新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第10讲幂函数练习(学生版+解析)

第10讲幂函数【学习目标】通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．【基础知识】一、幂函数的概念1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的图象(如图)．三、幂函数的性质1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．【考点剖析】考点一：幂函数的定义例1．(2022学年河北省沧州市高一上学期期末)下列函数是幂函数的是(

)A． B．C． D．考点二：幂函数的图象及应用例2．(2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试)函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是(

).A．①④ B．① C．①② D．①③④考点三：利用幂函数单调性比较大小例3．比较下列各题中两个值的大小：(1)和

(2)和.考点四：幂函数图象与性质的综合应用例4．(多选)(2022学年广东省普宁市高一上学期期末)已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有(

)A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则【真题演练】1.(2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测)幂函数在上单调递减，则实数m的值为(

)A． B．3 C．或3 D．2.(2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中)已知幂函数(a是常数)，则(

)A．的定义域是R B．在单调递增C．过定点 D．可能过定点3.(2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是(

)A． B．C． D．4.(多选)(2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末)已知幂函数，则(

)A． B．定义域为C． D．5.(多选)(2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中)黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有(

)A． B．C． D．6.(2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末)已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．7.(2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中)已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．8.(2022学年广西十八校高一10月联考)已知幂函数的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．【过关检测】1.(2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中)已知点(a，2)在幂函数的图象上，则函数f(x)的解析式是(

)A． B．C． D．2.下列命题中正确的是(

)A．幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)B．若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线3.(2022学年】河北省石家庄市藁城区第一中学高一上学期月考)已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是(

)A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为4.(2022学年河南省郑州市中牟县高一上学期期中)若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是(

)A．为奇函数B．若，则C．为偶函数D．若，则5.(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有(

)A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为6.(2022学年福建省漳州市高一上学期期末教学质量检测)已知幕函数的图象经过点，则(

)A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为07.(2022学年四川省德阳市什邡市什邡中学高一下学期月考)已知点在幂函数的图象上，则=_______．8.(2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②；③任取，，且．9.已知幂函数为偶函数．(1)求的解析式；(2)若函数在区间上的最大值为，求实数的值．10.已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.(1)求m值.(2)若满足，求a的取值范围.第10讲幂函数【学习目标】通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．【基础知识】一、幂函数的概念1.一般地，函数y＝xα叫做幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的图象(如图)．三、幂函数的性质1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；2.如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；3.如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；4.在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．【考点剖析】考点一：幂函数的定义例1．(2022学年河北省沧州市高一上学期期末)下列函数是幂函数的是(

)A． B．C． D．答案:C解析：形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选C.考点二：幂函数的图象及应用例2．(2022学年河北省博野中学高一上学期开学考试)函数和的图象如图所示，有下列四个说法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果时，那么.其中正确的是(

).A．①④ B．① C．①② D．①③④答案:A解析：当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得，所以，若，可得，所以①正确；当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或，所以，若，可得，所以②错误；由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系，所以③错误；当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，，所以，若时，可得，所以④正确.故选A．考点三：利用幂函数单调性比较大小例3．比较下列各题中两个值的大小：(1)和

(2)和.解析：(1)考察幂函数，因为其在区间上是增函数，而且，所以.(2)考察幂函数，因为其在区间上是减函数，而且，所以.考点四：幂函数图象与性质的综合应用例4．(多选)(2022学年广东省普宁市高一上学期期末)已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有(

)A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则答案:BCD解析：将点代入函数得：，则，所以，∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；函数在定义域上为增函数，所以B正确；当时，，即，所以C正确；若时，==.即成立，所以D正确.故选BCD.【真题演练】1.(2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期素质检测)幂函数在上单调递减，则实数m的值为(

)A． B．3 C．或3 D．答案:A解析：因为是幂函数，故，解得或，又因为幂函数在上单调递减，所以需要，则故选A2.(2022学年四川省南充高级中学高一上学期期中)已知幂函数(a是常数)，则(

)A．的定义域是R B．在单调递增C．过定点 D．可能过定点答案:C解析：已知幂函数(a是常数)，当，，此时定义域为，A错误，当，，此时在单调递减，B错误，当时，，过定点，C正确，D错误.故选C.3.(2020-2021学年上海市晋元高级中学高一上学期期中)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是(

)A． B．C． D．答案:A解析：设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，即，解得，所以，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选A4.(多选)(2022学年广东省深圳市光明区高一上学期期末)已知幂函数，则(

)A． B．定义域为C． D．答案:AC解析：为幂函数，，得，A对；函数的定义域为，B错误；由于在上为增函数，，C对；，，D错误，故选AC.5.(多选)(2022学年湖北省十堰市区县普通高中联合体高一上学期期中)黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是且；③在上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有(

)A． B．C． D．答案:CD解析：由已知可得，此函数为奇函数，而A选项为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B，的值域为，且该函数在R上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C、D同时满足三个条件.故选CD.6.(2022学年甘肃省庆阳市宁县高一上学期期末)已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．答案:解析：由题意，设，代入点得，解得，则.7.(2022学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一下学期期中)已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．答案:4解析：由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，符合题意.当时，，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为，∴.，.8.(2022学年广西十八校高一10月联考)已知幂函数的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．解析：(1)设，则，则，∴函数的解析式为．(2)因为，∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为．【过关检测】1.(2022学年安徽省宣城市六校高一上学期期中)已知点(a，2)在幂函数的图象上，则函数f(x)的解析式是(

)A． B．C． D．答案:A解析：∵函数是幂函数，∴，即，∴点(4，2)在幂函数的图象上，∴，故．故选A.2.下列命题中正确的是(

)A．幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)B．若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线答案:C解析：幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是A，B都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确故选C．3.(2022学年】河北省石家庄市藁城区第一中学高一上学期月考)已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是(

)A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为答案:C解析：设幂函数，由题意得：，故，定义域为，故D错误；定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；由于，故在在单调递减，C正确，故选C4.(2022学年河南省郑州市中牟县高一上学期期中)若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是(

)A．为奇函数B．若，则C．为偶函数D．若，则答案:D解析：设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；因为，所以，，B错误；，，由于，则，故，D正确.故选D5.(多选)下列关于幂函数的性质说法正确的有(

)A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为答案:CD解析：当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.故选CD.6.(2022学年福建省漳州市高一上学期期末教学质量检测)已知幕函数的图象经过点，则(

)A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为0答案:BD解析：依题意，所以，由于的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，A选项错误.在上递增，所以B选项正确.，所以C选项错误.，所以D选项正确.故选BD7.(2022学年四川省德阳市什邡市什邡中学高一下学期月考)已知点在幂函数的图象上，则=_______．答案:16解析：因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以，则8.(2022学年辽宁省名校联盟高一上学期12月月考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②；③任取，，且．答案:(答案不唯一)解析：取，函数为幂函数，满足①；，则函数为偶函数，满足