高中数学选修第一册：课时跟踪检测（十八） 椭圆及其标准方程

课时跟踪检测(十八)椭圆及其标准方程

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1.若椭圆3+%=1上一点尸到焦点肌的距离为3,则点P到另一焦点尸2的距离为()

A.6B.7

C.8D.9

解析：选B根据椭圆的定义知，|PFI|+|PF2|=2〃=2X5=10,因为|「耳|=3,所以|尸四

=7.

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2.若椭圆5+1=1的焦距为2,则m的值为()

A.5B.3

C.5或3D.8

解析：选C由题意得c=l,42=52+。2.当m＞4时，机=4+1=5;当m＜4时，4=m

+1,.\m=3.

3.(多选)下列说法中正确的是()

A.已知为(一4,0),尸2(4,0),平面内到孙，尸2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线

段

B.已知为(一4,0),F2(4,0),平面内到右，出两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭

圆

C.平面内到点M(—4,0),尸2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到歹1,歹2的距离之和

的点的轨迹是椭圆

D.平面内到点尸K一4,0),尸2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆

解析：选ACA中，IB尸21=8,则平面内到尸1,尸2两点的距离之和等于8的点的轨

迹是线段，所以A正确；B中，到尸1,三两点的距离之和等于6,小于|尸』2|,这样的轨迹

不存在，所以B错误;C中，点M(5,3)到H,瓦两点的距离之和为0(5+4)2+32+7(5—4尸+32

=4厮＞|吊尸21=8,则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段Fi尸2的垂直平分

线，所以D错误.故选A、C.

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4.“1＜机＜3”是“方程—十-=1表示椭圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

m-1＞0,

3一帆＞0,所以IVm

mm

{—1W3-9

V3且机22;

当机=2时，方程变为好+12=1,它表示一个圆.故选B.

5.已知尸为椭圆C上一点，Fi,外为椭圆的焦点，且I尸1尸21=2#,若2|昆尸2l=|PFil

十|P尸2|,则椭圆C的标准方程为()

D篇+■曜+$1

解析：选B由已知2c=|吊尸2|=25，:.c=小.

'：2a=|PFi|+|PF2|=2|FIF2|=4V3,

.".a=2\l3..'.b2=a2—c2=9.

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故椭圆C的标准方程是3十七=1或卷+%=1.

6.若△4BC的两个顶点坐标为4(-4,0),8(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨

迹方程为.

解析：△4BC的两个顶点坐标为A(—4,0),5(4,0),周长为18,V|AB|=8,：.\BC\+\AC\

=10.V|3C|+|AC|>8,...点。到两个定点A,3的距离之和为定值，，点。的轨迹是以A,

3为焦点，去除直线A3上的点的椭圆...•2“=10,2c=8,.."=3....顶点C的轨迹方程是马

y2

+/=l(yW0).

答案：言+]=1。2。)

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7.已知椭圆手+3=1的左、右焦点分别为Fi,三，点尸在椭圆上.若|PFi|=4,贝!IIPF2I

,N尸1P歹2的大小为

解析：尸1I+IP尸2l=2a=6,

.,.|PF2|=6-|PFI|=2.

在△凡尸尸2中，由余弦定理得

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,rnr|PF1|+|PF2|-|F1F2|

COSZF1PF2-21P尸1HP尸2I

1

16+4-28-

2

=2X4X2...ZF1PF2=12O°.

答案：2120°

8.椭圆的两焦点为凡(一4,0),尸2(4,0),点尸在椭圆上，若△尸为已的面积最大为12,

则椭圆的方程为.

解析：如图，当P在y轴上时

△PF诉2的面积最大，

乙86=12,:・b=3・

5LVc=4,^.a2=b2+c2=2S.

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工椭圆的标准方程为3+。=1.

答案:l+9=1

9.求符合下列条件的椭圆的标准方程.

⑴过点售,5)和^1);

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(2)过点(一3,2)且与椭圆方+》=1有相同的焦点.

m^n).,椭圆过点小)和

解：⑴设所求椭圆方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0,

(陪

初(^)2+n-(y[S)2=1,

m=l9

解得1

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m-(^]+n-l=lf

.•.所求椭圆的标准方程为好+卷=1.

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(2)由题意得已知椭圆]+；=1中a=3,b=2f

且焦点在x轴上，/.c2=9—4=5.

二设所求椭圆方程为七+义=1.

azaz-5

•・,点(-3,2)在所求椭圆上，

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2_5=1・；・〃'2=15或/2=3(舍去).

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所求椭圆的标准方程为卷+若=1.

10.已知点尸在椭圆上，且尸到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过尸且与椭圆的长

轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程.

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解：法一：设所求的椭圆方程为方=l(a>Z»0)或%+本=l(a>b>0),

2a=5+3,「”=4,

由已知条件得八、2口,,2解得，

l(2c)2=52-32,[C=2,

所以b2=a2—c2=12.

于是所求椭圆的标准方程为a+★=1或表+a=1.

1O12lo12

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法二：设所求的椭圆方程为今+==13>5>0）或方+条=l（a>Z»O）,两个焦点分别为Fi,

F2.

由题意知2a=|PFI|+|PF2|=3+5=8,所以a=4.

在方程9+方=1中，令x=±c，得M="；

避工2

在方程5+笛=i中，令y=±c，得阳=5.

依题意有了=3,得"=12.

于是所求椭圆的标准方程为W+W=l或哈+W=1.

lo1Zlo1Z

[B级综合运用]

11.椭圆唱+卷=1的焦点为Fi,Fi,尸为椭圆上的一点，已知函•成=0,则△FiP4

的面积为（）

A.9B.12

C.10D.8

解析：选AI•丽•示=0,：.PFI±PF2.

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/.|PFi|+|PF2|=|FIF2|且|PFI|+\PF2\=2a.

又a=5,b=3,.・・c=4,

IP尸IF+IPr2F=64,①

•〈

,1|尸尸1|+|尸尸2|=10.②

②2一①，得2|尸尸1卜|尸尸2|=36,

|PF1|-|PF2|=18,

.'.△MP厂2的面积为S=1-|PFI|-|PF2|=9.

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12.已知尸为椭圆真+巳=1上的一点，M,N分别为圆（x+3）2+y2=i和圆（%—3户+

,2=4上的点，则|PAf|+|PN|的最小值为（）

A.5B.7

C.13D.15

解析：选B由题意知椭圆的两个焦点为，已分别是两圆的圆心，且|尸为|+|尸尸2|=10,

从而1PM+|PN|的最小值为|P尸1I+IP歹2|-1-2=7.

13.椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过

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另一个焦点.现从椭圆方+方=1的左焦点尸发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，

回到点F,则光线所经过的总路程为.

解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到p点，故根据椭圆的定义可知所走的

路程正好是4a=4X3=12.

答案：12

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14.已知椭圆%十条=1320)的焦点分别是肌(0,-1),F2(0,l),且3a2=4比

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点尸在这个椭圆上，且|PFI|-|PF2|=1,求NHPF2的余弦值.

解：(1)依题意，知。2=1,又。2=层一加，且3〃2=452,

所以〃2一邛312=1,即于2=1,所以。2=4,52=3,

故椭圆的标准方程为］+§=1.

(2)由于点尸在椭圆上，所以|尸西|+|尸尸2|=2Q=2X2=4.又|P凡|一|尸尸2|=1,所以|尸凡|

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=5，|尸尸2|='.又吗g|=2c=2,所以由余弦定理得cos