高中数学-空间向量与立体几何练习题(附答案)

空间向量练习题

1.如图所示，四棱锥P-4BC。的底面4BC。是边长为1的菱形，NBCD=60°,E是CD

的中点，《4_L底面ABC。，PA=2.

(I)证明：平面PBE_L平面以B;

(II)求平面隙。和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的

坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),

C(——,0),£)(——,0),P(0>0)2),£(1,—-,0).

22222

(I)证明因为8E=(0,X」,0),

2

平面PAB的一个法向量是％=(0,1,0),

所以而和加共线.从而BEL平面PAB.

又因为8Eu平面PBE,

故平面PBEL平面PAB.

(II)解易知夕3=(1,0,-2),35=(0,3,0),PA=(0,0-2),AD=—,0)

222

i。,得

设〃।=(芯,乂，4)是平面Q%'的一个法向量，则由,

%・BE=0

Xj+0xy-2Z[=0,

0x七+当所以y=0,玉=24.故可取z?]=(2,0,1).

y2+0xz2=0.

0xx2+0xy2-2z2=0,

n2»PA-0,

设%二*2,%，Z2)是平面川〃的一个法向量，则由，得16

n2.AD=Q5%+亏为+OxZ?=0.

■.乙乙

所以z?=0,x2=一百%•故可取%=(百，一1，°).

273_V15

于是，cos<〃],〃■,>=

>/5x2-5

故平面必〃和平面板所成二面角(锐角)的大小是arccos

5

2.如图，正三棱柱ABC—AIBIG的全部

棱长都为2,。为CG中点。

(I)求证：AB」面AiB£)；

0

(II)求二面角A—4O—B的大小;

(III)求点C到平面AiBO的距离；

(I)证明取中点。，连结A0.

△ABC为正三角形，，AO_LBC.

.•在正三棱柱ABC—A4G中，平面A5CL平面BCG4,

.•.4£＞，平面8。(?百.

取AG中点。J以。为原点，OB,OOi,。4的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐

标系，则B(l,0,0),0(-1,1,0),A(0,2,6),A(0,0,省)，B,(1,2,0),

二用=(1,2,-我，80=(-2,1,0),BA,=(-1,2,73).

AB1.BD=-2+2+0=0,砺3=—1+4—3=0,

AB,±BD,AB[±BA,.

AB｝」_平面\BD.

(II)解设平面AAD的法向量为〃=(%,y,z).

AD=(-1,1,-G),9=(0,2,0).

n_LAD,n_LAA],

3A£)=0，一一百z=。，y=。,

“•44|=0,2y=0,x=-V3z.

令z=1得〃=(-73,0,1)为平面A,AD的一个法向量.

由(I)知A3]_L平面ABQ,

/.A4为平面430的法向量.

“•AB1—>/3—>/3\/6

cos<n,AB,>=

|4|AB'|~2.272~4

二・二面角A-A-B的大小为arccos

(IH)解由(II),AR为平面43。法向量,

BC=(-2,0,0),蝴=(1,2,-G).

BGABi

；.点C到平面48。的距离d==上装交

3.如图，在四面体ABC。中，0、E分别是8。、BC的中点,

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=C.

(D求证：AO_L平面BCD；

(2)求异面直线AB与CO所成角的余弦值;

(3)求点E到平面ACO的距离.

⑴证明连结OC

BO=DO,AB=AD,AO±BD.

BO=DO,BC=CD,CO1BD.

在A4OC中，由己知可得AO=1,CO=

而AC=2,:.AO2+CO2=AC2,

:.ZAOC=90°,即AO±OC.

BD[0c=O,，A0_L平面BCD.

(2)解以。为原点，如图建立空间直角坐标系,

则5(1,0,0),5-1,0,0),

cos<BA,CD>=岩:，j,

网卬|4

异面直线■与8所成角的余弦值为7

⑶解设平面ACD的法向量为〃=(x,y,z),则

n-AD-(x,y,z)-(-l,0,-l)=0

«-AC=(x,y,z)-(0,73,-1)=0

X+Z=0广r-

r,令y=l,得〃=(一6,1,括)是平面AC。的一个法向量.

岛-z=0'

怛。”|J3J21

又与

EC=4,0),点E到平面ACD的距离h="

忖币7

4.已知三棱锥P-ABC中，PA1ABC,AB±AC,PA=AC=%AB,N为AB上一点，AB=4AN,M,S

分别为PB,BC的中点.

(1)证明：CM1SN；

(II)求SN与平面CMN所成角的大小.

证明:

x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。

N(-A0),S........4分

22

(I)CM=(l,-l,1),S7V=(-1,-1,0),

因为CM・SN=—L+L+0=0,

22

所以CM_LSN…“6分

(IDNC=(」,1,0),

■2

设2=(X,y,z)为平面CMN的一个法向量,

1八

+—z=。，

2令x=2,

则《得a=(2,1,-2).9分

--x+y=0.

所以SN与片面CMN所成角为45°。12分

5.如图，在三棱柱ABC-AB|G中，已知BC=1,BB]=2,NBCCkAB_L侧面BBQC，

（1）求直线C.B与底面ABC所成角正切值；

（2）在棱CG（不包含端点C,CJ上确定一点E的位置，

使得EA1EB,（要求说明理由）.

（3）在（2）的条件下，若AB=J5,求二面角4-Eg-A的大小.

解：（1）在直三棱柱ABC-A4G中，平面A3C在平面ABC上的射影为CB.

.・.NGBC为直线G8与底面A3C所成角........2,

CC,-BB]—2,BC-1,/.tanNC】BC-2

即直线GB与底面ABC所成角正切值为2..............4'

(2)当E为中点时，EA1EB「CE=ECi=l,BC=BCi=lZBEC=ZBIECI=45

ZBEB,=90,gpB.ElBf