人教版中考一模测试《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一.选择题

1.-3的绝对值是（）

1

A.-3B.3C.±3D.-一

3

2.若式子与在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A,x>3B.x<3C.x>3D.x<3

3.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）

A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1

B.两枚骰子向上一面点数之和等于1

C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12

D.两枚骰子向上一面点数之和等于12

4.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

6.某公司计划新建一个容积V（n?）一定的长方体污水处理池，池的底面积Sin?）与其深度h（m）之间的函数

关系式为S=：（〃NO）,这个函数的图象大致是（）

h

A.B.D.

7.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的

密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码

的概率是（）

1„1c1r1

A.—B.-C.-D.一

10932

k2+1

8.对于反比例函数》=巴士，下列说法正确的个数是（）

①函数图象位于第一、三象限；②函数值y随x增大而减小；③若A（-l,y）,B（2,%），C（l,%）

是图象上三个点，则X＜为＜%；④P为图象上任一点，过P作PQ±y轴于点Q,则△OPQ的面积是定

值.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图，OO半径为2,圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限，点C、D

在。。上，且点D的坐标为（0,2）,现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150。，点B运动到了。O

上点8处，点A、D分别运动到了点Ai、Di处，即得到正方形AiBCQi（点C】与C重合）；再将正方形

AIBIGDI绕点&按逆时针方向旋转150。，点Ai运动到了。。上点A?处，点D卜G分别运动到了点D?、

C2处，即得到正方形A2B2c2口2（点B2与日重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为（）

X

A.(0,2)B.(2+73--1)

1-6,-1-V3)D.(1,-2-73)

10.如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数位于第一象限的图象上运动，点8在x轴正半轴

上运动，在A8右侧以它为边作矩形4BCD,且AB=2g,AD=1,则。。的最大值是（）

A.V5+V3B.疗+2C.V5+2D.2V2+V3

二.填空题

11.计算：V27+748=.

13.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图,

这组数据的中位数是，极差是，平均数是.

（小时）

14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AE.若AE平分NDAB,ZEAC=25°,则NB=,ZAED

的度数为

15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a*0）的图象如图所示，有下列结论:

①b2-4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.其中，正确结论的有.

16.如图，等腰直角aABC的斜边AB下方有一动点D,ZADB=90°,BE平分NABD交CD于点E,则一

的最小值是

三.解答题

17.计算：(-2x))2+x3,x-x”x

18.矩形ABCD中，AE平分/BAD交BC于点E,CF平分NBCD交AD于点F,求证：AE〃CF.

19.为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生

的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图

分组/分频数频率

A组50<x<6060.12

B组60<x<70a0.28

C组70<x<80160.32

D组80<x<90100.20

E组90<x<10040.08

(1)表中的a=:抽取部分学生的成绩的中位数在组;

(2)把上面的频数分布直方图补充完整；

(3)全校总人数为1000人，如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校

进入决赛的学生大约有多少人.

即顶点A、B、C均在格点上，利用无刻度直尺按

要求完成下列各题，并保留作图痕迹:

（1）边AB上找一点E,使N8CE=45。（请在图①中完成）；

4n1

（2）在边AC上找一点。，使中=7（请在图②中完成）.

21.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，平分NABC交AE于点M,经过8,M两点的

交8C于点G,交A8于点尸，尸B恰为。。的直径.

（1）求证：AE与OO相切；

（2）当BC=4,cosC=，时，求。。的半径.

22.某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件

数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.

（1）求一件A,B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该客商购进A,8型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于

80件，已知4型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品机件,

求该客商销售这批商品的利润），与根之间的函数关系式，并写出m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈

善资金。元(0<aV80),若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的。值.

23.在RtZXACB中，NACB=90。，点D为AB上一点.

(1)如图1,若CD_LAB,求证：CD2=AD«DB；

FH4AD

(2)如图2,若AC=BC,EF_LCD于H,EF与BC交于E,与AC交于F,且——=一，求——的值；

HE9BD

(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上，且NAHD=45。，CH=3DH,直接写出tanNACH的值为

24.如图，抛物线y=/+(4a-l)x-4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,S.OC=2OB,点。为线段08

上一动点(不与点8重合)，过点。作矩形。EF"，点“、F在抛物线上，点E在x轴上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当矩形QE尸”的周长最大时，求矩形。EF”的面积:

(3)在(2)的条件下，矩形。EF”不动，将抛物线沿着x轴向左平移，"个单位，抛物线与矩形QEFH的

边交于点M、N,连接M、N.若MN恰好平分矩形OEFH的面积，求，”的值.

C

答案与解析

一.选择题

1.-3的绝对值是（）

1

A.-3B.3C.±3D.--

3

【答案】B

【解析】

【分析】

计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对

值的符号.

【详解】根据负数的绝对值是它的相反数，得

|-3|=3,

故选B.

【点睛】本题考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是

它的相反数；0的绝对值是0.

2.若式子）二在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A.xe3B.xW3C.x>3D.x<3

【答案】A

【解析】

分析：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须

x-3>O=>x>3.

故选A.

3.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有I到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）

A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1

B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1

C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12

D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12

【答案】D

【解析】

【分析】

根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可.

【详解】A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是必然事件，故此选项错误；

B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1,是不可能事件，故此选项错误；

C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12,是不可能事件，故此选项错误;

D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12,是随机事件，故此选项正确；

故选D.

【点睛】此题主要考查了随机事件，关键是掌握随机事件定义.

4.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】A、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

5.如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（）

【解析】

【分析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【详解】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形.

故选A.

【点睛】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

6.某公司计划新建一个容积V（n?）一定的长方体污水处理池，池的底面积S（n?）与其深度h（m）之间的函数

【解析】

【详解】解：由题意可知：v>0,h>0,

v

Js=：（力工0）中，当u的值一定时，§是〃的反比例函数，

h

v

函数5=一（〃h0）的图象当u>0,〃>0时是：“双曲线”在第一象限的分支.

h

故选C.

7.某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的

密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码

的概率是（）

1111

A.—B.—C.-D.一

10932

【答案】A

【解析】

试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次

就能打该密码）=—,故答案选A.

考点：概率.

+i

8.对于反比例函数y=LE二■，下列说法正确的个数是（）

X

①函数图象位于第一、三象限；②函数值y随X的增大而减小；③若A（-l,X）,B（2,为），C（l）为）

是图象上三个点，则X<为<%；④P为图象上任一点，过P作PQ±y轴于点Q,则的面积是定

值.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

21

【详解】丫=二k二+中,公+1>0,，函数图象位于第一、三象限，①正确；

x

函数在各象限中，y随x的增大而减小，故②错误；

若A（-l,y）,B（2,%），C（l,为）是图象上三个点，则乂<%<%，故③错误；

上2,1

④P为图象上任一点，过P作PQ，y轴于点Q,则AOPQ的面积等于勺二，为定值，故④正确.

2

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=&（kWO）,（1）k>o,反比例函数图象在一、

X

三象限，在每一个象限内，y随X的增大而减小；（2）kVO,反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个

象限内，y随x的增大而增大.

9.如图，OO的半径为2,圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2,点A、B在第二象限，点C、D

在。。上，且点D的坐标为（0,2）,现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150。，点B运动到了。O

上点&处，点A、D分别运动到了点Ai、Di处，即得到正方形AIBIGDI（点Ci与C重合）；再将正方形

ANIGDI绕点臼按逆时针方向旋转150。，点Ai运动到了。。上点A2处，点Di、G分别运动到了点D2、

C2处，即得到正方形A2B2c2口2（点B2与Bi重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为（）

B.(2+3-1)

c.(-1-#)，-1-G)D.(1,-2-V3)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意找到规律，12次为一个循环，则A2O2O的坐标与A4相同，求出A4的坐标即可解决本题.

【详解】解：如图，由题意发现12次一个循环，

；2020+12=168L4,

.,•A202O的坐标与At相同，

如图，连接MA4、OE、OF,

，/EOF=360+6=60°,

：OE=OE,

...△OEF为等边三角形，

•,.ZOEF=60°,ZOME=90°,

.•.OM=OExcos600=y/3,MF=；EF=1,

ON=OM+MN=2+y/3,NA=MF=1,

.*.A(2+百，-1),

A2O2O（2+百，-1）,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转规律，三角函数、正方形、等边三角形的性质，准确根据题意找到旋转规律是解

决本题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y=6x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴

上运动，在AB右侧以它为边作矩形A8C。，且AO=1,则0。的最大值是（）

A.y[5+y/3B.77+2C.75+2D.2点+百

【答案】B

【解析】

【分析】

作△AO8的外接圆。P,连接OP、PA,PB、PD,作尸G_LCZ）,交AB于H,垂足为G,易得NAPH=NAOB,

解直角三角形求得产4=2,然后根据三角形三边关系得出。。取最大值时，OD=OP+PD,据此即可求得.

【详解】解：•.•点A在一次函数y=Gx图象上，."11/408=，^,

作aAOB的外接圆。尸，连接。尸、PA.PB、PQ,作PGLCZ）,交AB于”，垂足为G,

•••四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,四边形是矩形，

：.PG1AB,GH=AD=l,

VZAPB=2ZA0B,NAPH=；NAPB,AH=AB==DG,

：.ZAPH=ZAOB,

/.tanZAPH=tanZAOB=6,

.也=R

..PHG

・•・PH=1,

・・・PG=PH+HG=1+1=2,

:・PD=4PGr+DG2=j2?+（百尸=币,

°P=B4=yjAH2+PH2=7（V3）2+12=2，

在△OP。中，OP+PD'OD,

，0力的最大值为：OP+PD=2+不，

故选:B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，垂径定理，三角函数的定义以及勾股定

理的应用，三角形三边关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键.

二.填空题

11.计算：后+748=.

【答案】773

【解析】

【分析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案.

【详解】解：原式=36+46=76,

故答案为：76.

2

12.计算:

nr-1m-\

1

【答案】

zn+1

【解析】

【分析】

先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再求出即可.

2m+l

【详解】解：原式=

(m+1)(7?:-1)

2-(771+1)

(m+1)(777-1)

1-m

(m+l)(m-1)

1

"7+1

故答案为：-------.

m+\

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

13.某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图,

这组数据的中位数是,极差是，平均数是.

【答案】（1）.9⑵.4（3）.9

【解析】

【分析】

此题根据中位数，极差，平均数的定义解答.

【详解】解：由图可知，把45个数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9,所以中位数是9.

这组数据中最大值是11,最小值是7,所以极差是11-7=4.

平均数是（7x5+8是+9x18+10x10+11x4）+45=9,所以平均数是9.

故答案为9,4,9.

【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、中位数、极差，中位数是将一组数据从小到大

（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.平均数

是所有数的和除以所有数的个数.极差就是这组数据中的最大值与最小值的差.

14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AE.若AE平分/DAB,/EAC=25。，则/B=_____,ZAED

的度数为____.

【解析】

【分析】

先证△ABC0Z\EAD(SAS),得出NBAC=NAED,再证4ABE为等边三角形.得出NB=/BAE=60。,

求出NBAC=85。，即可得出答案.

【详解】解：；四边形ABCD为平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC.

；./DAE=/AEB.

VAB=AE,

.*.ZAEB=ZB.

.\ZB=ZDAE.

AB=AE

•.•在AABC和AEAD中，ZB=ZDAE,

AD=BC

.".△ABC^AEAD(SAS),

；./BAC=/AED,

TAE平分NDAB,

.\ZDAE=ZBAE；

又：NDAE=NAEB,

；./BAE=NAEB=/B.

.•.△ABE为等边三角形.

NB=NBAE=60°,

VZEAC=25O,

AZBAC=85°,

.\ZAED=85°.

故答案为：60°,85°.

【点睛】本题考查了平行四边形性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟

练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

15.已知二次函数y=ax?+bx+c(a*0)的图象如图所示，有下列结论：

(l)b2-4ac>0：②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.其中，正确结论有.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

①由图象与c轴的交点可以判断；

②根据开口方向可以判断a的正负，根据顶点坐标所在的位置可以判断b的正负，根据与y轴的交点可以判

断c的正负，从而可以解答本题；

③根据对称轴可以确定a、b的关系，由x=-2对应的函数图象可以判断该结论是否正确；

④根据对称轴和二次函数具有对称性可以判断该结.论是否正确.

【详解】解：由二次函数的图象与z轴两个交点可知,b2-4ac>0,故①正确；

由二次函数的图象可知，开口向上，则a>0,顶点在y轴右侧，则b<0(左同右异),图象与y轴交于负半轴，则c<0,

故abc>0,故②正确；

由图象可知:——=1,则b=-2a,当x=2时,y=4a-2b+c>0则y=4a-2x(-2a)+c>0,即8a+c>0,故③正确；

2a

由图象可知：此函数的对称轴为x=l,当x=-l时和x=3时的函数相等并且都小于0,故x=3时,y=9a+3b+c<0,

故④正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】主题主要考查二次函数的图像与性质，注意观察用图像，利用二次函数的性质解题.

16.如图，等腰直角AABC的斜边AB下方有一动点D,/ADB=90。，BE平分/ABD交CD于点E,则一

的最小值是

【答案】鉴

2

【解析】

【分析】

CE

如图，取AB的中点0,连接OC,OD,AE.想办法证明CE=CA,当CD是直径时——的值最小.

CD

【详解】如图，取AB的中点O,连接OC,OD,AE.

・.,NACB=NADB=90。，OA=OB,

.•.0C=0D=—AB,

2

:.A,C,B,D四点共圆，

VCA=CB,

・・・NCBA=NCBA=45。，

・・・NCDA=NCBA=45。，NCDB=NCAB=45。,

ZCDB=ZCDA,

〈BE平分NABD,

，AE平分NBAD,

NBAE=NDAE,

VZCAE=ZCAB+ZBAE=45°+ZBAE,ZCEA=ZEDA+ZEAD=45°+ZDAE,

ZCAE=ZCEA,

，CA=CE=定值，

CF

...当CD的值最大时，——的值最小，

CD

cpAC/Q

；.CD是直径时，丝的值最小，最小值=•一~•=在，

CDBA2

故答案为正.

2

【点睛】本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定

等知识；证明CA=CE是解题的关键.

三.解答题

17.计算:(-2x2)2+x3,x-x”x

【答案】4x4

【解析】

【分析】

利用积的乘方法则、同底数累的乘除法法则，直接运算得结果.

【详解】(-2x2)2+X3，X_x5^x

=4X4+X4-x4

=4x"

【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幕的乘除法法则及合并同类项法则.掌握累的相关运算法则是解决

本题的关键.

18.矩形ABCD中，AE平分NBAD交BC于点E,CF平分NBCD交AD于点F,求证：AE〃CF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由矩形的性质的AD〃BC,/BAD=/BCD=90。，由平行线的性质得出/AEB=NDAE,由角平分线定义得

出/AEB=/DAE=NBCF,即可得出AE〃CF.

【详解】证明：•・•四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZBAD=ZBCD=90°,

/AEB=/DAE,

：AE平分/BAD,CF平分/BCD,

ZDAE=-NBAD=45°,ZBCF=—ZBCD=45°,

22

AZAEB=ZDAE=ZBCF,

；.AE〃CF.

【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的判定以及角平分线定义；熟练掌握矩形的性质，证出

ZAEB=ZDAE=ZBCF是解题的关键.

19.为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生

的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图

分组/分频数频率

A组50<x<6060.12

B组60<x<70a0.28

C组70<x<80160.32

D组80<x<90100.20

E组90<x<10040.08

（1）表中的a=；抽取部分学生的成绩的中位数在组；

（2）把上面的频数分布直方图补充完整；

（3）全校总人数为1000人，如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校

进入决赛的学生大约有多少人.

【解析】

【分析】

（1）由A组频数及其频率可得总人数，总人数乘以B组频率可得a的值，根据中位数的定义可得答案;

（2）根据以上所求数据可补全图形；

（3）利用样本估计总体思想求解可得.

【详解】解:（1）I•样本容量为6+0.12=50,

.■=50x0.28=14,

•.•被调查的总人数为50,其中位数为第25、26个数据的平均数，

而第25、26个数据均落在C组，

.•.这组数据的中位数落在C组，

故答案为：14、C；

【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利

用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.也考查了用

样本估计总体.

20.如图，在4x4的格点图中，口A3C为格点三角形，即顶点A、B、C均在格点上，利用无刻度直尺按

要求完成下列各题，并保留作图痕迹:

(1)在边A8上找一点E,使NBCE=45。(请在图①中完成);

An1

(2)在边AC上找一点。，使——=一(请在图②中完成).

DC2

【答案】(1)如图见解析；(2)如图见解析.

【解析】

【分析】

(1)直接利用网格结合等腰直角三角形的性质得出答案;

(2)直接利用相似三角形的判定与性质得出答案.

【详解】(1)如图，E为所求；

【点睛】此题主要考查了应用设计图与作图、相似三角形的性质和判定，正确利用网格分析是解题关键.

21.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，平分NABC交AE于点经过8,M两点的

。0交BC于点G,交A8于点R尸B恰为。。的直径.

(1)求证：AE与。。相切；

(2)当BC=4,cosC=；时，求。。的半径.

3/

O'B

【答案】（1）通过证明OMLAE即可证明AE与（DO相切.

3

（2）半径为不

2

【解析】

【分析】

（1）连接OM.根据OB=OM,得/OMB=NOBM,结合BM平分NABC交AE于点M,得/OBM=/EBM,

则OM〃BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AELBC,则OMLAE,从而证明结论；（2）设圆的半

径是r.根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=2,再根据解直角三角形的知识求得AB=6,则OA=6-r,

从而根据平行线分线段成比例定理求解.

【详解】（1）连接0M,则0M=0B,如图所示：

NOBM=NOMB

•.•8M平分/A3C

NOBM=NEBM

ZOMB=ZEBM

：.OM//BE

：.ZAMO=ZAEB

而在/ABC中，A8=4C,AE是角平分线

：.AE±BC

：./AMO=/AEB=90°

与。。相切

（2）在/ABC中，是角平分线

/.BE=LBC=2,NABC=NACB

“u.21

...在Rt/ABC中cosNA8C=cosNACB=—=-

AB3

；.AB=6

设。O的半径为匚贝IAO=6-r

•：OM〃BC

：./\AOM^/\ABE

•_O_M___A__O

"BE-AB

„,r6-r

即=——

26

3

/.r=—

2

22.某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件

数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.

（1）求一件A,8型商品的进价分别为多少元？

（2）若该客商购进4,B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于8型商品的件数，且不小于

80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品机件,

求该客商销售这批商品的利润y与，〃之间的函数关系式，并写出〃，的取值范围；

（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈

善资金a元（0＜。＜80）,若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的。值.

【答案】（1）一件B型商品的进价为150元，则一件4型商品的进价为160元；（2）y=10/n+17500,

8gms125；（3）a值为15

【解析】

【分析】

（1）设一件8型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元.根据16000元采购A型商品的

件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；

（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；

（3）设利润为w元.则卬=（80-。）机+7。（25。一加）=（1。一。），"+1750。，分三种情形讨论即可解决问

题，把7100代入解答即可.

【详解】解：（1）设一件8型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元,

理=吗2,

由题意:

x+10x

解得x=150,

经检验x=150是分式方程的解，

答：一件3型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元;

(2)因为客商购进A型商品机件，所以客商购进8型商品(250-根)件,

由题意：y—80w+70(250-m)=l0m+17500,

y=l0/77+17500,

80<m<250-m,

80<m<125；

(3)设利润为w元.则w=(8。—a)m+70(250—加)=(10-a)/n+17500,

①当10-。〉0时，即0<a<10时，.随机的增大而增大，所以机=125时，最大利润为(18750-125a)元;

②当10-。=0时，最大利润为17500元；

③当10-。<0时，即10<aV80时，w随机的增大而减小，所以机=80时，最大利润为(18300-80a)元,

18750-125«=17100^18300-80«=17100,

解得a=13.2(不合题意，舍去)或15.

答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，则a值为15.

【点睛】本题主要考查了分式的实际应用，一次函数的实际应用，二次函数的应用及最值问题，熟练掌握

相关知识及寻找题目的等量关系列式求解是解决本题的关键.

23.在RtZ\ACB中，ZACB=90°,点D为AB上一点.

(1)如图1,若CDLAB,求证：CD2=AD-DB；

FH4AD

(2)如图2,若AC=BC,EFLCD于H,EF与BC交于E,与AC交于F,且一=一，求——的值;

HE9BD

(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上，且NAHD=45。，CH=3DH,直接写出tan/ACH的值为

【答案】(1)见解析；(2)-；(3)立

37

【解析】

【分析】

(1)证出NB=NACD,证明ACBDSAACD,得出CD：AD=BD：CD,即可得出结论;

FH

(2)设FH=4a,则HE=9a(a>0),R(1)WCH2=HE«FH=36a2,则CH=6a,在Rt^CHF中，tanZACD=

CH

2DP2

=一，过D作DP_LAC于P,则DP〃BC,在RtzSDPC中，tan/ACD=——=一，Z^ADP是等腰直角三角

3PC3

APDP2

形，得出AP=DP,求出——=——=不，由平行线分线段成比例定理即可得出答案;

PCPC3

(3)过点D作DM_LAH于M,设DH=2x,则CH=6x(x>0),CD=DH+CH=8x,证明ZkADHsACDA,

得出/DAH=NACH,AD：CD=DH：AD,求出AD=4x,证明AADM是等腰直角三角形，得出

DM=HM=2^DH=J5X,由勾股定理得出AM=J%x,由三角函数定义即可得出答案.

【详解】(1)证明：ICDJ_AB,

ZADC=ZCDB=90°,

ZACB=90°,

.".ZB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90°,

/B=NACD,

.".△CBD^AACD,

ACD：AD=BD：CD,

.♦.CDJADRB；

.•.设FH=4a,则HE=9a(a>0),

：/ACB=90。，EFXCD,

.•.同(1)得:CH2=HE*FH=9ax4a=36a2,

ACH=6a,

*▲FH4a2

在RtACHF中，tan/ACD=————,

CH6a3

过D作DP_LAC于P,如图2所示:

则DP〃BC,

++DP2

在RSDPC中，tanZACD=—=-,

PC3

VAC=BC,ZACB=90°,

ZA=45°,

AADP是等腰直角三角形，

；.AP=DP,

.APDP2

''PC-PC

DP〃BC,

•AD_AP_2

BD-PC

(3)过点D作DM_LAH于M,如图3所示:

・.・CH=3DH,

・••设DH=2x,则CH=6x(x>0),

・・・CD=DH+CH=8x,

VAC=BC,ZACB=90°,

.\ZBAC=45°=ZAHD,

又・・・NADH=NCDA,

AAADH^ACDA,

・・・NDAH=NACH,AD：CD=DH：AD,

.\AD2=DH<D=16X2,

・・・AD=4x,

VDM±AH,NAHD=45°,

.•.△ADM是等腰直角三角形，

.\DM=HM=—DH=V2x,

2一

AM=yjAD2-DM2=J(4x)2-(岳『=714x.

DMy/2xJl

tanZACH=tanZDAH=------=-=；

AMV14x7

故答案为：叵.

7

【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角

三角形的性质、三角函数定义、平行线分