2025版高考数学一轮总复习知识梳理第10章计数原理概率随机变量及其分布第4讲事件的独立性条件概率与全概率公式

第四讲事务的独立性、条件概率与全概率公式知识梳理学问点一事务的相互独立性设A、B为两个事务，假如P(AB)＝P(A)P(B)，则称事务A与事务B相互独立．若事务A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事务A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)都相互独立．注：“相互独立”与“事务互斥”的区分．两事务互斥是指两个事务不行能同时发生，两事务相互独立是指一个事务发生与否对另一事务发生的概率没有影响．两事务相互独立不愿定互斥．学问点二条件概率1．定义：设A，B为两个事务，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)为在事务A发生的条件下，事务B发生的条件概率．2．求法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(PAB,PA).3．乘法公式：由条件概率的定义，对随意两个事务A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．4．性质：(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．学问点三全概率公式一般地，设A1，A2，A3，…，An是一组两两互斥的事务，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，则对随意的事务B⊆Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)，我们称此公式为全概率公式．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事务，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对随意事务B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiB,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.归纳拓展1．事务的表示(1)A、B中至少有一个发生的事务为A∪B.(2)A、B都发生的事务为AB.(3)A、B都不发生的事务为eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).(4)A、B恰有一个发生的事务为(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\x\to(A)B)．(5)A、B至多有一个发生的事务为(eq\x\to(A)B)∪(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))．2．一般结论(1)若事务A，B，C两两相互独立，则P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)；(2)P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)；(3)若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)；(4)若A、B相互独立，则①A、B至少有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)．P(A＋B)＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))．②A、B恰有一个发生的概率P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)·P(B)．双基自测题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若事务A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√)(2)P(B|A)表示在事务A发生的条件下，事务B发生的概率；P(BA)表示事务A，B同时发生的概率，确定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×)(3)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，其次次取到白球的概率是0.5.(√)(4)抛掷两枚质地匀整的骰子，记事务A＝“第一枚骰子奇数面朝上”，事务B＝“两枚骰子向上点数之和为7”．则A与B独立．(√)题组二走进教材2．(多选题)(选择性必修3P48T3)一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是(BCD)A．若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为eq\f(3,10)B．若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下其次次摸到红球的概率为eq\f(1,2)C．若有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率为eq\f(18,125)D．若有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为eq\f(54,125)[解析]第一次摸到红球的概率为eq\f(3,5)，故A错误；不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下其次次摸到红球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故B正确；有放回的摸球3次，则仅有前2次摸到红球的概率eq\f(3,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(18,125)，故C正确；有放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(54,125)，故D正确．故选BCD.3．(必修2P250T4改编)(2024·云南曲靖一中质检)甲、乙、丙三人独立破译一份密码，分别译出的概率为eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，则密码能被译出的概率为(C)A.eq\f(1,8) B．eq\f(11,12)C．eq\f(7,8) D．eq\f(1,12)[解析]P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(7,8).题组三走向高考4．(2024·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事务“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事务“其次次取出的球的数字是2”，丙表示事务“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事务“两次取出的球的数字之和是7”，则(B)A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立[解析]P(甲)＝eq\f(1,6)，P(乙)＝eq\f(1,6)，P(丙)＝eq\f(5,36)，P(丁)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝eq\f(1,36)＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝eq\f(1,36)≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故选B.5．(2024·高考全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(A)A．0.8 B．0.4C．0.2 D．0.1[解析]报名两个俱乐部的人数为50＋60－