高中数学审题“8环节”

谈考场如何审题高考数学审题“8环节”

审题即弄清题意，是解题的基础，也是正确、迅速解题的前

提，要想有效解决问题，关键要过审题关.著名数学教育家

波利亚说过：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演

算和作图.”事实上，考生常常对此掉以轻心，致使解题失

误或陷入繁冗之中.据统计，高考试卷通常控制在2000个

左右的印刷符号，若以每分钟300〜400个符号的速度读题

审题，约需5〜7分钟，考虑到有的题要读两遍以上，仅审

题就要约15分钟.

能否迅速准确地理解问题,在很大程度上影响和决定了高考

成绩的好坏.从这个意义上讲，高考数学谋试在“审”，成试

在“审”，一点都不过分.下面从实例出发，就高考数学解题

中审题要注意的几个环节综述如下：

环节一要斟字酌句.弄清问题

逐字逐句，仔细分析是审题的重要策略之一.在数学解

题中，经常会出现一些容易看错的或易被忽视的或容易误解

的字词，如果麻痹大意，就会导致失误.因此，要善于“斟

字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件.

［例1］已知锐角八破。的三个内角N,B,C所对的

边分别是a,b,c,若b是1和2的等比中项，c是1和5的

等差中项，则。的取值范围是.

［审题］(1)要求。的取值范围，应建立关于。的不等式；

(2)由条件ub是;和2的等比中项”和%是1和5的

等差中项”可分别求出b和c的值；

(3)根据为锐角三角形，利用余弦定理即可建立

关于a的不等式.但是，题目条件并没有明确a是否为最大

边，故应分类讨论.

［提醒］本题易误认为。为最大边，由川+，一/>0得

出结论，从而忽视C为最大边的情形，掉入漏解陷阱.题目

中没有明确。是否为最大边，由此找到分类的依据.

［解析］因为b是;和2的等比中项，所以6=出<2=1；

因为。是1和5的等差中项，所以。=毕=3.

又因为八4BC为锐角三角形，

fl2+32-a2>0.

①当a为最大边时.有解得百；

11+3>«,

Il"+a2—32X）»

②当。为最大边时•有“+1>3.解得2疹4<3.

1,忘3.

由①@得2啦<«〈回，

所以。的取值范围是（2/，jlo）.

答案：（2啦，洞

环节二要抓住关键.寻找问题的突破口

许多题目都存在关键性的词语,抓住它们就会把握事物

的本质属性，找到解题的突破口.因此，审题时，除了熟悉

问题的整体背景，注意各个部分之间的区别和联系外，还要

特别注意根据“关键词”展开思维.

［例2］李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数

学问题，如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应点的线

段4B,对折后（点N与B重合）再均匀地拉成1个单位长度

的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线

段一45上的;、；均变成^变成1等）•那么在线段48上（除

A,5）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点

所对应的数之和是.

［审题］本题的关键词是新定义中的“一次操作”，要解决此

题，首先要读懂“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线

段长度相等的线段即为1个单位长度，第一次操作后，在;处为对折

点，均匀拉长尾变成1,原线段.45上的;、:均变成会这在题目中

已有提示.第二次操作后，在线段;处有两个数:和:为对折点，均匀

拉长后这两个数都变为1,根据题意，在第二次操作后，恰好被拉

到与1重合的点对应的数为:和;，这样马上可以得出结论.

［解析］:在第一次操作后，原线段4B上的;、［均变成

/；变成1，,在第二次操作后，原线段一上的;、:均变成

L，所求点所对应的数之和是1+；=L

答案：1

环节三要善于简化•化繁为简

有许多数学题，给出的已知条件或结论的形式比较复

杂、繁琐.审题时，只要善于对已知或未知进行简化，就会

化繁为简找到有效解决问题的方法和途径.

［例3］已知二次函数｛x）=ox2+bx+c,其中且对

任意x£R都有人大）20,贝！JM=-------的最小值为（）

b-a

R5+2#

22

3小.7+3：

22

［审题］本题是多元问题，解多元问题的思路是将多元问题

转化为二元或一元问题.由条件心)20恒成立可知

{tz>0,b~-4acW0,即（•

筋+女。+2。+乎-

从而$=________幽,

b—ab—a

fl+26d卜

故问题转化为求________加的最小值，可考虑令，=4,

b-aa

..3ft2

a+2b+—

从而化简并求得_______也的最小值，即求得问题的答案.

b—a

［解析］选D由题意得Q0,必一4acW0,即工，

.2..,a+2b+-1+2。1•件

则一华+与人念=—

b-ab-ab

~a—1

11+2，+。学a

碍=，,则。1，于是心1^="_上*

—1)+竽7^Ly+；25与S+；,当且仅当即b=(l+\［5)a,c

彳I——1LLL

4=殳乎。时等号成立.

所以T号+3。的最小值为Z士普.

环节四要寻求转换•化陌生问题为熟悉问题

审题时，思路不能只停留在原题上，而应积极地将其

转换成熟悉和易解的问题.其方法有：把实际问题转换成

数学问题，把几何问题转换成代数问题，把代数问题转换

成三角问题等，不一而足.因此，我们在审题时，要注意

分析题意,善于转换.

[例4]水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在

管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管

道两端的情况），需计算带子的缠绕角度a（a指缠绕中将部

分带子拉成如图所示的平面WBC刀时的NWBC,其中£8

为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为

2,贝!Ja的余弦值为.

［审题］解决本题的关键是如何将空间图形转化为平

面图形，而将空间图形中的点和量与平面图形中的点和量

对应起来是解决本题的难点，如果以.4B所在的母线把它

剪断，拿出其中的一段并压平，画出其平面图形（如下图），

点/与点。是重合点，所以AC的长就是水管的周长，

,的长是带子宽度，通过互余关系，角a转换到ZUHC

中，使这些已知量都集中在同一个三角形内，再以三角函

数来求解问题.

［解析］如图，沿一条母线剪开，侧面是一个矩形，

带子4BCZ）是一个平行四边形，过点/作.4HLBC于

VZABC=ZCAH=a,AC=2n,

、米.2兀

环节五要深入挖掘.注意题目的隐含条件

有些题目中某条件给出的并不明显，需要对这些条件进

行再加工；也有某些条件虽然题目已经给出，但解题者却没

有把它作为条件来使用，从而使解题遇阻，需要对这些条件

进行再认识.

［例5］若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大

边长与最小边长的比值为〃/,则7〃的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+8)

C.［3,+«>)D.(3,+«>)

［审题］由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即

得到ZB的度数，N6=60。.设三角形的三个内角为4,B,C；

N为钝角，则/设角4B,C的对边依次为a,b,

C,则〃，=9=.，但是下一步，如何判断机的范围，就不

知如何做了.

注意到，这里有一个隐含条件，即N5=60。，ZA>90°,

则NCv30。.于是/〃=£=；：：幡。=2sinA,从而将问题

转化为求2sinN的最大值问题.

［解析］选B设A45C的三边为a,b,c,且a>b〉c.

又八明。为钝角三角形且三内角的度数成等差数列，所

以5=60°,且4>90°.故0°vCv30°,

asinAsinA

贝n！l］ttt=~=.~^=2sinA.

csinCsin30°

又180°),/.2sin.4e(0,2).

故tn>2.

环节六要善于画图.利用数形结合求解

数形结合也是审题的一种重要方法.一旦题目与数轴、

单位圆、图象、几何图形等存在联系，就可通过画图利用其

直观性和几何性来帮助分析、思考，甚至根据图形直接找出

答案.因此，我们要养成利用图形的直观性来分析问题的思

维习惯.

［例6］(2015•丽水模拟)已知向量。#e,|e|=L对任意，

£R,恒有贝!1()

A.B.fl±(d—e)

C.e_L(a—e)D.(a+e)_L(a—e)

【审题］解这个题目时，如果不仔细研究已知条件之间的

关系，很容易采用下面的解法，即从不等式口一国》|。一e|的

计算入手，有a2——2e・a+e\即V—2e-at-\-2e-a

—J》。，

因为该不等式对任意reR恒成立，所以/=4(e・a)2—8e“

+4^-W0,因而(e”-I)?WO.

于是e”一/=0,所以e・(a—e)=0,e±(a-e).故选C.

这是一个非常好的解法，但是运算量还是大了一些.如

果认真思考已知条件，向量are,且不等式口一fe|2|a—e|对

任意实数t都成立，可以从向量本身的意义来思考，并借助

图形解决.

如图—a则—a-°•设=Q—/e,由题

设，诙|恒不小于|QT,显然.仅当/_1_而时才能实现.

因此・e_(Q—。).

［解析1选C如图•设a.ACA

a

e.l）为立线八（,上的一点.且人力le.则

—e,—a—，e.由题意a—/eI》BW-------

\a-e.知|前|2.即|7F是点/3到直线A「上点的

距离的最小值.故KT」所'.即el（a一e）.

环节七要注视目标.从题目的结论寻求解题突破口

结论是解题的最终目标，解决问题的思维很多情形下都是

在目标意识下启动和定向的.审视结论要探索已知条件和结论

间的联系与转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题

方向.

[例7]已知a,/为锐角，且

{3sin%+2sin"=l①，3sin2a-2sin2/?=0②，求a+

2p的值.

［审题］由a+邳的构成特点，可知本题化简变形

时，不宜按照常规对“，夕的三角函数都