备考2025届高考数学一轮复习好题精练第四章三角函数突破：三角函数中有关ω问题的求解

突破三角函数中有关ω问题的求解命题点1利用三角函数对称性求ω例1将函数y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的图象分别向左、向右平移π6个单位长度后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（AA.3 B.2 C.4 D.6解析将函数y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的图象分别向左、向右平移π6个单位长度后，得到y1＝4sin[ω（x＋π6）＋π2]，y2＝4sin[ω（x－π6）＋[ω（x＋π6）＋π2]－[ω（x－π6）＋π2]＝ω3π＝kπ（k∈Z），所以ω＝3k（k∈Z）.又ω＞方法技巧已知三角函数的对称性求ω的思路：依据三角函数的对称性与周期的关系，对称轴与最值的关系，对称中心与零点的关系求ω.训练1[2024四川省名校联考]已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0），若∃x0∈[－π4，π3]，使得f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（AA.34 B.1 C.32 解析f（x）＝2sin（ωx＋π4）.f（x）的图象在[－π4，π3]f（x）的图象在[－π4，π3]上存在对称轴，所以－π4ω＋π4≤－π2或π3ω＋π4≥π2，解得所以ω的最小值为34，故选命题点2利用三角函数单调性求ω例2[全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π2），x＝－π4为f（x）的零点，x＝π4为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）上单调，则A.11 B.9 C.7 D.5解析依题意，有ω·（－π4）＋φ＝解得ω=2（n－m）+1，φ＝2（m＋n）+14π.由f（x）在（π18，5π36）上单调，得πω≥5π36－π当m＋n＝0时，ω＝4n＋1，φ＝π4取n＝2，得ω＝9，f（x）＝sin（9x＋π4），此时，当x∈（π18，5π36）时，9x＋π4∈（3π4，当m＋n＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n＋3取n＝2，得ω＝11，f（x）＝sin（11x－π4），此时，当x∈（π18，5π36）时，11x－π4∈（13π36，23π18），方法技巧已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在[x1，x2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围的步骤：（1）依据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期T的一半，即x2－x1≤12T＝πω，求得0＜ω≤（2）以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，解得（3）结合（1）中求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω的取值范围.训练2（1）[2024贵州省适应性测试]将函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象向左平移π2个单位长度后得到函数g（x）的图象.若g（x）的图象关于点（π4，0）对称，且g（x）在[π3，5π6]上单调递减，则ωA.13 B.23 C.1 解析由题意可得g（x）＝cos（ωx＋π2ω），因为g（x）的图象关于点（π4，0）对称，所以3πω4＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝23＋43k，k∈Z.令2k1π≤ωx＋π2ω≤π＋2k1π，k1∈Z，得g（x）的单调递减区间为[2k1πω－π2，π+2k1πω－π2]，k1∈Z，因为g（x）在[π3，5π6]上单调递减，所以π3≥2k1πω－π2，5π6≤π+2k1πω－π2，5π6－π3≤12·2πω（2）[2024四川省遂宁市三诊]已知函数f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx（ω＞0），f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－x2｜的最小值为π，则ω的最小值为12解析f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx＝32sinωx＋12cosωx＋cosωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sin（ωx＋π3），因为f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－f（x）的最小正周期T的最大值为4π，ω的最小值为12命题点3利用三角函数最值求ω例3将函数f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的部分图象如图所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是（C）A.（712，1312] B.[712，1312） C.[1112，1712） 解析由已知得函数g（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π），由g（x）的图象经过点（0，32）以及点在图象上的位置，得sinφ＝32，φ＝2π3，∵0≤x≤2π，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，由g（x）在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2≤2πω方法技巧若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式（组），进而求出ω的取值范围.训练3[2024乌鲁木齐市质监]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且在区间（π，2π）内不存在最值，则ω的取值范围是（DA.（0，16] B.[14，C.（0，16]∪[14，712] D.（0，16]∪[解析因为f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象过点（0，1），所以f（0）＝2sinφ＝1，即sinφ＝12又0＜φ＜π2，所以φ＝π6，于是f（x）＝2sin（ωx＋π因为f（x）在区间（π，2π）内不存在最值，所以π≤T2＝πω（T为f（x）的最小正周期），得ω当x∈（π，2π）时，ωx＋π6∈（πω＋π6，2πω＋π6），其中π6＜πω＋所以有两种状况：①π6＜πω＋π6②π2≤πω＋π6≤7命题点4利用三角函数零点、极值点求ω例4[2024新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝cosωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[2，3）.解析函数f（x）＝cosωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cosωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3）.方法技巧三角函数图象上两个相邻零点间和两个相邻极值点间的距离均为T2（T为最小正周期），依据三角函数的零点个数或极值点个数，可确定区间长度范围，进而探讨ω的取值训练4（1）[2024全国卷甲]设函数f（x）＝sin（ωx＋π3）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（CA.[53，136） B.[53，196） C.（136，83] 解析结合4个选项可设ω＞0.由x∈（0，π），得ωx＋π3∈（π3，πω＋π3）f（x）在区间（0，π）恰有三个极值点和两个零点，知5π2＜πω＋π3≤3π，得136＜ω≤83，即ω的取值范围为13（2）[2024全国卷乙]记函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜