备考2025届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第3讲函数的奇偶性周期性与对称性抽象函数问题的解题策略

抽象函数问题的解题策略策略1赋值法例6[多选/2024新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），则（ABC）A.f（0）＝0 B.f（1）＝0C.f（x）是偶函数 D.x＝0为f（x）的微小值点解析解法一令x＝y，则有f（x2）＝2x2f（x）.当x＝0时，可得f（0）＝0，A正确.当x＝1时，可得f（1）＝2f（1），所以f（1）＝0，B正确.因为f（（－x）2）＝2（－x）2·f（－x），即f（x2）＝2x2f（－x），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，C正确.因为无法推断函数f（x）的单调性，所以无法确定f（x）的极值点，故D不正确，故选ABC.解法二取x＝y＝0，则f（0）＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以f（－1）＝0，取y＝－1，则f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），所以f（－x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，故C正确；因为f（0）＝0，且函数f（x）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f（x）的微小值点，也可能为函数f（x）的极大值点，也可能不是函数f（x）的极值点，故D不正确.综上，选ABC.方法技巧赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽象函数的性质.策略2性质转化法例7（1）[2024全国卷乙]已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则∑22k=1f（k）＝（A.－21 B.－22 C.－23 D.－24解析由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）①，所以y＝f（x）为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数.由f（x）＋g（2－x）＝5可得f（0）＋g（2）＝5，又g（2）＝4，所以可得f（0）＝1，又f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－3，又f（3）＝f（－1）＝－1，f（4）＝f（0）＝1，所以∑k=122f（k）＝5（f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4））＋f（1）＋f（2）＝－（2）[多选/2024新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R，记g（x）＝f'（x）.若f（32－2x），g（2＋x）均为偶函数，则（BCA.f（0）＝0 B.g（－12）＝C.f（－1）＝f（4） D.g（－1）＝g（2）解析解法一（转化法）因为f（32－2x）为偶函数，所以f（32－2x）＝f（32＋2x），函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，则f（－1）＝f（4），所以C正确；因为g（2＋x）为偶函数，所以g（2＋x）＝g（2－x），函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，因为g（x）＝f'（x），所以函数g（x）的图象关于点（32，0）对称，（二级结论：若函数h（x）为偶函数，则其图象上在关于y轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称.本题函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，则其导函数g（因为g（x）的定义域为R，所以g（32）＝0.由g（x）的图象既关于直线x＝2对称，又关于点（32，0）对称，知g（x）的周期T＝4×（2－32）＝2，所以g（－12）＝g（3g（－1）＝g（1）＝－g（2），所以B正确，D错误；不妨取f（x）＝1（x∈R），阅历证满意题意，则f（0）＝1，所以选项A不正确.综上，选BC.解法二（特例法）因为f（32－2x），g（2＋x）均为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝32对称，函数g（x）的图象关于直线x＝2对称.取符合题意的一个函数f（x）＝1（x∈R），则f（0）＝1，解除A；取符合题意的一个函数f（x）＝sinπx，则f'（x）＝πcosπx，即g（x）＝πcosπx，所以g（－1）＝πcos（－π）＝－π，g（2）＝πcos2π＝π，所以g（－1）≠g（2），解除D.方法技巧1.思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满意函数某些性质的定义表达式，从而利用这些性质转化求解.2.设函数f（x）及其导函数f'（x）的定义域均为R.（1）若f（x）的图象关于x＝a对称，则f'（x）的图象关于（a，0）对称；（2）若f（x）的图象关于（a，b）对称，则f'（x）的图象关于x＝a对称；（3）若f（x）是以T为周期的函数，则f'（x）也是以T为周期的函数.留意利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，留意在进行图象变换的同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.策略3特别函数模型法例8定义在R上的函数f（x）满意f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f（1）＝2，则f（－3）＝（C）A.2 B.3 C.6 D.9解析解法一由函数f（x）满意f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），联想到函数模型f（x）＝x2＋bx，由f（1）＝2，可得b＝1，则f（x）＝x2＋x，所以f（－3）＝（－3）2＋（－3）＝6.解法二f（1）＝f（1＋0）＝f（1）＋f（0）＋2×1×0＝f（1）＋f（0），得f（0）＝0；f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f（1）＋2×（－1）×1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；f（－2）＝f（－1－1）＝f（－1）＋f（－1）＋2×（－1）×（－1）＝2f（－1）＋2＝2；f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×（－2）×（－1）＝2＋0＋4＝6.故选C.方法技巧常用函数模型抽象函数性质基本函数模型f（x±y）＝f（x）±f（y）∓b一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy二次函数f（x）＝x2＋bxf（xy）＝f（x）f（y）或f（xy）＝幂函数f（x）＝xαf（x＋y）＝f（x）f（y）或f（x－y）＝f指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f（xy）＝f（x）＋f（y）或f（xy）＝f（x）－f（y对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）f（y）余弦函数f（x）＝cosωx（ω一般取满意要求的最小正数）留意应用特别函数模型法解题时，要留意检验所选模型是否满意已知条件.训练5（1）[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则满意xf（x－1）≥0的x的取值范围是（D）A.[－1，1]∪[3，＋∞） B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞） D.[－1，0]∪[1，3]解析由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，明显符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.（2）[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数f（x）的定义域为R，对随意实数x，y满意f（x－y）＝f（x）－f（y）＋1，且f（1）＝0，当x＞0时，f（x）＜1.则下列选项正确的是（ACD）A.f（0）＝1 B.f（2）＝－2C.f（x）－1为奇函数 D.f（x）为R上的减函数解析解法一设f（x）＝kx＋1，因为f（1）＝0，所以k＝－1，所以f（x）＝－x＋1，满意x＞0时，f（x）＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.解法二对于A，取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）－f（0）＋1，故f（0）＝1，A正确；对于B，取x＝0，y＝1，则f（－1）＝f（0）－f（1）＋1＝2，取x＝1，y＝－1，则f（2）＝f（1）－f（－1）＋1＝－1，B错误﹔对于C，取x＝0，则f（－y）＝f（0）－f（y）＋1＝2－f（y），f（－y）－1＝－[f（y）－1]，则f（y）－1为奇函数，所以f（x）－1为奇函数，C正确；对于D，当x1＞x2时，x1－x2＞0，f（x1－x2）＜1，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）－1＜0，故f（x）是R上的减函数，D正确，故选ACD.（3）已知函数f（x）满意f（1）＝14，且4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2024）＝－14解析解法一令y＝1，得4f（x）f（1）＝f（x＋1）＋f（x－1），即f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x）＝－f（x－1），即f（x＋3）＝－f（x），所以函数f（x）的周期为6，则f（2024）＝f（2）.令x＝1，y＝0，得f（0）＝12，由f（x＋1）＝f（x）－f（x－1），可得f（2）＝f（1）－f（0）＝－14，所以f（2024）＝－解法二因为f（x＋y）＋f（x－y）＝4