域为［—4,5］.

(2)因为函数g(x)=/(%)+根在［-1,4］上有两个零点.

所以方程f(%)=-Hl在％G［-1,4］上有两相异的实数根，

即函数y=/(%)与y=-m的图象有两个交点.

由(1)所作图象可知，一4<—m40,

所以04771<4.

所以当04THV4时，函数y=/(%)与y=-m的图象有两个交点，即当04mV